安徽省六安皋城中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（沪科版）

六安皋城中学2023～2024学年度第一学期期中考试九年级数学试题时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.抛物线的图象一定经过（）A.第一、二象限B.第二、三象限C.第二、四象限D.第三、四象限2.将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（　　）AB.C.D.3.若抛物线与轴只有一个交点，则的取值范围是（）AB.C.D.4.已知点在反比例函数的图像上，且，则下列结论一定正确的是（）A.B.C.D.5.甲、乙两地相距1600米，在地图上，用8厘米表示这两地距离，那么这幅地图的比例尺是（　　）A.1：200B.1：20000C.20000：1D.1：40006.如图，是的高，若，，则边的长为（）A.B.C.D.7.如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：AF：AB=1：2：4，则S△ADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG等于() A.1：2：4B.1：4：16C.1：3：12D.1：3：78.如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（）AB.C.D.9.已知抛物线的图象如图所示，其对称轴为直线，那么一次函数的图象大致为（）A.B.C.D.10.如图，在中，，，延长至，使得，点为动点，且，连接，则的最小值为（）A.B.5C.D.9 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.抛物线上的点到x轴最短的距离是____．12.若，则__________．13.如图，A、B两点在反比例函数的图象上，过点A作轴于点C，交OB于点D．若，的面积为1，则k的值为____________．14.已知直线经过抛物线的顶点，且当时，．则：（1）直线与抛物线都经过同一个定点，这个定点的坐标是___________；（2）当时，自变量的取值范围是____________．三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）15.计算：．16.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）和点D，且点D在网格的格点上．（1）以点D为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在点D上方画出；（2）的面积是_________．四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）17.已知顶角为的等腰三角形称为黄金三角形（底边与腰的比值为黄金分割比），如图，， ，都是黄金三角形，已知，，求的长度．18.在四边形中，，过点D作交于点E，连接，，分别交，于点F，G，证明：是和的比例中项．五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）19.如图，正比例函数和反比例函数的图像交于点．（1）求反比例函数的解析式；（2）将直线向上平移3个单位后，与轴交于点，与的图像交于点，连接，求的面积．20.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，AD＝2BD，BC＝6．（1）求DE的长；（2）连接CD，若∠ACD＝∠B，求CD的长．六、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 21.已知函数（1）用描点法画出此函数的图象；（2）根据图象，直接写出当x为何值时，y随着x的增大而减小?（3）当时，对应的自变量x的值有2个，直接写出k的取值范围．22.如图，某小区有一块靠墙（墙的长度）的空地，为美化环境，用总长为的篱笆围成矩形花圃（矩形一边靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）如图1，怎么才能围成一个面积为的矩形花圃；（2）如图2，若围成四块矩形且面积相等的花圃，设的长度为，求的取值范围及矩形区域的面积的最大值．七、本大题（14分）23.问题提出如图（1），在和中，，，，点在内部，直线与交于点，线段，，之间存在怎样的数量关系？问题探究（1）先将问题特殊化．如图（2），当点，重合时，直接写出一个等式，表示，，之间的数量关系；（2）再探究一般情形．如图（1），当点，不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展如图（3），在和中，，，（是常数），点在内部，直线与交于点，直接写出一个等式，表示线段，， 之间的数量关系． 六安皋城中学2023～2024学年度第一学期期中考试九年级数学试题时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.抛物线的图象一定经过（）A.第一、二象限B.第二、三象限C.第二、四象限D.第三、四象限【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的图象和性质，即可求解．【详解】解：∵抛物线的图象得对称轴为y轴，顶点坐标为原点，开口向上，∴抛物线的图象一定经过第一、二象限．故选：A【点睛】本题主要查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．2.将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（　　）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据平移的规律进行求解即可得答案.【详解】将二次函数的图象向右平移2个单位，可得：再向下平移3个单位，可得：故答案：C.【点睛】本题考查了平移的规律：上加下减，最加右减，注意上下平移动括号外的，左右平移动括号里的.3.若抛物线与轴只有一个交点，则的取值范围是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线与轴只有一个交点，转化为方程只有一个解，令，即可求解．【详解】解：∵抛物线与轴只有一个交点，∴方程的，即，解得：，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点问题，转化为一元二次方程根的判别式问题是解题的关键．4.已知点在反比例函数的图像上，且，则下列结论一定正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】把点A和点B的坐标代入解析式，根据条件可判断出、的大小关系．【详解】解：∵点，）是反比例函数的图像上的两点，∴，∵，∴，即，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，掌握图像上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．5.甲、乙两地相距1600米，在地图上，用8厘米表示这两地的距离，那么这幅地图的比例尺是（　　）A.1：200B.1：20000C.20000：1D.1：4000【答案】B【解析】 【分析】先把1600米化成160000厘米，再根据比例尺的定义求出答案即可．【详解】解：∵1600米＝160000厘米，∴这幅地图的比例尺是8：160000＝1：20000，故选B．【点睛】本题考查比例尺的定义，但要先注意把单位统一，然后再根据定义求出答案．6.如图，是的高，若，，则边的长为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先解直角求出AD，再在直角中应用勾股定理即可求出AB．【详解】解：∵，∴，∵直角中，，∴，∴直角中，由勾股定理可得，．故选D．【点睛】本题考查利用锐角函数解直角三角形和勾股定理，难度较小，熟练掌握三角函数的意义是解题的关键．7.如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：AF：AB=1：2：4，则S△ADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG等于()A.1：2：4B.1：4：16C.1：3：12D.1：3：7 【答案】C【解析】【分析】由于DE∥FG∥BC，那么△ADE△AFGABC，根据AD：AF：AB=1：2：4，可得出三个相似三角形的面积比，进而得出△ADE、四边形DFGE、四边形FBCG的面积比.【详解】设△ADE的面积为a,则△AFG和△ABC的面积分别是4a、16a;则分别是3a、12a;则S△ADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG=1：3：12故选C.【点睛】本题主要考查相似三角形，解题突破口是根据平行性质推出△ADE△AFGABC.8.如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案.【详解】解：如图所示，由图可知，，， .根据镜面的反射性质，∴，∴，，，.小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，，，...故选：B.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质.9.已知抛物线的图象如图所示，其对称轴为直线，那么一次函数的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先根据二次函数性质得出，进而得出，，判断出一次函数的图象过第一、三、四象限，再判断一次函数与y轴交点在与0之间，一次函数与x 轴交点是1，即可得出答案．【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，∴，∴，根据二次函数：，，∴，，∴一次函数的图象过第一、三、四象限，当时，，∴，∴一次函数与y轴交点在与0之间，当时，，∴，∴一次函数与x轴交点是1，故选：D．【点睛】本题考查二次函数图象与性质，一次函数的性质，掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键．10.如图，在中，，，延长至，使得，点为动点，且，连接，则的最小值为（）A.B.5C.D.9【答案】A【解析】【分析】如图所示，取中点H，连接，过点D作于G，由三线合一定理得到三点共线，即点P在直线上运动，则当点P与点G重合时，最小，最小为，证明 ，得到，然后根据已知条件求出对应线段的长即可求出答案．【详解】解：如图所示，取中点H，连接，过点D作于G，∵，，H为的中点，∴，∴三点共线，即点P在直线上运动，∴当点P与点G重合时，最小，最小为，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三线合一定理，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.抛物线上的点到x轴最短的距离是____．【答案】3【解析】【分析】将化为，再进行判断图像与轴是否相交，进一步计算即可．【详解】， ，＜，该二次函数图像与横坐标轴不相交，该函数图像开口向上，则顶点距横轴距离最短，最短距离为时，，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数图像与坐标轴的位置关系，找准两者位置关系为关键．12.若，则__________．【答案】【解析】【分析】设，则，，然后代入计算即可．【详解】解：设，则，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查的是比例的性质，解题的关键是熟练掌握设k法．13.如图，A、B两点在反比例函数的图象上，过点A作轴于点C，交OB于点D．若，的面积为1，则k的值为____________．【答案】【解析】【分析】作轴于E，证明，可得，设，可得，求出，然后根据的面积为1列式即可求出k的值． 【详解】解：作轴于E，∵轴于点C，∴，∴，∴，∵，∴，设，则，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，根据的面积为1列出关系式是解题的关键．14.已知直线经过抛物线的顶点，且当时，．则：（1）直线与抛物线都经过同一个定点，这个定点坐标是___________； （2）当时，自变量的取值范围是____________．【答案】①.②.或【解析】【分析】（1）分别把两抛物线解析式变形，可得与都经过同一个定点；（2）求出直线与抛物线的交点坐标为，，再根据时，，画出大致图象，根据函数图象可得答案．【详解】解：（1）∵，∴直线经过点，∵，∴抛物线经过点，即与都经过同一个定点，故答案为：；（2）∵，∴抛物线的顶点坐标为，∵直线经过抛物线的顶点，∴直线与抛物线的交点为，，∵当时，，∴，，画出大致图象如下：∴当时，的取值范围是或， 故答案为：或．【点睛】本题考查的是二次函数与不等式，涉及到二次函数和一次函数的性质，画出函数大致图象是解题的关键．三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）15.计算：．【答案】【解析】【分析】利用二次根式和绝对值的性质化简，代入特殊角三角函数值，然后计算即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，特殊角三角函数值的运算，熟练掌握二次根式的性质，牢记特殊角三角函数值是解题的关键．16.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）和点D，且点D在网格的格点上．（1）以点D为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在点D上方画出；（2）的面积是_________．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）利用位似图形的性质，找出点A，B，C的对应点、、的位置，顺次连接即可；（2）根据网格特点，利用三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】解：如图所示：【小问2详解】由图形得：，故答案为：．【点睛】本题考查了作位似图形，三角形面积计算，熟练掌握位似图形的性质以及网格特点是解题的关键．四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）17.已知顶角为的等腰三角形称为黄金三角形（底边与腰的比值为黄金分割比），如图，，，都是黄金三角形，已知，，求的长度．【答案】【解析】【分析】证明，可得，从而得到，进而得到，即可求解．【详解】解：∵，，都是黄金三角形，∴，，∵，∴， ∴，∴，∵，∴，∴，代入①整理得，，解得：，∵，∴，∵，∴【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，黄金三角形的定义，解题的关键是理解黄金三角形的定义．18.在四边形中，，过点D作交于点E，连接，，分别交，于点F，G，证明：是和的比例中项．【答案】证明见解析【解析】【分析】先证明，，再由相似三角形的性质可得，，即可证明．【详解】证明：∵， ∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴是和的比例中项．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，以及比例中项的定义，找到题中的相似三角形是解题的关键．五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）19.如图，正比例函数和反比例函数的图像交于点．（1）求反比例函数的解析式；（2）将直线向上平移3个单位后，与轴交于点，与的图像交于点，连接，求的面积．【答案】（1）（2）3 【解析】【分析】（1）待定系数法求函数解析式；（2）根据平移的性质求得平移后函数解析式，确定B点坐标，然后待定系数法求直线的解析式，从而利用三角形面积公式分析计算．【小问1详解】解：把代入中，，解得，∴，把代入中，，解得，∴反比例函数的解析式为；【小问2详解】解：将直线向上平移3个单位后，其函数解析式为，当时，，∴点B的坐标为，设直线的函数解析式为，将，代入可得，解得，∴直线的函数解析式为，联立方程组，解得，∴C点坐标为，过点C作轴，交于点， 在中，当时，，∴，∴．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式，运用数形结合思想解题是关键．20.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，AD＝2BD，BC＝6．（1）求DE的长；（2）连接CD，若∠ACD＝∠B，求CD的长．【答案】（1）DE＝4，（2）CD＝2．【解析】【分析】（1）设AD＝2x，BD＝x，易证△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质可求出DE的长度；（2）证明△ADE∽△ACD，利用相似三角形的性质即可求出得出，从而可求出CD的长度．【详解】解：设AD＝2x，BD＝x，∴AB＝3x，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴，∴DE＝4， （2）∵∠ACD＝∠B，∠ADE＝∠B，∴∠ADE＝∠ACD，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，∴，设AE＝2y，AC＝3y，∴，∴AD＝y，∴，∴CD＝2．【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．六、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）21.已知函数（1）用描点法画出此函数的图象；（2）根据图象，直接写出当x为何值时，y随着x的增大而减小?（3）当时，对应的自变量x的值有2个，直接写出k的取值范围．【答案】（1）见解析（2）或 （3）【解析】【分析】（1）根据函数关系式描点连线即可；（2）结合图象即可得出x的取值范围；（3）结合图象即可得出k的取值范围．【小问1详解】函数经过的点有，，，，函数图象如下：【小问2详解】函数的对称轴为，由图象可得，当或时，y随着x的增大而减小，【小问3详解】当时，对应的自变量x的值有2个，此时．【点睛】本题考查二次函数的图象以及一次函数，利用数形结合的思想解是解题的关键．22.如图，某小区有一块靠墙（墙的长度）的空地，为美化环境，用总长为的篱笆围成矩形花圃（矩形一边靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）． （1）如图1，怎么才能围成一个面积为的矩形花圃；（2）如图2，若围成四块矩形且面积相等的花圃，设的长度为，求的取值范围及矩形区域的面积的最大值．【答案】（1）AC=18m，BC=24m的长方形；（2），0＜x＜20．【解析】【分析】（1）设BC边长为xm，则AB=m，根据矩形的面积公式求得即可．（2）根据提意求出AB长，把矩形的面积转化成二次函数，利用二次函数的性质，求出即可．【详解】解：（1）设BC的边长为xm，则AB=，∵．解得：x=24或36（舍去），又因为AD不能长过墙，即0＜x＜30，∴x=24，则AB=18m,∴围成AC=18m，BC=24m的长方形；（2）由题意可得：矩形EFMN面积=矩形BCFE面积．∴ME=BE，∴∴AM=2ME∴GH=AM=AB．由于围成四块矩形且面积相等的花圃，所以篱笆的长度还包括，HG、MN、EF，∴2AB+AB+3BC=60∴AB=24-∴=（24-x）x=-∵AB=24-＞0∴x＜20，即（0＜x＜20）∴， 当=时，．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用,其中(2)，用确定BC的长度方法求出x的取值范围是本题的关键．七、本大题（14分）23.问题提出如图（1），在和中，，，，点在内部，直线与交于点，线段，，之间存在怎样的数量关系？问题探究（1）先将问题特殊化．如图（2），当点，重合时，直接写出一个等式，表示，，之间的数量关系；（2）再探究一般情形．如图（1），当点，不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展如图（3），在和中，，，（是常数），点在内部，直线与交于点，直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系．【答案】（1）．（2）见解析；问题拓展：．【解析】【分析】（1）先证明△BCE≌△ACD,得到AF=BE，BF-BE=BF-AF=EF=；（2）过点作交于点，证明，，是等腰直角三角形即可；利用前面的方法变全等为相似证明即可．【详解】问题探究（1）．理由如下：如图（2）， ∵∠BCA=∠ECF=90°，∴∠BCE=∠ACF，∵BC=AC，EC=CF，△BCE≌△ACF，∴BE=AF，∴BF-BE=BF-AF=EF=；（2）证明：过点作交于点，则，∴．∵，∴．又∵，，∴，∴．∴．∴，，∴是等腰直角三角形．∴．∴． 问题拓展．理由如下：∵∠BCA=∠ECD=90°，∴∠BCE=∠ACD，∵BC=kAC，EC=kCD，∴△BCE∽△ACD，∴∠EBC=∠FAC，过点作交于点M，则，∴．∴△BCM∽△ACF，∴BM:AF=BC:AC=MC:CF=k，∴BM=kAF,MC=kCF，∴BF-BM=MF，MF==∴BF-kAF=．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定，三角形相似的判定，勾股定理是解题的关键．