安徽省合肥市合肥卓越中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析）

安徽省合肥卓越中学2023-2024学年上学期高二年级数学期中考试（考试总分：150分考试时长：120分钟）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.经过两点的直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据直线上任意两点可求出斜率，从而求出倾斜角.【详解】由题意得，所以直线的倾斜角为；故选：A2.以点为圆心，且与直线相切的圆的方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式求出圆的半径即可得解.【详解】由直线为圆的切线，得圆的半径，所以所求圆的方程为.故选：A 3.已知，如果与为共线向量，则（　　）A.1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由与为共线向量则求解即可.【详解】因为与为共线向量，所以，即，解得，故选：D4.经过两条直线，的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】联立方程组求得两直线的交点坐标为，再由题意，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】联立方程组，解得，即两直线的交点坐标为，因为直线一个方向向量，可得所求直线的斜率为，所以所求直线方程为，即.故选：A.5.如图，在正方体中，M，N分别为AB，B1C的中点，若AB＝a，则MN的长为（） A.aB.aC.aD.a【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，用，，表示，将线段长度问题转换为向量模长问题.【详解】设，，，则构成空间的一个正交基底.，故，所以MN＝a.故选：A6.已知，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系及两点距离公式计算即可.【详解】易知为圆上一点与直线上一点的距离的平方，易知圆心，半径，点C到直线的距离，则. 故选：B7.在我国古代的数学名著《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥.如图，在堑堵中，，当鳖臑的体积最大时，直线与平面所成角的正弦值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根据鳖臑体积最大求出和的值，建系求出各点坐标，利用向量即可求出直线与平面所成角的正弦值.【详解】在堑堵中，，，，，，，，当且仅当是等号成立，即当鳖臑的体积最大时，， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，，设平面的法向量，则，取，得，设直线与平面所成角为，则，直线与平面所成角的正弦值为．故选：C．8.已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出的值，利用，根据向量模的计算即可求得答案. 【详解】由题意椭圆，为两个焦点，可得，则①，即，由余弦定理得，，故，②联立①②，解得：，而，所以，即，故选：B【点睛】方法点睛：本题综合考查了椭圆和向量知识的结合，解答时要注意到O为的中点，从而可以利用向量知识求解.二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.已知平面的一个法向量为，以下四个命题正确的有（）A.若直线的一个方向向量为，则B.若直线的一个方向向量为，则C.若平面的一个法向量为，则D.若平面的一个法向量为，则【答案】BD【解析】 【分析】由，可判断AB；由可判断CD【详解】对于AB：平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，所以，所以与不垂直，又，所以，所以，故A错误，B正确；对于CD：平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，，所以，所以，所以，故C错误，D正确；故选：BD10.已知方程，则下列说法正确的是（）A.当时，表示圆心为的圆B.当时，表示圆心为的圆C.当时，表示的圆的半径为D.当时，表示的圆与轴相切【答案】BCD【解析】【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，方程，可化为，可圆的圆心坐标为，A中，当时，此时半径为，所以A错误；B中，当时，此时半径大于，表示圆心为的圆，所以B正确； C中，当时，表示的圆的半径为，所以C正确；D中，当时，可得，方程表示的圆半径为，又圆心坐标为，所以圆心到轴的距离等于半径，所以圆与轴相切，所以D正确．故选：BCD.11.已知（a，）是直线l的方向向量，是平面的法向量，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C若，则D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】选项A、B：根据求解；选项C、D：根据，向量的平行求解；【详解】对于A，B，若则，所以，即，即，A正确，B错误；对于C、D，若，则，所以，即且，C、D正确.故选：ACD.12.如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角为的平面所截，截面是一个椭圆，则（）A.椭圆的长轴长为4 B.椭圆的离心率为C.椭圆的方程可以为D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】结合图象根据椭圆的长轴，短轴的几何意义求椭圆的，由此判断各选项.【详解】设椭圆的长半轴长为，椭圆的长半轴长为，半焦距为，由图象可得，∴，又，，∴，∴椭圆的长轴长为4，A对，椭圆的离心率为，B错，圆的方程可以为，C对，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，D对，故选：ACD.三、填空题（本题共计4小题，总分20分）13.两直线与平行，则它们之间的距离为__________．【答案】【解析】分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式求解即得.【详解】两直线与平行，则，即，直线化为：，于是. 所以所求距离为.故答案为：14.圆与圆的公共弦长为__________.【答案】【解析】【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长.【详解】设圆与圆相交于，两点，圆的半径，将两圆的方程相减可得，即两圆的公共弦所在的直线方程为，又圆心到直线的距离，，所以，解得.故答案为：.15.如图，平行六面体的底面是边长为的正方形，且，，则线段的长为_____．【答案】【解析】【分析】以为基底表示出空间向量，利用向量数量积的定义和运算律求解得到，进而得到的长. 【详解】，，即线段的长为.故答案为：.16.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿氏圆”.在平面直角坐标系中，点，满足的动点的轨迹为，若在直线上存在点，在上存在两点A、B，使得，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据求轨迹方程的步骤：1.设点的坐标；2.找等量关系列方程；3.化简.先求出动点的轨迹方程，然后根据题意要使在直线上存在点，在上存在两点A、B，使得成立，则点到圆心的距离小于等于，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】设，因为，，又因为，所以，化简整理可得：，动点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，因为直线过定点，若在直线上存在点，在上存在两点A、B，使得，由数形结合可知：当A、B为圆的切点时点到圆心的距离达到最大，此时为，所以点到圆心的距离小于等于，也即，解之可得：，所以实数的取值范围是， 故答案为：.四、解答题（本题共计6小题，总分70分）17.在平行四边形ABCD中，，，，点E是线段BC的中点．（1）求直线CD的方程；（2）求过点A且与直线DE垂直的直线．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出点D的坐标，再求出直线CD的方程作答.（2）求出点E坐标及直线DE的斜率，再利用垂直关系求出直线方程作答.【小问1详解】在平行四边形ABCD中，，，，则，则点，直线CD的斜率，则有，即，所以直线CD的方程是.【小问2详解】依题意，点，则直线DE的斜率，因此过点A且与直线DE垂直的直线斜率为，方程为，即，所以所求方程是.18.如图，在正方体中，为的中点.（1）证明：直线平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线线平行，结合线面平行的判定即可求证，（2）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解线线角.【小问1详解】如图，连接交于点，连接，由于为的中点，为的中点,则,又因为平面平面，所以平面【小问2详解】以为原点，所在直线为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为，则，所以，，设与所成角为, 则所以与所成角的余弦值为.19.已知圆的圆心坐标，直线被圆截得弦长为．（1）求圆的方程；（2）从圆外一点向圆引切线，求切线方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出圆的半径，由此可得出圆的方程；（2）对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在第一种情况下，写出切线方程，直接验证即可；在第二种情况下，设出切线方程为，利用圆心到切线的距离等于圆的半径，由此可得出所求切线的方程.小问1详解】解：圆心到直线的距离为，所以，圆的半径为，因此，圆的方程为.【小问2详解】解：当切线的斜率不存在时，则切线的方程为，且直线与圆相切，合乎题意；当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，由题意可得，解得，此时，切线的方程为.综上所述，所求切线的方程为或.20.如图，在四棱台中，底面为矩形，平面平面，且 .（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连结，进而利用勾股定理证明，结合题中条件利用线面垂直的判断定理证明即可；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，计算即可.【小问1详解】如图，在梯形中，因为，作于，则，所以，所以，连结，由余弦定理可求得因为，所以，因为平面平面且交于，平面，所以平面因为平面，所以，因为，平面，所以平面. 【小问2详解】连结，由（1）可知，平面，所以与平面所成的角为，即，在中，因为，所以因为，所以平面与平面是同一个平面.以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，所以设平面的法向量为，则有，,即，令，则，故由题意可知是平面的一个法向量所以， 故平面与平面夹角的余弦夹角的值为.21.如图，相距14km两个居民小区M和N位于河岸l（直线）的同侧，M和N距离河岸分别为10km和8km．现要在河的小区一侧选一地点P，在P处建一个生活污水处理站，从P排直线水管PM，PN分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ，使小区污水经处理后排入河道．设PQ段长为tkm（0<t<8）．（1）求污水处理站P到两小区的水管的总长最小值（用t表示）；（2）请确定污水处理站P的位置，使所排三段水管的总长最小，并求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度．【答案】（1）（2）P点距河岸5km，距小区M到河岸的垂线km，此时污水处理站到小区M和N的水管长度分别为10km和6km．【解析】【分析】（1）本题实质为在一直线上求一点到两定点距离之和最小，其求法为利用三角形两边之和大于第三边：先作N关于直线的对称点，再利用得最小值（2）由（1）知三段水管的总长，因此总长最小就是求最小值，这种函数最小值可利用判别式法求解，即从方程有解出发，利用判别式不小于零得解．【详解】（1）如图，以河岸所在直线为轴，以过垂直于的直线为轴建立直角坐标系，则可得点， 设点，过P作平行于轴的直线m，作N关于m的对称点，则．所以即为所求．（2）设三段水管总长为，则由（1）知，所以在上有解．即方程在上有解．故，即，解得或，所以的最小值为21，此时对应的．故，方程为，令得，即，从而，．所以满足题意的P点距河岸5km，距小区M到河岸的垂线km，此时污水处理站到小区M和N的水管长度分别为10km和6km．22.已知椭圆的上顶点与左､右焦点连线的斜率之积为. （1）求椭圆的离心率；（2）已知椭圆的左､右顶点分别为，且，点是上任意一点（与不重合），直线分别与直线交于点为坐标原点，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由椭圆标准方程可写出顶点以及焦点坐标，由斜率之积可得，即可求出离心率；（2）设出点坐标，写出直线和的方程求出交点坐标，利用化简的表达式即可求得结果.【小问1详解】根据题意可得椭圆的上顶点的坐标为，左､右焦点的坐标分别为，由题意可知，即，又，所以，即，可得椭圆的离心率.【小问2详解】由，得，即，所以椭圆的方程为.如图所示： 设，则，即，又，则直线的方程为，直线的方程为；因为直线分别与直线交于点，可得，所以.