安徽省合肥市瑶海区第三十八中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（沪科版）

2023-2024学年度九年级第一学期期中考试数学试卷温馨提示：亲爱的同学，你拿到的试卷共八大题，满分150分，时间120分钟．希望你仔细审题，认真作答，遇到困难时请不要轻易放弃，相信你一定会取得好成绩．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.二次函数图象的顶点所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（）A.B.C.D.3.对于反比例函数，下列说法正确的是（）A图象经过点B.图象位于第一、三象限C.当时，y随x的增大而增大D.当时，y随x的增大而增大4.二次函数的图象与轴有一个交点在轴右侧，则的值可以是（）A.B.0C.2D.45.己知二次函数，若，，满足，，则（）A.，B.，C.，D.，6.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（）A.或B.或 C.或D.或7.一杠杆装置如图．杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力、、、，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（）A.甲同学B.乙同学C.丙同学D.丁同学8.如图，抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴为，与轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①；②；③；④若，为方程的两个根，则．其中正确结论的个数是：（）A.1B.2C.3D.49.如一次函数与反比例函数的图像如图所示，则二次函数的大致图象是（）A.B.C.D.10.已知二次函数（其中是自变量），当时对应函数值均为正数，则的取值范围为：（）A.B.或 C.或D.或二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.已知y是x的二次函数，下表给出了y与x的几对对应值：x…-2-101234…y…11a323611…由此判断，表中_______．12.某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为_______元．13.如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则的值=______．14.如图，点，分别在函数图象的两支上（在第一象限），连接交轴于点．点，在函数(，)图象上，轴，轴，连接，．（1）若，面积为9，则的值为______．（2）在（1）的条件下，若四边形的面积为14，则经过点的反比例函数解析式为______．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.已知抛物线的顶点在直线上，求抛物线的顶点坐标．16.已知函数（，为常数）的图象经过点，．（1）求，的值．（2）当时，求的最大值．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.已知反比例函数y＝的图象经过点A（3，﹣2）．（1）求k的值．（2）点C（x1，y1），B（x2，y2）均在反比例函数y＝的图象上，若0＜x1＜x2，直接写出y1，y2的大小关系．18.如图，一次函数图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．（1）求反比例函数解析式；（2）已知为反比例函数上图象上的一点，，求点的坐标．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.甲船从A处起以的速度向正北方向航行，这时乙船从A的正东方向的B处起以的速度向西航行，多长时间后，两船的距离最小？最小距离是多少？20.如图，抛物线经过点、，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，设点的横坐标为，连接、、、． （1）请直接写出抛物线的表达式．（2）求面积的最大值．六、（本题满分12分）21.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．（1）求值；（2）当为何值时，的值最大?最大值是多少?七、（本题满分12分）22.如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系，抛物线的顶点．请回答下列问题： （1）求抛物线的解析式；（2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长．八、（本题满分14分）23.如图，抛物线经过，两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点是轴上一动点，分别连接，，求最小值；（3）若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有满足条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由． 2023-2024学年度九年级第一学期期中考试数学试卷温馨提示：亲爱的同学，你拿到的试卷共八大题，满分150分，时间120分钟．希望你仔细审题，认真作答，遇到困难时请不要轻易放弃，相信你一定会取得好成绩．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.二次函数图象的顶点所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【详解】根据抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限．解：，顶点坐标为，顶点在第二象限．故选：．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．2.在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解．【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为；故选B．【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．3.对于反比例函数，下列说法正确的是（） A.图象经过点B.图象位于第一、三象限C.当时，y随x的增大而增大D.当时，y随x的增大而增大【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：，点不满足关系式，因此A选项不符合题意；；它的图象在第一、三象限，因此选项符合题意；当时，它的图象在第三象限，随的增大而增小，因此C选项不符合题意；当时，它的图象在第一象限，随的增大而增小，因此D选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．4.二次函数的图象与轴有一个交点在轴右侧，则的值可以是（）A.B.0C.2D.4【答案】A【解析】【分析】根据根与系数的关系可得：，，二次函数的图象与轴有一个交点在轴右侧，可得，为异号，从而可求解．【详解】解：设二次函数的图象与轴交点的横坐标为、，即一元二次方程的根为、，由根与系数的关系得：，，二次函数的图象与轴有一个交点在轴右侧，，为异号，，故选A．【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，根与系数之间的关系，关键是根与系数之间的关系的应用．5.己知二次函数，若，，满足，，则（） A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】根据等式性质得到，进而利用不等式的性质可判断；再根据二次函数的性质可判断其图象与x轴有交点，利用判断求解即可．【详解】解：∵，∴，∵∴，则；∵当时，，∴二次函数的图象与x轴有交点，∴，则，故选：D．【点睛】本题考查等式的性质、不等式的性质、二次函数的图象与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与x轴的交点问题是解答的关键．6.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（）A.或B.或C.或D.或【答案】A【解析】【分析】先求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，然后直接利用图象法求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数图象上，∴，∴反比例函数解析式为，∵在反比例函数图象上，∴，∴，由题意得关于x的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，∴关于x的不等式的解集为或，故选：A．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解题的关键是正确求出点B的坐标．7.一杠杆装置如图．杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力、、、，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（）A.甲同学B.乙同学C.丙同学D.丁同学【答案】C【解析】【分析】根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，以及水桶的拉力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长乘积是定值即可判断．【详解】解：根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂可得，∵阻力×阻力臂是个定值，即水桶的重力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变，∴动力越小，动力臂越大，即拉力越小，压力的作用点到支点的距离最远，∵最小，∴丙同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远． 故选：C【点睛】本题考查反比例函数的应用，确定水桶的拉力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长乘积是定值是本题关键．8.如图，抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴为，与轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①；②；③；④若，为方程的两个根，则．其中正确结论的个数是：（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】由图象得，，由对称轴得，，；抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，由对称性知另一个交点在，之间，得，于是，进一步推知，由根与系数关系知；【详解】解：开口向下，得，与y轴交于正半轴，，对称轴，，，故①符合题意；故②不符合题意；抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，对称轴为，故知另一个交点在，之间，故时，∴，得，故③不符合题意；由，，知，∵，为方程的两个根，∴ ∴，故④符合题意；故选：B【点睛】本题考查二次函数图象性质，一元二次方程根与系数关系，不等式变形，掌握函数图象性质，注意利用特殊点是解题的关键．9.如一次函数与反比例函数的图像如图所示，则二次函数的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为x=-，找出二次函数对称轴在y轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论．【详解】解：∵一次函数y1=ax+c图象过第一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，∴-＞0，∴二次函数y3=ax2+bx+c开口向下，二次函数y3=ax2+bx+c对称轴在y轴右侧；∵反比例函数y2=的图象在第一、三象限，∴c＞0，∴与y轴交点在x轴上方．满足上述条件的函数图象只有选项A．故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出a、b、c的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系． 10.已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为：（）A.B.或C.或D.或【答案】D【解析】【分析】首先根据题意求出对称轴，然后分两种情况：和，分别根据二次函数的性质求解即可．【详解】∵二次函数，∴对称轴，当时，∵当时对应的函数值均为正数，∴此时抛物线与x轴没有交点，∴，∴解得；当时，∵当时对应的函数值均为正数，∴当时，，∴解得，∴，∴综上所述，当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为或．故选：D．【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是分两种情况讨论．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.已知y是x的二次函数，下表给出了y与x的几对对应值：x…-2-101234…y…11a323611… 由此判断，表中_______．【答案】6【解析】【分析】根据表格得出二次函数的对称轴为直线，由此即可得．【详解】解：由表格可知，和时的函数值相等，则二次函数的对称轴为直线，因此，和的函数值相等，即，故答案为：6．【点睛】本题考查了二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．12.某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为_______元．【答案】70【解析】【分析】设降价x元，利润为W，根据题意得出方程，然后求出取最大值时的x值即可得到售价．【详解】解：设降价x元，利润为W，由题意得：W=(80-50-x)(200+20x)，整理得：W=-20x2+400x+6000=-20(x-10)2+8000，∴当x=10时，可获得最大利润，此时每顶头盔的售价为：80-10=70（元），故答案为：70．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出式子是解题关键．13.如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则的值=______． 【答案】【解析】【分析】根据正方形和双曲线的中心对称性，、的交点为O，如图，过点A作轴于M，过点D作轴于N，证明得到，利用反比例函数系数k的几何意义求解即可．【详解】：根据正方形和双曲线的中心对称性，、的交点为O，如图，过点A作轴于M，过点D作轴于N，则，∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，则，∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，故答案为：．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数的性质和系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解答的关键．14.如图，点，分别在函数图象的两支上（在第一象限），连接交轴于点．点，在函数(，)图象上，轴，轴，连接，．（1）若，面积为9，则的值为______．（2）在（1）的条件下，若四边形的面积为14，则经过点的反比例函数解析式为______．【答案】①.12②.【解析】【分析】（1）设，可求，可求，从而可求，，由，即可求解；（2）可求，由，即可求解．【详解】（1）解：设，轴，，解得：，，， ，，，解得：，，解得：，，轴，，，的面积为9，，，解得：；故答案：．（2）解：四边形的面积为14，，由（1）得： ，，，解得：，；故答案：．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，设辅助未知数列出方程是解题的关键．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.已知抛物线的顶点在直线上，求抛物线的顶点坐标．【答案】【解析】【分析】根据抛物线解析式写出顶点坐标，代入直线解析式求出即可．【详解】解：抛物线，∴顶点坐标为，顶点在直线上，，解得：，∴顶点坐标为．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线顶点坐标公式是解题的关键．16.已知函数（，为常数）图象经过点，．（1）求，的值．（2）当时，求的最大值．【答案】（1），；（2）当时，y的值最大，最大值为6，【解析】【分析】（1）把点，代入解析式，即可求解； （2）把解析式化为顶点式，可得当时，y的值最大，最大值为6．【小问1详解】解：∵函数（b，c为常数）的图象经过点点，，∴，解得：；【小问2详解】由（1）得：函数解析式为，∴抛物线开口向下，对称轴为直线，且当时，y值最大，最大值为6，∵，∴当时，y的值最大，最大值为6.【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.已知反比例函数y＝的图象经过点A（3，﹣2）．（1）求k的值．（2）点C（x1，y1），B（x2，y2）均在反比例函数y＝的图象上，若0＜x1＜x2，直接写出y1，y2的大小关系．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数的解析式即可得；（2）根据反比例函数的增减性即可得．【详解】解：（1）由题意，将点代入得：，解得；（2）由（1）得：反比例函数的解析式为，在每一象限内，随的增大而增大， 均在反比例函数的图象上，且，．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解题关键．18.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．（1）求反比例函数解析式；（2）已知为反比例函数上图象上的一点，，求点的坐标．【答案】（1）（2）点或【解析】【分析】（1）先把点A坐标代入一次函数解析式求出m的值，进而求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可；（2）先求出，，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示，根据可得，求出，则点P的纵坐标为2或，由此即可得到答案．【小问1详解】解：∵把点代入，∴，解得：，∴， 点在反比例函数的图象上，，反比例函数的解析式为．【小问2详解】：对于，当时，，∴，，∵，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示．∵，．，解得．点P的纵坐标为2或．将代入得，将代入得，∴点或．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.甲船从A处起以的速度向正北方向航行，这时乙船从A的正东方向的B处起以的速度向西航行，多长时间后，两船的距离最小？最小距离是多少？【答案】后，两船的距离最小，最小距离是12．【解析】【分析】可设x小时后，两船相距y，写出y2于x的二次函数关系式，再把关系式配方可得到多长时间后，两船的距离最小；并求出最小距离即可．【详解】解：根据题意画出示意图如下：设x小时后，两船相距y，根据题意，得：y2＝（15x）2＋（20−20x）2＝225x2＋400−800x＋400x2＝（25x−16）2＋144∴当x＝=时，y2有最小值144，则y的最小值为12，答：后，两船的距离最小，最小距离是12．【点睛】本题考查了二次函数在行程问题中的应用及勾股定理在实际问题中的应用，根据题意正确地列出函数关系式并配方是解题的关键．20.如图，抛物线经过点、，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，设点的横坐标为，连接、、、． （1）请直接写出抛物线表达式．（2）求面积的最大值．【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）设抛物线的表达式为，结合点、即可求解；（2）如图，过点D作y轴的平行线交于点H，直线的表达式为，设点，则点，设面积为S，结合，即可求解．【小问1详解】解：设抛物线的表达式为，∵点、，∴，故，解得，故抛物线的表达式为；【小问2详解】由抛物线的表达式知，当时，， ∴点，如图，过点D作y轴的平行线交于点H，设直线的表达式为，点，点，则，解得，故直线的表达式为，设点，则点，则设面积为S，则，∵，则S有最大值，当时，S的最大值为6．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．六、（本题满分12分） 21.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．（1）求的值；（2）当为何值时，的值最大?最大值是多少?【答案】（1），（2）当时，取得最大值，最大值为【解析】【分析】（1）把点代入，得出，把点代入，即可求得；（2）过点作轴的垂线，分别交轴于点，证明，得出，进而可得，根据平移的性质得出，，进而表示出，根据二次函数的性质即可求解．小问1详解】解：把点代入，∴，解得：；把点代入，解得；【小问2详解】∵点横坐标大于点的横坐标，∴点在点的右侧，如图所示，过点作轴的垂线，分别交轴于点， ∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵将点沿轴正方向平移个单位长度得到点，∴，∴，∴，∴，∴，∴当时，取得最大值，最大值为．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．七、（本题满分12分）22.如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系，抛物线的顶点 ．请回答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根据坐标与图形性质求得点A、D、E的坐标，然后利用待定系数法求解即可；（2）设G、L坐标，根据坐标与图形性质列方程求解即可．【小问1详解】解：根据题意，，，，，设抛物线的解析式为，将、、代入，得，解得，∴抛物线的解析式为；【小问2详解】 解：根据题意，设，则，，将L坐标代入中，得，解得或（舍去），∴，答：两个正方形装置的间距的长为．【点睛】本题考查二次函数的综合应用、正方形的性质，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形性质是解答的关键．八、（本题满分14分）23.如图，抛物线经过，两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点是轴上一动点，分别连接，，求最小值；（3）若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有满足条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）或或【解析】【分析】（1）利用待定系数求解即可；（2）先利用待定系数法求直线的表达式，进而求得点D坐标，作点D关于x轴的对称点，连接交x轴于，则的长即为最小值，利用两点坐标公式求解即可； （3）设，，分三种情况：当、为对角线时；当、为对角线时；当、为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式列方程组求解即可．【小问1详解】解：∵抛物线经过，两点，∴，解得，∴该抛物线的表达式为；【小问2详解】解：由得顶点坐标，设直线的表达式为，将点、代入，得，解得，∴直线的表达式为，当时，，则,作点D关于x轴的对称点，连接交x轴于，连接，如图，则，，∴（当、H、M共线时取等号），则的长为最小值，∵， ∴的最小值为；【小问3详解】解：对称轴上存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．由题意，设，由知抛物线的对称轴为，故设，分三种情况：当、为对角线时，、的中点重合，∴，解得，∴；当、为对角线时，、的中点重合，∴，解得，∴；当、为对角线时，、的中点重合，∴，解得，∴，综上，满足题意的点Q坐标为或或．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，坐标与图形，轴对称的性质，两点坐标距离公式，平行四边形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，运用分类讨论思想是解题的关键．