安徽省合肥梦园中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（沪科版）

2023-2024学年合肥梦园中学九年级上册数学期中卷（沪科版）注意事项：1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．1.如图，，则的度数是（）A.B.C.D.2.二次函数与轴交点个数是（）A.0B.1C.2D.33.在比例尺为1∶5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地的实际距离是（　　）A.1250kmB.125kmC.12.5kmD.1.25km4.若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是()A.B.C.k>2D.k<25.在与中，，下列一定能使的是（）A.B.C.D.6.若，则的值是（）A.B.C.D.7.二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（） AB.C.D.8.某公司销售一种成本为每件20元的LED护眼台灯．销售过程中发现，若销售单价为x元，则月销售量为件．为使每月获得最大利润，该台灯应定价为（）A.30元B.35元C.40元D.45元9.如图在中，中线BE、CD相交于点O．连接DE，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个10.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P是斜边AB上一动点（不与点A、B重合），PQ⊥AB交△ABC的直角边于点Q，设AP为x，△APQ的面积为y，则下列图象中，能表示y关于x的函数关系的图象大致是（）A.B.C.D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.二次函数最小值是_____．12.线段的长度为，点是上一点、且使，则线段的长为_____．13.某种植物当月平均最低气温低于时就会停止生长，某地月平均最低气温y（℃）和月份n之间函数关系式为（，且n为正整数），则该植物在该地停止生长的份是________．14.如图，矩形中，，．将矩形分成矩形和矩形．（1）若矩形与矩形相似，则的长是________；（2）若矩形与矩形相似（两矩形全等的情况除外），则的长是________．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.如图，在中、已知，，，，求的长．16.如图，已知是坐标原点，、两点的坐标分别为、．（1）以点为位似中心在轴的左侧将放大到两倍即新图与原图的相似比为，画出图形；（2）分别写出、两点对应点、的坐标；（3）如果内部一点的坐标为，写出的对应点的坐标．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.已知抛物线，将该抛物线向右平移个单位，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求p的值．18.如图，方格网的小方格是边长为1的正方形，和的顶点都是格点．判断与是否相等，为什么？五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，用一个交叉卡钳测量零件的内孔直径．两条尺长和相等，，且．若测得，那么零件的内孔直径是多少？并说明理由．20.如图，在中，，高，矩形的一边在边上，E、F分别在上，交于点H．设．（1）当四边形为正方形时，求x的值；（2）求矩形的最大面积．六、（本题满分12分） 21.如图，直线与双曲线交于C、D两点，与x轴交于点A．（1）①填空：点A的坐标是_______；②过点C作轴，垂足为B．若，求双曲线的函数表达式；（2）在（1）的条件下，若，求点C和点D的坐标．七、（本题满分12分）22.如图，在中，，点是边的一点，，且，连接并延长，交于，交的延长线于．（1）若，，求的长；（2）求证：．八、（本题满分14分）23.我们规定二次函数的“负相关函数”为．（1）写出二次函数的“负相关函数”；（2）若点在二次函数的图象上，证明点在它的“负相关函数”的图象上；（3）已知，，若是的“负相关函数”，垂直于轴的直线与和分别相交于，两点，当点在点上方时，求线段的最大值． 2023-2024学年合肥梦园中学九年级上册数学期中卷（沪科版）注意事项：1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．1.如图，，则的度数是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题考查相似三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．利用相似三角形的性质以及三角形的内角和定理即可解决问题【详解】解：∵，∴∵，故选：C2.二次函数与轴的交点个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】根据根的判别式计算判断即可．【详解】解：令，∵，∴二次函数与x轴的交点个数是1， 故选：B．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，熟练掌握根的判别式是解题的关键．3.在比例尺为1∶5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地的实际距离是（　　）A.1250kmB.125kmC.12.5kmD.1.25km【答案】D【解析】【分析】根据比例尺及题意可直接列式求解．【详解】解：由题意得：甲、乙两地的实际距离为：；故选D．【点睛】本题主要考查比例，熟练掌握图上距离、比例尺与实际距离的关系是解题的关键．4.若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是()A.B.C.k>2D.k<2【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数的图象和性质，由1−2k＜0即可解得答案．【详解】∵反比例函数的图象分布在第二、四象限，∴1−2k＜0，解得，故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．5.在与中，，下列一定能使的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定条件：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）夹角相等，对应边成比例，两三角形相似；（3 ）三边对应成比例，两三角形相似．熟练掌握相似三角形的判定方法，并结合题意逐一判断即可得到答案．【详解】解：根据题意可画图如下：∵，∴或可证得，故A、B选项都不符合题意；可证得，故D选项符合题意．故选：D．6.若，则的值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了分式的性质，代数式求值．熟练掌握：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变；是解题的关键．根据，计算求解即可．【详解】解：∵，∴，故选：C．7.二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了根据二次函数的图象判断式子符号．从函数图象中获取正确的信息是解题的关键．由题意知，，则，，无法判断与的大小关系，然后对各选项进行判断作答即可．【详解】解：由题意知，，∴，∴，无法判断与的大小关系，∴A、B、D错误，故不符合要求；C正确，故符合要求；故选：C．8.某公司销售一种成本为每件20元的LED护眼台灯．销售过程中发现，若销售单价为x元，则月销售量为件．为使每月获得最大利润，该台灯应定价为（）A.30元B.35元C.40元D.45元【答案】B【解析】【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据总利润单件利润数量列出函数关系式解答即可．【详解】解：设利润为，由题意得：，化简得，故当时，每月获得最大利润．故选B．9.如图在中，中线BE、CD相交于点O．连接DE，下列结论：①；②；③ ；④．其中正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】【分析】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质．、是的中线，即D、E是和的中点，即是的中位线，则，，根据相似三角形的性质和三角形中线的性质即可判断．【详解】解：∵、是中线，即D、E是和的中点，∴是的中位线，∴，，即，①正确；∵，∴，∴，②错误；∵,，，∴,③正确；∵，∴，∴，又∵是的中线，∴，∴， 又∵是的中线，∴，∴，④正确综上，②错误，①③④正确；故选：C．10.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P是斜边AB上一动点（不与点A、B重合），PQ⊥AB交△ABC的直角边于点Q，设AP为x，△APQ的面积为y，则下列图象中，能表示y关于x的函数关系的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分点Q在AC上和BC上两种情况结合三角形的面积公式s进行讨论即可．【详解】当点Q在AC上时，当点Q在BC上时，如下图所示 ∵AP=x，AB=5，∴BP=5-x，∵PQ⊥AB，∠C=90°，∴∠BPQ=∠C=90°，又∠B=∠B，∵△ABC∽△QBP∴，∴∴∴该函数图象前半部分是抛物线开口朝上，后半部分也为抛物线开口向下．故选C．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，涉及相似三角形，二次函数等知识，解题的关键是读懂题意及图形的特征，注意点Q在BC上这种情况．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.二次函数的最小值是_____．【答案】【解析】【分析】本题考查了求二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．【详解】解：对于二次函数，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，则当时，取得最小值，最小值是，故答案为：．12.线段的长度为，点是上一点、且使，则线段的长为_____． 【答案】##【解析】【分析】本题考查了黄金分割点的定义，由题意得点是线段的黄金分割点，再列式计算即可，解题的关键是掌握黄金分割的几何含义并熟记其比值．【详解】∵点为线段上的一点，，∴点是线段的黄金分割点，且，∴，故答案：．13.某种植物当月平均最低气温低于时就会停止生长，某地月平均最低气温y（℃）和月份n之间的函数关系式为（，且n为正整数），则该植物在该地停止生长的份是________．【答案】1【解析】【分析】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，将代入得：，求得n的值，再利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：由题意知，由题意得：将代入得：，解得：，∵二次函数开口向下，且对称轴为直线，∴当或时，，∵n为正整数，∴，该植物在该地停止生长的份是1月，故答案为：114.如图，矩形中，，．将矩形分成矩形和矩形． （1）若矩形与矩形相似，则的长是________；（2）若矩形与矩形相似（两矩形全等情况除外），则的长是________．【答案】①.②.2或8【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，相似多边形的性质．根据相似写出比例关系是解题的关键．（1）由矩形的性质可知，，设，则，由矩形与矩形相似，分当时，当时，两种情况求出满足要求的解即可；（2）由矩形与矩形相似，可知，即，计算求出满足的解即可．【详解】（1）解：∵矩形，∴，，设，则，∵矩形与矩形相似，∴当时，即，解得（舍去）；当时，即，解得；综上，，故答案为：；（2）解：∵矩形与矩形相似，∴，即，整理得，，解得或，∴的值为2或8；故答案为：2或8．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.如图，在中、已知，，，，求的长． 【答案】【解析】【分析】本题主要考查平行线段分线段成比例，由题意得到即可求出的值，得到答案．【详解】解：，，，，．16.如图，已知是坐标原点，、两点的坐标分别为、．（1）以点为位似中心在轴的左侧将放大到两倍即新图与原图的相似比为，画出图形；（2）分别写出、两点的对应点、的坐标；（3）如果内部一点的坐标为，写出的对应点的坐标．【答案】（1）见解析（2），（3）【解析】【分析】（1）延长，到，使，的长度是，的倍．顺次连接三点即可； （2）从直角坐标系中，写出、的坐标；（3）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以的坐标，所以的坐标为，写出的对应点的坐标为．【小问1详解】解：如图，即为所求；【小问2详解】解：对应点、的坐标为，；【小问3详解】解：从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以的坐标，所以的坐标为，写出的对应点的坐标为．【点睛】本题综合考查了直角坐标系和相似三角形的有关知识，注意做这类题时，性质是关键，看图也是关键．很多信息是需要从图上看出来的．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.已知抛物线，将该抛物线向右平移个单位，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求p的值．【答案】5【解析】【分析】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数顶点式．熟练掌握：左加右减，上加下减是解题的关键．由题意知，，则平移后的解析式为，将代入求出满足要求的解即可．【详解】解：，∴平移后的解析式为，将代入得，解得，或（舍去）， ∴p的值为5．18.如图，方格网的小方格是边长为1的正方形，和的顶点都是格点．判断与是否相等，为什么？【答案】相等，理由见解析【解析】【分析】本题考查了勾股定理，分母有理化，相似三角形的判定与性质．熟练掌握：三边对应成比例，两个三角形相似；是解题的关键．由题意知，，，由勾股定理得，，，，，根据，即，可证，然后作答即可．【详解】解：由题意知，，，由勾股定理得，，，，，∵，，∴，即，∴，∴． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，用一个交叉卡钳测量零件的内孔直径．两条尺长和相等，，且．若测得，那么零件的内孔直径是多少？并说明理由．【答案】，理由见解析【解析】【分析】本题主要是把实际问题抽像到相似三角形中，利用相似三角形的相似比求出直径的值，即可．【详解】解：两条尺长和相等，，，，，，，，，．20.如图，在中，，高，矩形的一边在边上，E、F分别在上，交于点H．设．（1）当四边形为正方形时，求x的值；（2）求矩形的最大面积．【答案】（1）（2）5【解析】 【分析】（1）由，可得，则，由，证明，则，即，计算求解即可；（2）设，则，，同理（1），则，即，解得，，由，二次函数的图象与性质求解作答即可．【小问1详解】解：由题意知，，，，，∵，∴，∵四边形为正方形，，∴，则，∵，∴，∴，即，解得，，∴x的值为；【小问2详解】解：设，则，，同理（1），∴，即，解得，，∴，∵，∴当时，矩形的面积最大，最大面积为5．【点睛】本题查了矩形的性质，正方形的性质，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象与性质．利用相似确定线段的数量关系是解题的关键．六、（本题满分12分） 21.如图，直线与双曲线交于C、D两点，与x轴交于点A．（1）①填空：点A的坐标是_______；②过点C作轴，垂足为B．若，求双曲线的函数表达式；（2）在（1）的条件下，若，求点C和点D的坐标．【答案】（1）①；②（2），【解析】【分析】（1）①将代入，解得，，则；②设，（其中），则，根据，计算求出值，进而可得双曲线的函数表达式；（2）由（1）知，，由勾股定理得，，解得，或（舍去），则；将代入，解得，则，联立，整理得，，解得，或，将代入得，，进而可得．【小问1详解】①解；将代入得，，解得，，∴，故答案为：； ②解：设，（其中），则，∴，解得，，∴；【小问2详解】解：由（1）知，，由勾股定理得，，解得，或（舍去），∴；将代入得，，解得，∴，联立，整理得，，解得，或，将代入得，，∴．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，直线与坐标轴交点，坐标与图形，勾股定理．熟练掌握联立方程求交点坐标是解题的关键．七、（本题满分12分）22.如图，在中，，点是边的一点，，且，连接并延长，交于，交的延长线于． （1）若，，求的长；（2）求证：．【答案】（1）长为（2）证明过程见详解【解析】【分析】（1）根据可证，根据线段成比例的性质可得，再证，可得，由此即可求解；（2）设，，根据题意可证，可得，根据线段成比例的性质可得，将带入计算，即可求证；本题主要考查相似三角形的判定和性质，线段成比例的性质等知识的综合，掌握以上知识是解题的关键．【小问1详解】解：∵，∴设，，则，∴，∵，∴，∴，则，且，∴，∵，∴，∴，，∴， ∴，∴的长为．【小问2详解】解：设，，∵，∴，∴，则，∵，∴，∴，整理得，，∴，，，且，∴，∴．八、（本题满分14分）23.我们规定二次函数的“负相关函数”为．（1）写出二次函数的“负相关函数”；（2）若点在二次函数的图象上，证明点在它的“负相关函数”的图象上；（3）已知，，若是的“负相关函数”，垂直于轴的直线与和分别相交于，两点，当点在点上方时，求线段的最大值．【答案】（1）；（2）见解析；（3）．【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质及新定义的理解，()根据新定义可得；()将点代入得，即，从而得证；()求出的“负相关函数”，计算，根据，可求得的值，从而确定，设点的坐标为，则点的坐标为，得到即可求出的最大值，根据新定义得出负相关函数解析式及表示出线段的解析式是解题的关键．【小问1详解】由题意可知，二次函数的“负相关函数”为；【小问2详解】∵点在二次函数的图象上，∴，∴，∴在它的“负相关函数”的图象上；【小问3详解】∵，∴的“负相关函数”为，∵，∴，∵是的“负相关函数”，∴，，解得，，∴，设点的坐标为，则点的坐标为，∵当点在点上方， ∴，∵，∴当时，取最大值，的最大值，∴线段的最大值为．