安徽省合肥市庐阳区寿春中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（沪科版）

九年级(上)期中评价数学学科(试题卷)一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1.已知二次函数，下列说法正确的是（）A.对称轴为直线B.函数的最大值是3C.抛物线开口向上D.顶点坐标为2.已知点在反比例函数图象上，则点M一定在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.将抛物线 向上平移4个单位，得到的抛物线是（）A.B.C.D.4.下列函数在第一象限中，y的值随着x的增大而减小的是（）A.B.C.D.5.古希腊著名的科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”（），如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧力F与力臂L满足的函数关系是（）A.正比例函数B.一次函数C.反比例函数D.二次函数6.已知点，在二次函数上，且，则下列结论一定正确的是（）A.B.C.D.无法确定 7.如图，一次函数的图象与轴交于，下列结论错误的是（）A.B.C.D.8.二次函数y＝a（x﹣2）2+c与一次函数y＝cx+a在同一坐标系中的大致图象是（）AB.C.D.9.如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作垂直于轴，C，D在轴上，，则平行四边形的面积是（）A.3B.6C.12D.24 10.如图，在矩形中，，，点E是线段的三等分点（），动点F从点D出发向终点E运动，以为边作等边，在动点F运动的过程中，阴影部分面积的最小值是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.写出一个顶点在轴上，开口向上抛物线：________________．12.若，都在函数的图像上，且，则_____．（填“”、“”或“”）13.已知在二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如下表：．．．0123．．．．．．8300．．．则满足方程 的解是______________________．14.已知二次函数，都在二次函数的图象上．（1）_____________（用含的代数式表示）（2）若，则的取值范围是__________________．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.将二次函数 配成顶点式，并写出它的对称轴．16.正方形的边长为4，当边长增加x时，面积增加y，求y与x之间的函数关系式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.已知二次函数 在时，取得的最大值为15，求的值．18.【观察思考】【规律发现】（1）上述9组算式，两数相乘，积的最大值是___________．（2）如果设每组算式第一个因数为，则第二个因数可以表示为___________（用含的代数表示）【类比应用】，，，……，，，（3）猜想的最大值，并说明理由．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，一次函数图象与反比例函数的图象交于点，．（1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）结合图象，直接写出关于的不等式的解集．20.杭州亚运会，34岁巩立姣以米的成绩夺得亚运会女子铅球冠军，实现亚运三连冠．下图是她在比赛前的某次掷球练习，铅球出手以后的轨迹可近似看作是抛物线的一部分，铅球出手时离地面米，铅球离抛掷点水平距离米时达到最高位置米．如图，以水平面为轴，她所站位置的铅垂线为轴建立平面直角坐标系，设铅球飞行的高度为米，铅球飞行水平距离为米．（1）求与之间的函数关系式；（2）巩立姣杭州亚运会夺冠成绩是否超过此次练习成绩六、（本题满分12分）21.若一个点纵坐标是横坐标的两倍，即满足，则称点A为“奇幻点”．（1）请找到二次函数图象上的“奇幻点”；（2）已知二次函数（为常数，且），当t为何值时，该二次函数只有唯一的“奇幻点”． 七、（本题满分12分）22.第十四届中国（合肥）国际园林博览会于2023年9月26日开幕．某花卉公司承担了安徽展园100平方米的花卉种植工作，原计划A类花卉和B类花卉各种植50平方米，A类花卉每平方米利润是160元，B类花卉每平方米利润是80元．实际种植时，考虑美观后有所调整：增加A类花卉种植面积，减少B类花卉种植面积．（增加A类花卉种植面积与减少B类花卉种植面积相等）设增加A类花卉种植面积平方米．（1）用含的代数式分别表示A类花卉和B类花卉的实际种植面积；（2）已知A类花卉种植每增加1平米，每平方米利润减少1元，B类花卉每平方米利润始终保持不变，如何调整种植面积，能够使得该花卉公司获得的最大利润?最大利润是多少?八、（本题满分14分）23.平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线．（1）求、的值；（2）抛物线与轴交于B、C两点（C在B的右侧），点D是抛物线的顶点．(ⅰ)点E是抛物线上一动点，且位于直线的上方，过点E作的垂线交于点F，求长度的最大值；(ii)在直线上是否存在点G，使得？若存在，请求出点G的坐标，若不存在，请说明理由． 九年级(上)期中评价数学学科(试题卷)一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1.已知二次函数，下列说法正确的是（）A.对称轴为直线B.函数的最大值是3C.抛物线开口向上D.顶点坐标为【答案】D【解析】【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标和最值，进而求解．【详解】解：，对称轴为直线，最大值为，顶点坐标为，∵，∴开口向下，故D正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．2.已知点在反比例函数图象上，则点M一定在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】可求，由象限符号特征进行判断即可求解．【详解】解：当时，，，在第一象限；故选：A．【点睛】本题考查了求反比例函数图象上的点的坐标及象限判断，掌握判断方法是解题的关键． 3.将抛物线 向上平移4个单位，得到的抛物线是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】二次函数解析式在平移中的变化规律：左加右减，上加下减；据此即可求解．【详解】解：由题意得将抛物线 向上平移4个单位，；故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数解析式在平移中的变化规律，掌握变化规律是解题的关键．4.下列函数在第一象限中，y的值随着x的增大而减小的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．【详解】解：A、对于，第一象限中，y的值随着x的增大而增大，故不合题意；B、对于，第一象限中，y的值随着x的增大而减小，故符合题意；C、对于，第一象限中，y的值随着x的增大而增大，故不合题意；D、对于，第一象限中没有函数图象，故不合题意；故选：B．【点睛】本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性），是一道难度中等的题目．5.古希腊著名的科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”（），如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧力F与力臂L满足的函数关系是（） A.正比例函数B.一次函数C.反比例函数D.二次函数【答案】C【解析】【分析】形如（）的函数是反比例函数，据此即可求解．【详解】解：由题意得、是常数，是常数，，，右侧力F与力臂L满足函数关系是反比例函数；故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，理解定义是解题的关键．6.已知点，在二次函数上，且，则下列结论一定正确的是（）A.B.C.D.无法确定【答案】C【解析】【分析】可得当时，随着的增大而增大，即可求解．【详解】解：由得对称轴为轴，，当时，随着的增大而增大， ，；故选：C．【点睛】本题考查了利用二次函数增减性比较函数值大小，掌握性质是解题的关键．7.如图，一次函数的图象与轴交于，下列结论错误的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】可求对称轴为直线，从而可得，当时，当时，依次进行判断即可求解．【详解】解：图象与轴交于，，对称轴为直线，，；故B结论正确，不符合题意；，，故A结论错误，符合题意；当时，，，故C结论正确，不符合题意；当时，，故D结论正确，不符合题意； 故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，理解性质是解题的关键．8.二次函数y＝a（x﹣2）2+c与一次函数y＝cx+a在同一坐标系中的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】可先根据一次函数图像判断a、b的符号，再看二次函数图像开口方向与最值与实际是否相符，判断正误．【详解】解：A、由一次函数y＝cx+a的图像可得，，此时二次函数的图像应该开口向下，故A错误；B、由一次函数y＝cx+a的图像可得，，此时二次函数的图像应该开口向上，图像顶点应在x轴下方，故B正确；C、由一次函数y＝cx+a的图像可得，，此时二次函数的图像应该开口向下，x=2时二次函数取最大值，故C错误；D、由一次函数y＝cx+a的图像可得，，此时二次函数的图像应该开口向上，图像顶点应在x轴上方，故D错误；【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数y＝a（x﹣2）2+c的图象和一次函数的图象与系数之间的关系．9.如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作垂直于轴，C，D在轴上，，则平行四边形的面积是（） A.3B.6C.12D.24【答案】B【解析】【分析】作于，根据四边形为平行四边形得轴，则可判断，根据反比例函数的几何意义得到，据此即可得到答案．【详解】解：过点作于，如图，四边形为平行四边形，轴，，，，故选B．【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是掌握从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．10.如图，在矩形中，，，点E是线段三等分点（），动点F从点D出发向终点E运动，以为边作等边，在动点F运动的过程中，阴影部分面积的最小值是（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】连接，，过作，垂足为H，利用勾股定理求出和，设，求出和，利用表示出阴影部分的面积，利用二次函数的最值求解即可．【详解】解：如图，连接，，过作，垂足为H，∵，，点E是线段的三等分点（），∴，，∴，设，则，∵是等边三角形，∴，，∵，∴ 令，则，∴，则，当时，最小，且为，故选A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，二次函数的最值，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是正确表示出阴影部分的面积，利用二次函数的性质求解．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.写出一个顶点在轴上，开口向上的抛物线：________________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】写出一个二次项系数大于0且一次项为0的二次函数，即可求解．【详解】解：依题意，一个顶点在轴上，开口向上的抛物线可以是，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．12.若，都在函数的图像上，且，则_____．（填“”、“”或“”）【答案】【解析】【分析】可得当时，，随着的增大而减小，据此进行判断，即可求解．【详解】解：，当时，，且y随着的增大而减小，，，故答案：．【点睛】本题考查了反比例函数性质，掌握性质是解题的关键． 13.已知在二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如下表：．．．0123．．．．．．8300．．．则满足方程 的解是______________________．【答案】，【解析】【分析】二次函数与轴交点的横坐标是对应方程的根，据此进行求解即可．【详解】解：由题意得当时，，当时，，抛物线与的交点为，，的根为，；故答案：，．【点睛】本题考查了二次函数与对应方程之间的关系，理解此关系是解题的关键．14.已知二次函数，都在二次函数的图象上．（1）_____________（用含的代数式表示）（2）若，则的取值范围是__________________．【答案】①.②.或【解析】【分析】（1）根据A，C两点的坐标特征以及对称轴的求法，根据对称轴的不同求法列出等式，整理即可；（2）利用（1）中结论，分别将点B和点C代入函数表达式，q的范围列出相应不等式，进而求解即可．【详解】解：（1）∵都在二次函数的图象上，∴对称轴为直线，又对称轴为直线，∴；（2）∵，， ∴，解得：，此时对称轴在y轴右侧，令，则，令，则，解得：，则，解得：；令，则，∵，，∴，整理得：，令，再令，解得：或，如图，二次函数开口向上，与横轴交于和，若，则或，综上：n的取值范围是或，故答案为：，或．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点，二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点问题，解不等式，解题的关键是理清题中多个参数，逐步根据关系列不等式求解．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.将二次函数 配成顶点式，并写出它的对称轴．【答案】，对称轴为直线【解析】【分析】根据配方法，化成顶点式，即可得出对称轴． 【详解】解：，即，对称轴为直线．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键．16.正方形的边长为4，当边长增加x时，面积增加y，求y与x之间的函数关系式．【答案】【解析】【分析】根据增加的面积新正方形的面积边长为4的正方形的面积，求出即可．【详解】解：由题意得：．故与之间的函数表达式为．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，解决本题关键是找到相应的等量关系，易错点是得到新正方形的边长．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.已知二次函数 在时，取得的最大值为15，求的值．【答案】【解析】【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出时，的值，再根据二次函数的性质得出答案．【详解】解：二次函数，抛物线的对称轴为直线，顶点，则在时，y随x的增大而增大，当时，，解得或，当时，的最大值为15，． 【点睛】本题考查的是二次函数的最值，熟知二次函数的顶点坐标公式是解答此题的关键．18.【观察思考】【规律发现】（1）上述9组算式，两数相乘，积的最大值是___________．（2）如果设每组算式第一个因数为，则第二个因数可以表示为___________（用含的代数表示）【类比应用】，，，……，，，（3）猜想的最大值，并说明理由．【答案】（1）25；（2）；（3）324，理由见解析【解析】【分析】（1）通过运算，可用发现两个因数相同时积最大，即的结果最大；（2）观察两个因数的和，可发现a与b的数量关系；（3）由于，将代入，利用二次函数的性质即可得出时，的最大值为324．【详解】解：（1），，，，，故积的最大值为25；（2）设参与上述运算的第一个因数为a，则第二个因数为；（3）最大值为324，理由是：∵，∴，∴，∴当时，的最大值为324．【点睛】本题考查二次函数最值，掌握求二次函数最值的方法是解题的关键．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）结合图象，直接写出关于的不等式的解集．【答案】（1），（2）或【解析】【分析】（1）把点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出，得出反比例函数的解析式，再把点的坐标代入反比例函数的解析式，求出，再求出一次函数的解析式即可；（2）根据函数的图象和、两点的坐标得出答案即可．【小问1详解】解：把代入得：，即反比例函数的表达式是，把代入得：，即，把、的坐标代入，得，解得：，所以一次函数的表达式是；【小问2详解】根据图象可知：关于的不等式的解集为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式等知识点，能用待定系数法求出函数的解析式是解此题的关键． 20.杭州亚运会，34岁巩立姣以米的成绩夺得亚运会女子铅球冠军，实现亚运三连冠．下图是她在比赛前的某次掷球练习，铅球出手以后的轨迹可近似看作是抛物线的一部分，铅球出手时离地面米，铅球离抛掷点水平距离米时达到最高位置米．如图，以水平面为轴，她所站位置的铅垂线为轴建立平面直角坐标系，设铅球飞行的高度为米，铅球飞行水平距离为米．（1）求与之间的函数关系式；（2）巩立姣杭州亚运会夺冠成绩是否超过此次练习的成绩【答案】（1）（2）巩立姣杭州亚运会夺冠成绩超过此次练习的成绩【解析】【分析】（1）依题意，，顶点坐标为，设抛物线的解析式为，将点代入，即可求解；（2）将代入（1）中的解析式，即可求解．【小问1详解】解：依题意，，顶点坐标为，设抛物线的解析式为，将点代入得，，解得：，∴，【小问2详解】解：当时，，解得：（舍去），∵，∴巩立姣杭州亚运会夺冠成绩超过此次练习的成绩． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出二次函数关系式是解题的关键．六、（本题满分12分）21.若一个点的纵坐标是横坐标的两倍，即满足，则称点A为“奇幻点”．（1）请找到二次函数图象上的“奇幻点”；（2）已知二次函数（为常数，且），当t为何值时，该二次函数只有唯一的“奇幻点”．【答案】（1）和（2）【解析】【分析】（1）将代入函数表达式中，求出m值即可得解；（2）令得到方程，再根据只有一个“奇幻点”可得方程两个相同的实数解，结合判别式求解即可．【小问1详解】解：将代入中，得：，解得：或，∴二次函数图象上的“奇幻点”为和；【小问2详解】令，则，整理得：，∵该二次函数只有唯一的“奇幻点”，∴方程有两个相同的实数解，∴，解得：．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点，解一元二次方程，根的判别式，解题的关键是理解函数和方程之间的关系． 七、（本题满分12分）22.第十四届中国（合肥）国际园林博览会于2023年9月26日开幕．某花卉公司承担了安徽展园100平方米的花卉种植工作，原计划A类花卉和B类花卉各种植50平方米，A类花卉每平方米利润是160元，B类花卉每平方米利润是80元．实际种植时，考虑美观后有所调整：增加A类花卉种植面积，减少B类花卉种植面积．（增加A类花卉种植面积与减少B类花卉种植面积相等）设增加A类花卉种植面积平方米．（1）用含的代数式分别表示A类花卉和B类花卉的实际种植面积；（2）已知A类花卉种植每增加1平米，每平方米利润减少1元，B类花卉每平方米利润始终保持不变，如何调整种植面积，能够使得该花卉公司获得的最大利润?最大利润是多少?【答案】（1）A类：；B类：（2）增加A类花卉种植面积15平方米，减少B类花卉种植面积15平方米时，该花卉公司获得的利润最大，且为12225元．【解析】【分析】（1）根据原有种植面积以及增加A类花卉种植面积与减少B类花卉种植面积相等列式即可；（2）设利润为，列出关于x的表达式，再利用二次函数的最值求解即可．【小问1详解】解：设增加A类花卉种植面积平方米，由题意可得：A类花卉的实际种植面积为：平方米；B类花卉的实际种植面积为：平方米；【小问2详解】设利润为，则 ，∴增加A类花卉种植面积15平方米，减少B类花卉种植面积15平方米时，该花卉公司获得的利润最大，且为12225元．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是能根据题意正确列出利润与的函数关系式．八、（本题满分14分）23.平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线．（1）求、的值；（2）抛物线与轴交于B、C两点（C在B的右侧），点D是抛物线的顶点．(ⅰ)点E是抛物线上一动点，且位于直线的上方，过点E作的垂线交于点F，求长度的最大值；(ii)在直线上是否存在点G，使得？若存在，请求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1），（2）(ⅰ)(ii)或【解析】【分析】（1）可得，即可求解；（2）（ⅰ）过作轴，交轴于，交直线于，可证，从而可得，可求直线的解析式为，设，，，可求，，，从而可求，即可求解；（ⅱ）①取的中点，过作交于，连接、，过作轴交于，可求，，，可证为直角三角形，从而可证，可得，从而可求，，即可求解；②作线段关于对称的线段交直线于，设，由 ，即可求解．【小问1详解】解：由题意得，解得：，答：，；【小问2详解】解：（ⅰ）如图，过作轴，交轴于，交直线于，，，，，由（1）得，当时，，解得：，，，设直线的解析式为，则有， 解得：，直线的解析式为，设，，，，，，，，()，，；故长度的最大值．（ii）①如图，取的中点，过作交于，连接、，过作轴交于， ，，，，即：，是抛物线的顶点，当时，，，，，，，，，，，为直角三角形，，，，，， 解得：，，，，，，，，解得：，，；②如图，作线段关于对称的线段交直线于，，，，设，， 整理得：，解得：，，当时，，不合题意，舍去，，，；故的坐标或．【点睛】本题考查了二次函数的性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，待定系数法求一次函数关系式，掌握相关的判定方法及性质，求出满足的二次函数，作出适当的辅助线是解题的关键．