北师大版2024-2025学年八上数学第一次月考试卷（解析版）

第一次月考测试卷（满分120分，时间90分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1.在ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】本题考查勾股定理逆定理的运用，根据勾股定理逆定理即可判断该三角形形状．【详解】解：AB=6，AC=8，BC=10，∴AB2=36，AC2=64，BC2=100，有222AB+=+==AC3664100BC，∴该三角形为直角三角形．故选：B．112.下列各数﹣，0，π，4，，5中是无理数的有（）个．23A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可．【详解】因为5是开方开不尽的根式，π是无限不循环小数，所以5和π是无理数，共两个，故选B.【点睛】本题考查了对无理数的定义的应用，注意：无理数包括：①开方开不尽的根式，②含π的，③无理数是指无限不循环小数．熟练掌握无理数的定义是解题关键.3.4的平方根是()A.2B.±2C.2D.2【答案】B第1页/共13页 【解析】【分析】根据平方根的定义，即可求解．【详解】解：±=42±．故选：B．【点睛】本题考查了求一个数的平方根，熟练掌握平方公式的定义是解题的关键．4.在下列四组数中，不是勾股数的是（）.A.7,24,25B.3,5,7C.8,15,17D.9,40,41【答案】B【解析】【分析】求是否为勾股数，这里给出三个数，利用勾股定理，只要验证两小数的平方和等于最大数的平方即可．【详解】解：A、72+242=252，是勾股数的一组；B、32+52≠72，不是勾股数的一组；C、82+152=172，是勾股数的一组；D、92+402=412，是勾股数的一组．故选B【点睛】考查了勾股数，理解勾股数的定义，并能够熟练运用．5.下列计算正确的是（）A.236×=B.235+=C.15=35D.532−=【答案】A【解析】【详解】试题分析：本题主要考查的就是二次根式的计算.B和D中的两个二次根式不是同类二次根式，则无法进行加减法计算；C选项中的二次根式为最简二次根式，无法进行化简.6.如图以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是（）3A.B.2C.3D.1.42【答案】B【解析】第2页/共13页 【详解】根据勾股定理可得：正方形的对角线的长度为√2，则点A所表示的数为√2.故选B.7.如图所示，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用()A.L1B.L2C.L3D.L4【答案】B【解析】【详解】由题意可知，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=5米，∠CAD=60°，∴∠ACD=30°，1∴AD=AC，212122103设AC=x，则AD=x，由勾股定理可得：xx=()5+，解得x=±，223∵x>0，103∴AC=x=≈5.77（米），3∵考虑既要符合设计要求，又要节省材料，∴选L2，故选B.8.在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（）A.84B.24C.24或84D.42或84【答案】C【解析】【分析】由于高的位置不确定，所以应分情况讨论.【详解】（1）△ABC为锐角三角形，高AD在三角形ABC的内部，∴BD=AB22−AD=9，CD=AC22−AD=5，第3页/共13页 1∴△ABC的面积为×+×（95）12=84，2（2）△ABC为钝角三角形，高AD在三角形ABC的外部，∴BD=AB22−AD=9，CD=AC22−AD=5，1∴△ABC的面积为×−×（95）12=24，2故选C.【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是根据三角形的形状进行分类讨论.29.实数ab,在数轴上的位置如图所示，则(aba++)的化简结果为（）A.2ab+B.−bC.bD.2ab−【答案】B【解析】【分析】由数轴得出b<0＜a，原式化简为|a+b|+a，去掉绝对值符号得出-a-b+a，合并同类项即可．【详解】∵由数轴可知：b<0＜a，第4页/共13页 2∴(aba++)=|a+b|+a=−a−b+a=−b.故选B.【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，解题关键在于结合数轴进行解答.10.有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的x=64时，输出的y等于（）A.2B.8C.32D.22【答案】D【解析】【分析】根据图中的步骤，把64输入，可得其算术平方根为8，8再输入得其算术平方根是22，是无理数则输出．【详解】由图表得，64的算术平方根是8，8的算术平方根是22．故选D.【点睛】本题考查了算术平方根的定义，看懂图表的原理，正确利用平方根的定义是解决本题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程）11.若−3是m的一个平方根，则m+13的平方根是______．【答案】±4【解析】【分析】根据平方根的定义求解即可.【详解】∵−3是m的一个平方根，∴m=（-3）2=3，∴m+13=16，∴m+13的平方根是：±4，故答案为±4【点睛】本题考查平方根的定义，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，而算术平方根只有一个.熟练掌握平方根的定义是解题关键.12.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为___________．第5页/共13页 【答案】6，8，10【解析】【分析】根据连续偶数相差是2，设中间的偶数是x，则另外两个是x−2，x+2根据勾股定理即可解答．【详解】解：设中间的偶数是x，则另外两个是x−2，x+2根据勾股定理，得222(x−+=+2)xx(2)，解得x=8或0（0不符合题意，应舍去），所以它的三边是6，8，10．故答案为：6，8，10【点睛】本题考查的是连续偶数的特征和勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键13.已知：若3.65≈1．910，36.5≈6．042，则365?000≈_______，±0.000?365≈____．【答案】①.604.2②.±0.0191【解析】【分析】根据被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案．【详解】解：若3.65≈1.910，36.5≈6.042，则365000≈604.2，±0.000365≈±0.0191．故答案为604.2，±0.0191．【点睛】本题考查了算术平方根，利用被开方数与算术平方根的关系是解题关键．14.已知a、b为两个连续的整数，且ab>>28，则ab+=________．【答案】11【解析】【分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握无理数是解题的关键．根据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出a，b的值，即可得出答案．【详解】解：∵36>>2825∴6>>285∵a、b为两个连续的整数，且ab>>28，∴a=6，b=5∴ab+=+=6511．第6页/共13页 故答案为：11．15.如果一个三角形的三个内角之比是1∶2∶3，且最小边的长度是8，最长边的长度是________.【答案】16【解析】【详解】设这个三角形三个内角的度数分别为：xxx、2?、3，根据三角形内角和定理可得：xxx++=23180，解得x=30，∴这个三角形三个内角分别为：30°、60°、90°，又∵这个三角形的最短边是8，∴根据在直角三角形中30°的角所对的边是斜边的一半可知：其最长边斜边长为：16.16.如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是___________．【答案】5【解析】【分析】本题考查了平方根的概念，图形的剪拼，剪拼图形是解题的关键．将图形剪拼成正方形，根据正方形的面积求出其边长即可．【详解】解：分割图形如下：这个正方形的面积为5，故这个正方形的边长是5．故答案为：5．17.若5+7的小数部分是a，5-7的小数部分是b，则ab+5b=______．【答案】2【解析】【分析】由273<<可得7578<+<，2573<−<，进行可得a，b的值，从而可得结论．【详解】∵273<<，∴255735+<+<+，−>−273>−，第7页/共13页 ∴7578<+<，525753−>−>−，∴2573<−<，∴a=72−，b=−37；将a、b的值，代入可得ab+=52b．故答案为2．18.如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________．【答案】76【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个即风车的外围周长．【详解】解：依题意，可得“数学风车”中的四个大直角三角形的两条直角边长分别为5和12，∴“数学风车”中的四个大直角三角形的斜边长为：1222+=513，∴这个风车的外围周长是(136+×=)476，故答案为：76．三、解答题（本大题共6小题，满分58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.（1）在边长为1的正方形网格中，以AB为边作一个正方形．（2）以点O为顶点作一个面积为10的正方形．第8页/共13页 【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）直接利用网格结合勾股定理得出正方形边长进而得出答案；（2）直接利用网格结合勾股定理得出正方形边长进而得出答案．试题解析：(1)如图所示：四边形ABCD即为所求；(2)如图所示：四边形EGCF即为所求．20.化简：1（1）54×+122（2）(72−÷−+16)8(31)(31−)【答案】（1）53（2）12−【解析】第9页/共13页 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算规则是关键．（1）先进行乘法计算去掉分母，再逐项计算即可；（2）先分项相除和利用平方差公式进行化简，再逐项计算即可．【小问1详解】154×+1221=×+54232=3323+=53；【小问2详解】(72−÷−+16)8(31)(31−)=728÷−168÷−−(31)=−−322=−12．21.先阅读下面的解题过程，然后再解答.形如mn±2的化简，我们只要找到两个数a，b，使22abm+=，ab=n，即()()abm+=，abn⋅=，那么便有：2mn±=±=±>2(abab)(ab0).例如化简：743+.解：首先把743+化为7+212，这里m=7，n=12，由于437+=，4312×=，22所以(4)+(3)=×=7,4312，所以27437212(43)23+=+=+=+.根据上述方法化简：13242−.第10页/共13页 【答案】见解析【解析】【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法．【详解】根据题意，可知m=13，n=42，由于7+=613，76×=42，22所以(7)(6)13+=，7×=642，所以22213242−=(7)(6)276+−××=(7−6)=−76.【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于求得m=13，n=42.22.清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》，对“三边长为3，4，5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数(面积)，以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现代的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别S为3，4，5的整数倍，设其面积为S，则求其边长的方法为：第一步：＝m；第二步：m＝k；第三6步：分别用3，4，5乘以k，得三边长”．(1)当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；(2)你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程．【答案】（1）15,20,25；（2）详见解析.【解析】【详解】试题分析:先由题中所给的条件找出字母所代表的关系，然后套用公式解题．试题解析:s(1)当s＝150时，m＝＝25，k＝m＝5．6∴3×5＝15，4×5＝20，5×5＝25，∴直角三角形的三边长分别为15，20，25．(2)正确，设直角三角形的三边长分别为3k，4k，5k，1∴s＝×3k×4k＝6k²，2s∴k＝，6sss∴三边长分别为3，4，5.666第11页/共13页 点睛:此题信息量较大，解答此类题目的关键是要找出所给条件，然后解答．23.阅读下面的解题过程∶化简∶2410(84105)13++−(8+−5)13(8++513)(8+−513)===8++5138++5138++5138++513=+−8513．请回答下列问题．26（1）按上述方法化简；235++（2）请认真分析化简过程，然后找出规律，写成一般形式．【答案】（1）235+−（2）见解析【解析】【分析】本题考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．（1）参照例子进行化简；（2）根据上面的解题思路分析可得出这个式子的值．【小问1详解】(23265++)−解：原式=235++22(23+−)(5)=235++(235235++)(+−)=235++=+−235；【小问2详解】2ab(ab++2abab)−+()解：=abab+++abab+++22(ab+−+)(ab)=abab+++第12页/共13页 (abababab+++)(+−+)=abab+++=+−+(abab)；2ab∴=+−+>>abab(ab0,0)．abab+++24.如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）．（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2＋b2＝c2；（2）用这样的两个三角形可以拼出多种四边形，画出周长最大的四边形；当a＝2，b=4时，求这个四边形的周长．【答案】（1）证明见解析；（2）见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）观察图形可知，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，用字母表示出来，化简后，即可证明勾股定理；（2）已知a与b的值，根据勾股定理求出c的值，把最短的直角边重合在一起，拼成一个平行四边形，如图1所示，这个平行四边形的周长最大，求出最大周长即可．试题解析：11112（1）由图可得：(abab+)(+=++)abcab，2222222a++22abbabc+整理得：2+b2=c2；=，整理得：a22（2）当a=2，b=4时，根据勾股定理得：22c=+=2425；如图1：则四边形的最大周长为845+．点睛：本题考查了勾股定理的证明，用数形结合来证明勾股定理，这是典型的数形结合思想方法得运用．第13页/共13页