安徽省六安市霍邱县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（沪科版）

2023-2024学年度第一学期九年级阶段性评价数学（沪科版）注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知线段，，如果线段是线段和的比例中项，那么线段的长度是（）AB.8C.9D.102.若抛物线经过，两点，则抛物线的对称轴为（）A.直线B.直线C.直线D.直线3.对于抛物线的说法正确的是（）A.开口向上B.顶点坐标是C.对称轴是直线D.当时，随的增大而增大4.已知两个相似三角形的相似比为，则它们的周长的比为（）A.B.C.D.5.已知某抛物线与二次函数的图像的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为，则该拋物线对应的函数表达式为（）AB.CD.6.如图，已知D.E分别在△ABC的AB.AC边上，△ABC与△AED相似，则下列各式成立的是（　）A.；B.；C.；D.．7.如图所示，是一个长、宽矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加 ，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为（）A.1B.C.2D.48.如图，在平行四边形中，，若，则（）A.27B.18C.9D.39.如图，在中，，，，将沿折叠，使点C落在边上处，并且，则的长是（）A.B.C.D.10.如图，是的对角线，，，点E是的中点，点F、P分别是线段、上的动点，若，且是等腰三角形，则的长为（）A.或B.或C.或D.或二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.如果线段，，那么的值为______．12.如图，在中，P为边上一点，且，若，，则的长为______． 13.若正比例函数与反比例函数图象交于点，则的值是______．14.已知：如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作正方形．则抛物线的顶点坐标是______，正方形周长的最小值是______．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.已知，求和值．16.如图，已知二次函数们图像分别经过点，，求该函数的解析式．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，在中，点是上一点，且，，，．求的长．18.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在第一象限内将缩小得到，相似比为，请画出；（2）直接写出点的坐标（______，______）；（3）求出的面积．五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）19.如图，一次函数是反比例函数图象上的两点，点的坐标为，点的坐标为，线段的延长线交轴于点．（1）求的值和该反比例函数的函数关系式．（2）求的面积．20.已知：如图，在中，、的平分线相交于点O，过点O的直线，分别交、于点D、E．（1）求证：；（2）若，，，求的值．六、（本题满分12分）21.已知：如图，点、分别在的边、上，，点在上，且．求证：（1）；（2）．七、（本题满分12分）22.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为R＝500＋30x，P＝170－ 2x．（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？八、（本题满分14分）23.如图，四边形中，平分，，为的中点，与交于点．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，，求的长． 2023-2024学年度第一学期九年级阶段性评价数学（沪科版）注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知线段，，如果线段是线段和的比例中项，那么线段的长度是（）A.B.8C.9D.10【答案】C【解析】【分析】根据线段的比例中项的定义得到，再代值求解即可．【详解】解：∵线段b是线段a和c的比例中项，∴，∵，，∴，故选：C．【点睛】本题考查线段的比例中项，能根据定义正确列出a、b、c的关系式是解答的关键．2.若抛物线经过，两点，则抛物线的对称轴为（）A.直线B.直线C.直线D.直线【答案】B【解析】【分析】根据，两点的特点，可知点关于对称轴对称，根据二次函数图象的对称性即可求解．【详解】解：∵抛物线经过，两点，∴当时的函数值与的函数值相同，∴点关于对称轴对称， ∴二次函数的对称轴为，故选：．【点睛】本题主要考查二次函数图象的对称性即对称轴的计算，掌握以上知识是解题的关键．3.对于抛物线的说法正确的是（）A.开口向上B.顶点坐标C.对称轴是直线D.当时，随的增大而增大【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图像与性质，逐项分析判断即可．【详解】解：对于抛物线，∵，∴该抛物线开口向下，故选项A说法错误，不符合题意；其顶点坐标为，故选项B说法错误，不符合题意；其对称轴是直线，故选项C说法错误，不符合题意；当时，随的增大而增大，选项D说法正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．4.已知两个相似三角形的相似比为，则它们的周长的比为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的性质中周长比等于相似比即可求解．【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为，∴它们的周长的比为，故选：．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，理解并掌握相似三角形的性质是解题的关键．5.已知某抛物线与二次函数的图像的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为，则该拋物线对应的函数表达式为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据二次函数顶点式的顶点坐标为的知识即可求解．【详解】解：∵某抛物线与二次函数的图像的开口大小相同，开口方向相反，∴某抛物线的二次项系数为，∵顶点坐标为，∴该抛物线的解析为：，故选：．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握其图形大小，开口，顶点的计算方法是解题的关键．6.如图，已知D.E分别在△ABC的AB.AC边上，△ABC与△AED相似，则下列各式成立的是（　）A.；B.；C.；D.．【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的对应边成比例列式解答即可.【详解】∵△ABC与△AED相似，∴,∴.故选D.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例.7.如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为（） A.1B.C.2D.4【答案】C【解析】【分析】先根据长方形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果．【详解】解：由题意得修改后的花园面积，∵，∴当时，修改后的花园面积达到最大，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出修改后的花园面积与x之间的关系式．8.如图，在平行四边形中，，若，则（）A.27B.18C.9D.3【答案】A【解析】【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求解．【详解】∵∴∴∵∴∴ ∴故故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质．利用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是解题关键．9.如图，在中，，，，将沿折叠，使点C落在边上处，并且，则的长是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理就可以求出AC的值，再根据轴对称的性质就可以得出，由得出就可以得出就可以求出结论．【详解】解：∵，由勾股定理，得．∵与关于成轴对称，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的运用，轴对称的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键． 10.如图，是的对角线，，，点E是的中点，点F、P分别是线段、上的动点，若，且是等腰三角形，则的长为（）A.或B.或C.或D.或【答案】C【解析】【分析】分三种情况进行讨论，当时，当时，当时，分别画出图形求出结果即可．【详解】解：∵四边形为平行四边形，∴，，，，∵点E是的中点，∴，∵是的对角线，，，∴是直角三角形，，∴，∴，，当时，如图①，过点P作于点G，则．∵， ∴，∴，，，又∵，∴，∴；当时，如图②，则，∴；当时，点P与点B重合，不存在．综上所述，的长为或．故选：A．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，三角形相似的性质，等腰三角形的定义，解题的关键是数形结合，画出图形，并进行分类讨论．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.如果线段，，那么的值为______．【答案】8【解析】【分析】单位统一后根据比的定义进行求解即可．【详解】解：∵线段，，∴，答案为：8 【点睛】此题考查了比，熟练掌握比的前项和后项是解题的关键．12.如图，在中，P为边上一点，且，若，，则的长为______．【答案】5【解析】【分析】根据相似三角形的判定可得：，然后根据相似三角形的性质，列出比例式求出，结合图形即可求解．【详解】解：∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，故答案为：5．【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握有两组对应角相等的两个三角形相似和相似三角形的对应边成比例是解决此题的关键．13.若正比例函数与反比例函数的图象交于点，则的值是______．【答案】【解析】【分析】将点代入正比例函数表示出的值，再代入反比例函数表示出的值，根据两个的值相等列式，最后计算分式方程的值即可求解．【详解】解：∵点在反比例函数图象上，∴，∵正比例函数与反比例函数的图象交于点，∴，则，，则， ∴，整理得，，∴，检验：当时，的分母不为零，有意义，故答案为：．【点睛】本题主要考查正比例函数与反比例函数的综合，解分式方程的方法，掌握以上知识及计算方法是解题的关键．14.已知：如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作正方形．则抛物线的顶点坐标是______，正方形周长的最小值是______．【答案】①②.【解析】【分析】将二次函数化为顶点式，可求出顶点坐标，当点运动到抛物线的顶点处时，的最小，正方形的周长最下，由此即可求解．【详解】解：∵，∴抛物线，∴顶点坐标为；∵四边形是正方形，∴，∵点在抛物线上运动，∴当点运动到抛物线的顶点处时，的最小，∴当时，，则有最小值， ∴的最小值是，正方形周长的最小值为．【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数与线段最小值的综合，掌握二次函数顶点坐标的计算方法，线段最小值的计算是解题的关键．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15已知，求和值．【答案】，【解析】【分析】根据比例的性质和计算方法即可求解．【详解】解：∵，∴，，∴，．【点睛】本题主要考查比的性质和计算，掌握其运算方法是解题的关键．16.如图，已知二次函数们图像分别经过点，，求该函数的解析式．【答案】二次函数的解析式为【解析】【分析】将点点，代入函数解析式，利用待定系数法求解即可．【详解】解：∵二次函数过点，，∴，解得，∴二次函数的解析式为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，熟练掌握相关知识是解题关键．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，在中，点是上一点，且，，，．求的长．【答案】【解析】【分析】根据“对应边成比例，对应边的夹角相等”可判定两个三角形相似，再根据相似三角形的性质即可求解．【详解】证明：∵，，，，∴，，∴，又∵，∴，∴，即，∴．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．18.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．（1）以原点为位似中心，在第一象限内将缩小得到，相似比为，请画出；（2）直接写出点的坐标（______，______）； （3）求出的面积．【答案】（1）见解析（2）（3）的面积为【解析】【分析】（1）根据的三个顶点，位似比的值，可算出点的坐标，连接即可求解；（2）根据相似比即可求解；（3）根据图形，运用三角形面积的计算方法即可求解．【小问1详解】解：∵，，，以原点为位似中心，相似比为，∴，∴，即，∴，则同理，，连接，如图所示，∴即为所求图形．【小问2详解】解：根据题意，，位似比为，∴，故答案为：．【小问3详解】 解：∵，，∴，∴的面积为．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中位似的运用，掌握位似比的运算，作图，面积计算方法是解题的关键．五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）19.如图，一次函数是反比例函数图象上的两点，点的坐标为，点的坐标为，线段的延长线交轴于点．（1）求的值和该反比例函数的函数关系式．（2）求的面积．【答案】（1），该反比例函数的函数关系式为（2）的面积为【解析】【分析】（1）把代入，可求出反比例函数解析，再把代入反比例函数解析式即可求解；（2）运用代数系数法求出所在直线的解析式，并求出的坐标，可确定的长，由此即可求解．【小问1详解】解：把代入得，，解得，∴反比例函数的函数关系式为，把代入得，，解得，∴．【小问2详解】 解：设直线的函数关系式为，把，分别代入，∴，解得，，∴直线的函数关系式为，当时，，即点的坐标为，∴，∴的面积为12．【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求函数解析式，几何图形的面积计算方法是解题的关键．20.已知：如图，在中，、平分线相交于点O，过点O的直线，分别交、于点D、E．（1）求证：；（2）若，，，求的值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义得到，，由平行线的性质得到，，则，，利用等量代换即可得到结论；（2）求出，，由得到，代入数值即可得到答案．【小问1详解】证明：∵在中，和分别平分和，∴，，又∵，∴，，∴，，∵， ∴；【小问2详解】∵，，，∴，∵，∴，∴，即，∴．【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、等角对等边等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．六、（本题满分12分）21.已知：如图，点、分别在的边、上，，点在上，且．求证：（1）；（2）．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）首先证明，易得，再结合，可得，进而可得，即可证明；（2）结合，可得，由平行线分线段成比例定理可得，然后结合，可得，进而可得，即可证明结论．【小问1详解】证明：∵，∴， ∴，∵，∴，∴，又∵，∴；【小问2详解】∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题关键是熟练掌握相关知识并灵活运用．七、（本题满分12分）22.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为R＝500＋30x，P＝170－2x．（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？【答案】（1）25；（2）35；1950元．【解析】【分析】（1）根据总利润=售价×数量－成本得出一元二次方程，然后解出答案，根据日最高产量为40只进行验根；（2）设每天所获利润为W，然后列出函数解析式，最后进行配方得出最大值．【详解】（1）由题意得：（170-2x）x-（500+30x）=1750，解得x1=25，x2=45（大于每日最高产量为40只，舍去）（2）设每天所获利润为W，由题意得，W=（170-2x）x-（500+30x）=-2x2+140x-500=-2（x-35）2+1950． 答：当x=35时，W有最大值1950元．【点睛】考点：一元二次方程的应用八、（本题满分14分）23.如图，四边形中，平分，，为的中点，与交于点．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定方法“两个角对应相等的两个三角形相似”，由此即可求证；（2）运用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得，可证，根据内错角相等，两直线平行即可求证；（3）运用平行线的性质可证，再根相似三角形的判定可证，由此即可求解．【小问1详解】证明：∵平分，∴，又∵，∴．【小问2详解】证明：∵点是的中点，，∴，∴，又∵， ∴，∴．【小问3详解】解：∵，∴，∴，∴又∵，∴，∴，又∵，，∴，∴．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键．