安徽省合肥市第四十五中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（沪科版）

合肥四十五中2023-2024学年第一学期期中八年级数学综合训练一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.在平面直角坐标系中，点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知正比例函数，当时，，则下列各点在该函数图像上的是（　　）A.（﹣1，﹣3）B.（﹣1，3）C.（3，1）D.（﹣3，1）3.小芳有两根长度为和的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择木条的长度为（）A.B.C.D.4.等腰三角形的周长为11，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为（　　）A.3B.5C.4或5D.3或55.已知直线经过点，，，则，，的大小关系是（　　）A.B.C.D.6.已知直线经过一、二、四象限，则直线的图象只能是（）A.B.C.D.7.三角形中，三个内角的比为，则该三角形最大的外角为（　　）A.B.C.D.8.下列命题中，真命题的个数是（　　）①内错角相等； ②若函数是关于的一次函数，则的值是；③三角形的三条高相交于同一点；④同一平面内，若，，则．A.1个B.2个C.3个D.4个9.如图，，分别表示甲、乙两人在越野登山比赛整个过程中，所走的路程y（m）与甲出发时间x（min）的函数图像，下列说法正确的有（）①越野登山比赛的全程为1000m；②乙的速度为20m/min；③a的值为750；④乙到达终点时，甲离终点还有100mA.1个B.2个C.3个D.4个10.如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数为（）A.B.C.D.二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 11.在函数中,自变量的取值范围是___________.12.在平面直角坐标系中，点的坐标为，若点在轴上，则点的坐标为__________．13.已知一次函数的图象不经过第三象限，则正整数的值为__________．14.定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“最佳间距”．例如：点，，的“最佳间距”是1．（1）点，，的“最佳间距”是__________；（2）当点，，的“最佳间距”为时，点的横坐标为__________．三、解答题（共9小题，共90分）15.如图，的顶点，，．若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点C的对应点坐标是．（1）画出，并直接写出点坐标（2）求的面积．16.如图，中，，是的两条高，，．（1）请画出，；（2）若，求的长． 17.已知直线在轴上的截距为，且与直线：平行．（1）求直线的函数表达式；（2）求直线与轴交点坐标，并画出其函数图象．18.如图，直线的函数表达式为，直线与轴交于点，直线：与轴交于点，且经过点，如图所示，直线，交于点．（1）求点坐标和直线的函数表达式；（2）利用函数图象直接写出关于的不等式的解集．19.已知与成正比例，且时，．（1）求与的函数关系式；（2）将所得函数图象向上平移3个单位，求平移后直线与坐标轴围成的三角形的面积．20.如图，在中，是高，是角平分线，且．（1）若，，求，度数； （2）若，直接写出此时的度数．21.（1）如图1，在中，，的角平分线交于点，则．如图2，在中，，的两条三等分角线分别对应交于，，求证：．（2）如图3，当、被等分时，内部有个点，则与的关系为：__________（用含的代数式表示）22.如图，在中，，上一点，且．（1）求证：；证明：在中，∵（已知），∴（____________________）．又∵（已知），∴（____________________）．在中，（三角形内角和定理），∴（等式的性质），∴（垂直的定义）．（2）如图②，若的平分线分别交，于点，，求证：；（3）如图③，若为上一点，交于点，，，，连接，求的面积．23.如图①，四边形中，，．动点从出发，以每秒1个单位的速度沿路线运动到停止．设运动时间为，的面积为，关于的函数图象如图②所示． （1）结合图①和图②可知，__________，__________；（2）①当点在线段上运动时，请写出与的关系式（并写明自变量的取值范围）；②当时，等于多少？（3）如图③，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿路线运动到点停止，同时，动点从点出发，以每秒5个单位的速度沿路线运动到点停止，设运动时间为，当点运动到边上时，连接、、，当的面积为时，直接写出的值． 合肥四十五中2023-2024学年第一学期期中八年级数学综合训练一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.在平面直角坐标系中，点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据直角坐标系中每个象限内点的坐标特征辨别即可．【详解】解：∵，∴点横坐标为负，纵坐标为正，在第二象限．故选：B．【点睛】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，牢记相关的知识点并灵活应用是解题的关键．2.已知正比例函数，当时，，则下列各点在该函数图像上的是（　　）A.（﹣1，﹣3）B.（﹣1，3）C.（3，1）D.（﹣3，1）【答案】A【解析】【分析】先求出正比例函数，再将点坐标逐个代入，即可得答案．【详解】解：∵正比例函数，当时，，∴，解得，∴正比例函数为，在正比例函数中，若，则，（﹣1，﹣3）在函数图像上，故选项A符合题意，选项B不符合题意；若，则，（3，1）不在函数图像上，故选项C不符合题意；若，则，（﹣3，1）不在函数图像上，故选项D不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式及函数图像上点的坐标的特征，理解函数图像上的点，其坐标需满足解析式是解本题的关键．3.小芳有两根长度为和 的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择木条的长度为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设木条的长度为xcm，再由三角形的三边关系即可得出结论．【详解】设木条的长度为xcm，则10-5＜x＜10+5，即5＜x＜15．故选D．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．4.等腰三角形的周长为11，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为（　　）A.3B.5C.4或5D.3或5【答案】D【解析】【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边关系；分底边为3时、腰长为3时两种情况，求出三条边的长度，判断是否符合三角形三边关系，即可得解．【详解】解：当底边为3时，腰长为，三条边长分别为4，4，3，符合三角形三边关系，此时三角形的底边长为3；当腰长为3时，底边长为，三条边长分别为3，3，5，符合三角形三边关系；此时三角形的底边长为5；综上可知，该等腰三角形的底边长为3或5．故选：D．5.已知直线经过点，，，则，，的大小关系是（　　）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本题考查一次函数的增减性．对于一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．熟记相关结论即可． 【详解】解：∵，∴随的增大而减小．∵∴故选：D6.已知直线经过一、二、四象限，则直线的图象只能是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据直线经过一、二、四象限，可得，，从而得到，即可求解．【详解】解：直线经过一、二、四象限，，，，直线的图象经过一、二、三象限，选项B中图象符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“，的图象在一、二、四象限”是解题的关键．由直线经过的象限结合四个选项中的图象，即可得出结论．7.三角形中，三个内角的比为，则该三角形最大的外角为（　　）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的定义，根据三个内角的比利用三角形内角和定理求出最小的内角，进而可得最大的外角．【详解】解：∵三角形中，三个内角的比为，∴该三角形最小的内角为，∴该三角形最大的外角为，故选：C．8.下列命题中，真命题的个数是（　　）①内错角相等；②若函数是关于的一次函数，则的值是；③三角形的三条高相交于同一点；④在同一平面内，若，，则．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【解析】【分析】根据平行线的性质判断①；根据一次函数的定义判断②；根据三角形的高线所在直线相交于同一点判断③；根据垂直于同一直线的两条直线互相平行，判断④，即可求解．【详解】解：①两直线平行，内错角相等，故是假命题；②若函数是关于的一次函数，则且，即，故是假命题；③三角形的三条高所在直线相交于同一点，故是假命题；④在同一平面内，若，，则，故真命题；综上所述，真命题的个数是1个．故选：A．【点睛】本题考查的是命题与定理，涉及到一次函数的定义，平行线的性质与判定，相关知识点：1.两直线平行，内错角相等；2.形如的函数为一次函数；3.三角形的三条高所在直线交于同一点；4.同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行．9.如图，，分别表示甲、乙两人在越野登山比赛整个过程中，所走的路程y（m）与甲出发时间x （min）的函数图像，下列说法正确的有（）①越野登山比赛的全程为1000m；②乙速度为20m/min；③a的值为750；④乙到达终点时，甲离终点还有100mA.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】【分析】根据函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．【详解】解：由图象可得，越野登山比赛的全程为1000米，故①正确，乙的速度为m/min，故②错误，设乙在途中a米处追上甲，，解得，a＝750，故③正确，甲的速度为m/min，，乙到达终点时，甲离终点还有200m故④错误正确，∴其中正确的说法有2个．故选：B．【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10.如图，在中，平分，于点．角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由角平分线的定义可以得到，，设，假设，，通过角的等量代换可得到，代入的值即可．【详解】∵平分，平分∴，设∵∴可以假设，∴∵∴∴设，则∴∴∵∴故答案选：C 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及角的等量代换，三角形的内角和定理，外角的性质，二元一次方程组的应用，灵活设立未知数代换角是解题的关键．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）11.在函数中,自变量的取值范围是___________.【答案】【解析】【详解】根据题意得：x+40；解之得：x-412.在平面直角坐标系中，点的坐标为，若点在轴上，则点的坐标为__________．【答案】【解析】【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，根据轴上的点的横坐标为0列方程求出a的值，再求出点的纵坐标即可．【详解】解：∵点在轴上，∴，∴，∴，∴点的坐标为，故答案为：．13.已知一次函数的图象不经过第三象限，则正整数的值为__________．【答案】【解析】【分析】本题考查一次函数的图象与系数的关系．对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；熟记相关结论即可求解．【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限，∴且解得： 故答案为：14.定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“最佳间距”．例如：点，，的“最佳间距”是1．（1）点，，的“最佳间距”是__________；（2）当点，，的“最佳间距”为时，点的横坐标为__________．【答案】①.3②.，或【解析】【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，勾股定理求两点间的距离等知识，若有两点，，则．（1）求出、、的值即可得到点，，的“最佳间距”；（2）分别表示出、和，由“最佳间距”为，分情况讨论得出结论．【详解】解：（1）∵，，，∴点，，的“最佳间距”是3；故答案为：3；（2）∵点，，，∴，，当时，或若，，，符合题意；若， ，，符合题意；当时，或，若，，，符合题意；当时，无解，综上，点的横坐标为，或．故答案为：，或．三、解答题（共9小题，共90分）15.如图，的顶点，，．若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点C的对应点坐标是．（1）画出，并直接写出点的坐标（2）求的面积．【答案】（1）画图见解析，（2）【解析】【分析】（1）根据平移的性质即可画出，进而可以写出点的坐标； （2）根据网格即可求的面积．【小问1详解】解：如图，即为所求，点的坐标；【小问2详解】的面积．【点睛】本题考查了作图平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质．16.如图，中，，是的两条高，，．（1）请画出，；（2）若，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查了三角形的高、三角形的面积，三角形面积等于的底乘以高．（1）过点A作交延长线于点E，过点C作交的延长线于点D即可；（2）根据三角形面积公式得到，即可求解．【小问1详解】解：如图所示：，即为所求， 【小问2详解】解：∵，∴，∴．17.已知直线在轴上的截距为，且与直线：平行．（1）求直线的函数表达式；（2）求直线与轴交点坐标，并画出其函数图象．【答案】（1）（2），见解析【解析】【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数图象和性质，画函数图象，（1）根据直线与直线平行，在轴上的截距为可得，，然后可得答案；（2）令求出x，可得直线与轴的交点坐标，再根据与轴的交点坐标画出函数图象即可．【小问1详解】 解：∵直线与直线：平行，∴设直线的解析式为，∵直线在轴上的截距为，∴，∴直线的函数表达式为：；【小问2详解】令直线：，解得：，∴直线与轴的交点坐标为，又∵直线在轴上的截距为，即过点，画出其函数图象如图：18.如图，直线的函数表达式为，直线与轴交于点，直线：与轴交于点，且经过点，如图所示，直线，交于点． （1）求点的坐标和直线的函数表达式；（2）利用函数图象直接写出关于的不等式的解集．【答案】（1），（2）【解析】【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法的应用，一次函数与不等式；（1）将代入直线求出点C坐标，再利用待定系数法可求直线的函数表达式；（2）根据函数图象，找出直线在直线下方时对应的x的取值范围即可．【小问1详解】解：把代入直线：得：，解得：，∴，又∵直线：经过点，且，∴把，代入直线：得：，解得：，所以直线的函数表达式为：；【小问2详解】由函数图象得，不等式的解集为：．19.已知与成正比例，且时，．（1）求与的函数关系式；（2）将所得函数图象向上平移3个单位，求平移后直线与坐标轴围成的三角形的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正比例函数的定义设，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出平移后直线与坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式计算．【小问1详解】解：由题意，设，∵时，，∴，解得：，∴与的函数关系式为，即；【小问2详解】将所得函数图象向上平移3个单位后得到的函数解析式为：，设平移后直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，当时，，∴，∴，当时，即，解得：，∴，∴，∴平移后直线与坐标轴围成的三角形的面积为．【点睛】本题考查了正比例函数的定义，待定系数法，一次函数图象的平移，一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和一次函数图象的平移规律是解题的关键．20.如图，在中，是高，是角平分线，且．（1）若，，求，的度数；（2）若，直接写出此时的度数．【答案】（1）， （2）【解析】【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形高线、角平分线的定义；（1）先根据三角形内角和定理和角平分线定义求出，再根据三角形外角的性质求出，然后可得的度数；（2）先根据三角形内角和定理和角平分线定义求出，再表示出，然后可得的度数．【小问1详解】解：∵，，∴，∵平分，∴，∴，又∵是高，即，∴，∴；【小问2详解】解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴．21.（1）如图1，在中，，的角平分线交于点，则．如图2，在中，，的两条三等分角线分别对应交于，，求证：． （2）如图3，当、被等分时，内部有个点，则与的关系为：__________（用含的代数式表示）【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】本题考查三角形内角和定理，把握“三角形内角和等于”是解题的关键．（1）根据三角形内角和定理用含的式子表示，在中再次利用三角形内角和定理即可证明；（2）仿照（1）中的思路求解即可．【详解】（1）证明：∵，的两条三等分角线分别对应交于，，∴，，∴∴；（2）解：当、被等分时，内部有个点，则，，∴ ∴；故答案为：．22.如图，在中，，是上一点，且．（1）求证：；证明：在中，∵（已知），∴（____________________）．又∵（已知），∴（____________________）．在中，（三角形内角和定理），∴（等式的性质），∴（垂直的定义）．（2）如图②，若的平分线分别交，于点，，求证：；（3）如图③，若为上一点，交于点，，，，连接，求面积．【答案】（1）直角三角形两锐角互余；等量代换（2）证明见解析（3）9【解析】【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余以及三角形内角和定理填空即可；（2）利用等角的余角相等求出，然后根据对顶角相等可得，等量代换即可证明；（3）利用等高的两个三角形面积的比等于底的比，求得，，可得，连接，设，利用上述的结论和方法，列出方程，即可求解．【小问1详解】 证明：在中，∵（已知），∴（直角三角形两锐角互余）．又∵（已知），∴（等量代换）．在中，（三角形内角和定理），∴（等式的性质），∴（垂直的定义）．故答案为：直角三角形两锐角互余；等量代换；【小问2详解】证明：∵平分，∴，∵，∴，，∴，又∵，∴；【小问3详解】解：∵，∴，∵，∴，∴；连接， 设，则，∵，∴，∵，∴，∵，∴解得：，∴．【点睛】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形内角和定理，等高的两个三角形面积的比等于底的比，灵活运用“等高的两个三角形面积的比等于底的比”是解题的关键．23.如图①，四边形中，，．动点从出发，以每秒1个单位的速度沿路线运动到停止．设运动时间为，的面积为，关于的函数图象如图②所示．（1）结合图①和图②可知，__________，__________；（2）①当点在线段上运动时，请写出与的关系式（并写明自变量的取值范围）；②当时，等于多少？（3）如图③，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿路线运动到点停止，同时，动点从点出发，以每秒5个单位的速度沿路线运动到点停止，设运动时间为，当点运动到边上时，连接、、，当的面积为时，直接写出的值．【答案】（1）；（2）①；②或 （3）或或【解析】【分析】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及了一次函数解析式的求解、一元一次方程的应用．掌握分类讨论的数学思想是解题关键．（1）结合图①和图②可知，点在上运动了，在上运动了，在上运动了，再根据即可求解；（2）①设，将点，代入即可求解；②分类讨论点在线段上运动、在线段上运动两种情况即可求解；（3）分类讨论点在边上、点在边上两种情况，画出对应图形，表示出的面积与时间的关系即可求解．【小问1详解】解：结合图①和图②可知，点在上运动了，在上运动了，在上运动了，∴，，，由图②得：，∴，故答案为：；；【小问2详解】解：①当点在线段上运动时，设，将点，代入得：，解得：，∴；②当时， （i）若点在线段上运动，即，解得：；（ii）若点在线段上运动，则，即：，解得：，综上所述：当或时，，【小问3详解】解：∵，，∴点需要运动到边上，后到达点，点需要运动到边上，后到达点，（i）若点在边上，即，如图所示：，∵，∴，解得：或；（ii）若点在边上，即，如图所示：，∵， ∴，解得：；综上所述：或或．