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安徽省阜阳市第三中学2023-2024学年高二上学期12月二调(期中)数学试题(Word版附解析)
安徽省阜阳市第三中学2023-2024学年高二上学期12月二调(期中)数学试题(Word版附解析)
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阜阳三中2023~2024学年度高二年级第一学期数学学科二调考试试题考生注意:1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分,考试时间120分钟.2.考生作答时,请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围:人教A版选择性必修一+选择性必修二第一章.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为()A.B.C.D.2.设数列是公比为的等比数列,.若数列的连续四项构成集合,则公比为()A.16B.4C.-4D.-163.已知直线与直线平行,则的值为()A.2B.3C.2或-3D.-2或34.如图,在三棱柱中,若为的中点,则可表示为()A.B.C.D.5.设动点在抛物线上,点在轴上的射影为点,点的坐标是,则 的最小值为()A.B.C.2D.6.月光石不能频繁遇水,因为其主要成分是钾钠硅酸盐.一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成,如图所示,在平面直角坐标系,半圆的圆心在坐标原点,半圆所在的圆过椭圆的右焦点,椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点,与半椭圆交于点,则的面积是()A.B.C.D.7.已知数列通项公式为,若对任意,都有则实数的取值范围是()A.B.C.D.8.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇,定义如下:在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离为:.已知点在圆上,点在直线上,则的最小值为()A.B.C.D.二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列说法中不正确的是()A.若直线的斜率越大,则直线的倾斜角就越大B.直线的倾斜角的取值范围是C.过点,且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为 D.若直线的倾斜角为,则直线的斜率为10.在三棱锥中,是直二面角,,如图所示,则下列结论中正确的是()A.B.平面的法向量与平面的法向量垂直C.异面直线与所成的角为D.直线与平面所成的角为11.抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线为坐标原点,一束平行于轴的光线从点射入,经过上的点反射后,再经上另一点反射后,沿直线射出,经过点,则()A.平分B.C.延长交直线于点,则三点共线D.12.设数列,如果,且,对于,使成立,则称数列为数列.则下列说法正确的是()A.数列是数列B.若数列是数列,且,则的最小值为3C.若数列是数列,且,则为奇数 D.若数列是数列,且,则存在,使三、填空题:共4小题,每小题5分,共20分.13.圆与圆的公共弦的长为__________.14.在平行六面体中,底面是边长为2的正方形,侧棱的长为3,且,则为__________.15.已知数列满足,在和之间插入个1,构成数列,则数列的前20项的和为__________.16.已知分别是双曲线的左、右焦点,点在双曲线上,,圆,直线与圆相交于两点,直线与圆相交于,两点.若四边形的面积为,则的离心率为__________.四、解答题:共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知首项为1的正项等比数列,且成等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)若,求的最小值.18.(12分)某公园有一圆柱形建筑物,底面半径为1米,在其南面有一条东西走向的观景直道(图中用实线表示),建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道(图中用虚线表示),观景直道与辅道距离米.在建筑物底面中心的北偏东方向米的点处,有一台全景摄像头,其安装高度低于建筑物高度.请建立恰当的平面直角坐标系,并解决问题:(1)在西辅道上与建筑物底面中心距离2米处的游客,是否在摄像头监控范围内? (2)求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度.19.(12分)如图,在正四棱锥中,,正四棱锥的体积为,点为的中点,点为的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值.20.(12分)已知数列满足,且.(1)求数列的通项公式;(2)设,且数列的前项和为,若恒成立,求实数的取值范围.21.(12分)焦点在轴上的双曲线经过两点.过点的直线与双曲线交于,过点的直线与直线相交于点且.(1)求双曲线的方程;(2)若,求直线的斜率.22.(12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,且右焦点到直线的距离为. (1)求椭圆的标准方程;(2)设椭圆上的任一点,从原点向圆引两条切线,设两条切线的斜率分别为,(i)求证:为定值;(ii)当两条切线分别交椭圆于时,求证:为定值. 阜阳三中2023~2024学年度高二年级第一学期数学学科二调考试参考答案、解析及评分细则1.C因为椭圆的焦点坐标为,所以,记,所以,所以,所以,所以双曲线的标准方程为.故选C.2.C由题意等比数列的连续四项构成集合,则可知等比数列的项一定为正负相间,公比为负,由于,故后一项绝对值大于前一项的绝对值,故集合中的这四个数在数列中排列为,则.故选C.3.A根据题意,由两直线平行可得,即,解得或;经检验-3时,两直线重合,不合题意;所以.故选A.4.A由题意可知,,因为,,所以.故选A.5.B抛物线的焦点,准线方程为,延长交准线于,连,显然垂直于抛物线的准线,由抛物线定义知:,当且仅当点是线段与抛物线的交点时取等号,而,所以的最小值为.故选B.6.B由题意知,半圆的方程为,设椭圆方程为,则,所以,故椭圆方程为,设,则 ,所以,设,则,所以,故.故选B.7.B当时,,由,得,即,在且时恒成立,,解得.当时,单调递增,若对任意,都有,则且,即且,解得,则实数的取值范围是.故选B.8.D如图,过点作平行于轴的直线交直线于点,过点作于点表示的长度,因为直线的方程为,所以,即,当固定点时,为定值,此时为零时,最小,即平行于轴,所以当垂直直线时,最小,如图所示,此时,,根据直线的斜率为-3,得,所以,故D正确.故选D.9.ACD对于A,若直线倾斜角大于,则直线的斜率存在负值,故A错误;直线的倾斜角为,则,因为,所以,故B正确;对于C ,设直线与轴交点为,则与轴交点为,当时,直线过原点,斜率为,故方程为;当时,直线的斜率,故直线方程为,即,故C错误;直线斜率定义为倾斜角的正切值,但不能是,故D错误.故选ACD.10.AD对于,因为,平面平面,平面平面平面,所以平面,因为平面,所以,即,故正确;对于,因为平面平面,所以平面的法向量与平面的法向量垂直,而平面与平面相交,并不平行,所以平面的法向量与平面的法向量不垂直,故错误;对于,设,则,所以,在Rt中,,所以,故异面直线与所成的角不是,故错误;对于,由选项知,平面,所以即为直线与平面所成的角,而,故D正确.故选.11.ACD根据题意,由得,又由轴,得,代入得(负值舍去),则,所以,故直线为,即,依题意知经过抛物线焦点,故联立,解得,即,对于,,故,所以,又因为轴,轴,所以,故,所以,则平分,故正确;对于,因为,故,故错误;对于,易得 的方程为,联立,故,又轴,所以三点的纵坐标都相同,则三点共线,故C正确;对于,由选项知,故正确.故选ACD.12.AB对于,因为,所以是数列,正确;对于,首先证明不能为2.假设,由数列为数列知,.所以,与已知矛盾,故假设不成立.所以不能为2.因为数列满足,此时是数列,所以的最小值为正确.对于,以下证明:若为奇数,则必为奇数.假设数列中存在偶数,设是数列中第一个偶数,因为数列是数列,所以,使.因为均为奇数,所以也为奇数,与为偶数矛盾.所以若为奇数,则必为奇数.因为为偶数,所以不能为奇数,只能为偶数,C错误.对于,以下证明:若,则.若不然,设为第一个满足的项,因为数列是数列,所以,使.因为,所以,与矛盾;所以若,则.而,D错误.故选AB.13.4将圆与圆相减可得,即两圆的公共弦所在的直线方程为,又圆圆心到直线的距离 ,圆的半径为,所以公共弦长为.14.7如图,在平行六面体中,,因为,所以,,所以.15.77在之间插入个1,构成数列,所以共有个数,当时,,当时,,由于,所以.16.根据对称性不妨设点在第一象限,如图所示,圆,圆心为,半径为,设,点在双曲线上,,则有,可得,过作的垂线,垂足为为的中点,则,同理,,由,四边形的面积为,化简得,则有,则的离心率. 17.解:(1)设等比数列的公比为,且,因为成等差数列,则,即:,解得或(舍去),所以数列的通项公式.(2)由(1)得:,,所以,整理可得,故的最小值为7.18.解:(1)设为原点,正东方向为轴,建立平面直角坐标系,,因为,则,依题意得,游客所在位置为,则直线的方程为,所以圆心到直线的距离,所以直线与圆相离,所以游客在该摄像头的监控范围内.(2)由图知,过的直线与圆相切或相离时,摄像头监控不会被建筑物挡住,所以设直线过点且和圆相切, ①若直线垂直于轴,则直线不会和圆相切;②若直线不垂直于轴,设,整理得,所以圆心到直线的距离为,解得或,所以或,即或,观景直道所在直线方程为,设两条直线与的交点为,由,解得,由,解得,所以,答:观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为4.375米.19.(1)证明:在正四棱锥中,连接,四边形为正方形,为的中点,又点为的中点,为的中位线,,又平面平面,平面. (2)解:以为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示,因为正四棱锥的体积为,所以正四棱锥的体积,所以,设平面的一个法向量为,则,即,令,则,所以.设平面的一个法向量为,则,即,令,则,所以.设二面角的所成的角为,则,由图可知,二面角为钝角,所以二面角的余弦值为. 20.解:(1),当时,,两式相除得:,又符合上式,故(2)由(1)得:,,,,错位相减得:,,即,由,得,设,则,故,由可知,随着的增大而减小,故,故恒成立,知单调递减,故的最大值为,则.21.解:(1)设双曲线方程为, 代入可得解得所以双曲线的方程为.(2)若直线的斜率不存在,则,不符合,所以直线的斜率存在,设直线,联立方程,消去得,则且,可得则,又因为,可知,则,由题意可知:,即,整理得,解得或,且或均符合且, 所以直线的斜率或.22.(1)解:依题意,解得,所以椭圆的方程为.(2)(i)证明:依题意,两条切线方程分别为,由,化简得,同理.所以是方程的两个不相等的实数根,则.又因为,所以,所以.(ii)证明:由(得,,设,则,即,因为,所以,得,即,解得, 所以,所以为定值.
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高中 - 数学
发布时间:2023-12-29 17:50:02
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