2024-2025学年九年级上册数学第一次月考试卷02【北师大版】

2024-2025学年九年级上册数学第一次月考试卷02【北师大版】一．选择题（每题3分，共30分）1.下列各组线段长度成比例的是（　　）A.1，2，3，4B.2，3，4，6C.3，4，5，6D.5，10，15，202.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　）A.且B.C.D.且3.若，是方程的两个实数根，则的值是（    ）A.B.C.D.4.如图，有三个矩形，其中是相似图形是（）A.甲和乙B.甲和丙C.乙和丙D.甲、乙和丙5.如图，点D在的边上，要判定与相似，需添加一个条件，下列添加的条件中，不正确的是（　　）A.B.C.＝D.＝6.下列说法正确的是（）A.四边相等的四边形是正方形B.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C.对角线相等的四边形是矩形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形7.四张背面完全相同的卡片上分别写有1、2、3、4四个数字，把卡片背面朝上洗匀后，王明从这四张卡片中随机选两张，则王明选中的卡片中有偶数的概率是（　　）A.B.C.D.8.某电影上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房10.82亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（）A.27 B.C.D.9如图，ABC中，DE∥BC，AD:BD=1:3，则OE：OB=（　）A.1:3B.1:4C.1:5D.1:610.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，，点为轴上的一个动点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为（）A.B.C.D.二．填空题（每题3分，共15分）11.已知，那么______．12.一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，九年二班数学兴趣小组进行了如下试验：从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，记为一次摸球试验，经过大量试验发现摸到红球的频率稳定在0.4附近，则口袋中黄球大约有______个．13.已知一元二次方程两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长______．14.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，已知点C（，1），则点A的坐标是______________．27 15.如图，在矩形中，E为的中点，交于F，连接，设，当________，则．三．解答题（共55分）16.解方程（1）；（2）；（3）．17.为贯彻《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》精神，某校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）．请你根据统计图中所提供信息解答下列问题：（1）获奖总人数为人，，A所对的圆心角度数是°．27 （2）请将条形统计图补充完整；（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．18.如图，在△ABC中，，BD为△的中线．，，连接CE．（1）求证：四边形BDCE为菱形；（2）连接DE，若，，求DE的长．19.某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．（1）若售价下降1元,每月能售出个台灯，若售价下降x元(),每月能售出个台灯．（2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．（3）月获利能否达到9600元，说明理由．20.如图，已知中，，点D，E分别在边上，．（1）求证：；（2）若，求点E到的距离．21.如果方程的两个根是，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程的两个根是，，那么m＝____，n=____；（2）已知a、b满足，，求的值；（3）已知a、b、c满足，，求正数c的最小值．22.【基础巩固】27 （1）如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结，若，求证：．【尝试应用】（2）如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，若，求的长．【拓展提升】（3）如图3，在菱形中，对角线交于点O，E为中点，F为上一点，连结，若，，求菱形的边长．27 2024-2025学年九年级上册数学第一次月考试卷02【北师大版】一．选择题（每题3分，共30分）1.下列各组线段的长度成比例的是（　　）A.1，2，3，4B.2，3，4，6C.3，4，5，6D.5，10，15，20【答案】B【解析】【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段对选项一一分析，排除错误答案；【详解】解：A、∵，故此选项不符合题意；B、∵，故此选项符合题意；C、∵，故此选项不符合题意；D、∵，故此选项不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．2.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　）A.且B.C.D.且【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．【详解】解：根据题意得且，解得且．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．3.若，是方程的两个实数根，则的值是（    ）A.B.C.D.27 【答案】B【解析】【分析】由，是方程的两个实数根，得，，将所求式子变形后整体代入即可．【详解】解：，是方程的两个实数根，，，，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程根的定义，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．4.如图，有三个矩形，其中是相似图形的是（）A.甲和乙B.甲和丙C.乙和丙D.甲、乙和丙【答案】B【解析】【分析】根据对应角相等且对应边成比例的两个多边形相似即可判断．【详解】解：∵，∴是相似形的是甲和丙故选B．【点睛】本题主要考查了相似多边形的判定，熟知相似多边形对应边成比例是解题的关键．5.如图，点D在的边上，要判定与相似，需添加一个条件，下列添加的条件中，不正确的是（　　）A.B.C.＝D.＝27 【答案】C【解析】【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解；【详解】解：若，则，故选项A不合题意；若，则，故选项B不合题意；若，则，故选项D不合题意；故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．6.下列说法正确的是（）A.四边相等的四边形是正方形B.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C.对角线相等的四边形是矩形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形【答案】D【解析】【分析】由矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A、四边相等的四边形是菱形，选项A不符合题意；B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，选项B不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，选项C不符合题意；D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定；熟练掌握矩形的判定、菱形的判定是解题的关键．7.四张背面完全相同的卡片上分别写有1、2、3、4四个数字，把卡片背面朝上洗匀后，王明从这四张卡片中随机选两张，则王明选中的卡片中有偶数的概率是（　　）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．【详解】解：树状图如图所示，27 一共有12种等可能性，其中王明选中的卡片中有偶数的可能性有10种可能性，故王明选中的卡片中有偶数的概率为：，故选：A．【点睛】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．8.某电影上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房10.82亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据“三天累计票房10.82亿元”求解即可得出答案．【详解】解：设平均每天票房增长率为x，则根据题意可列方程为，故选：D．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是掌握理解题意，找到其中蕴含的相等关系．9.如图，ABC中，DE∥BC，AD:BD=1:3，则OE：OB=（　）27 A.1:3B.1:4C.1:5D.1:6【答案】B【解析】【分析】先根据DE∥BC，得出ADE∽ABC，进而得出，再根据DE∥BC，得到ODE∽OCB，进而得到．【详解】解：∵DE∥BC，∴ADE∽ABC，∴，又∵，∴，∵DE∥BC，∴ODE∽OCB，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了相似三角形判定与性质，平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．10.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，，点为轴上的一个动点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为（）27 A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】以为边在右侧作等边，连接并延长交轴于点，过点作于点，利用全等三角形的性质证明，所以，推出点在过定点且与垂直的直线上运动，即点在直线上运动，求出的长即可解决问题．【详解】解：如图，以为边在右侧作等边，∴，连接并延长交轴于点，过点作于点，在矩形中，∵，∴，，∴，∵是等边三角形，∴，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴点在过定点且与垂直的直线上运动，即点在直线上运动，∵是等边三角形，∴，∴，∵，27 ∴，当点与不重合时，，当点与重合时，，综上所述：，∴的最小值为，故选：B．【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，角的直角三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．二．填空题（每题3分，共15分）11.已知，那么______．【答案】【解析】【分析】根据比例的性质得出：，再代入到原式计算即可．详解】由，得，则，故答案为：．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质对式子进行灵活变形是解题关键．12.一个不透明口袋中装有1027 个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，九年二班数学兴趣小组进行了如下试验：从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，记为一次摸球试验，经过大量试验发现摸到红球的频率稳定在0.4附近，则口袋中黄球大约有______个．【答案】15【解析】【分析】设袋子中黄球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个红球的概率为，由此根据概率公式建立方程求解即可．【详解】解：设袋子中黄球约有x个，∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在附近，∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为，∴，解得，经检验，是原方程的解，∴袋子中黄球约有15个，故答案为：15．【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．13.已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长______．【答案】20【解析】【分析】求出一元二次方程的两个根，根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理可得答案．【详解】解：，则x1=6，x2=8，即菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的边长为，故菱形的周长为5×4=20，故答案为20【点睛】本题考查解一元二次方程，菱形的性质，周长的求法，正确掌握一元二次方程的解法、菱形的性质，是解题的关键．14.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，已知点C（，1），则点A的坐标是______________．27 【答案】【解析】【分析】分别过点A作轴于点于点，由“一线三等角”证明，结合正方形的性质解得，由此解题．【详解】解：如图，分别过点A作轴于点于点，在正方形中，故答案为：．【点睛】27 本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质、坐标与象限等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15.如图，在矩形中，E为的中点，交于F，连接，设，当________，则．【答案】【解析】【分析】设，则，由，得出，则，可求出答案；【详解】存在值，使得与相似；理由如下：设，则，∵，∴，∴，，,，，∴，即，27 解得：；【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键三．解答题（共55分）16.解方程（1）；（2）；（3）．【答案】（1），（2），（3），【解析】【分析】（1）利用直接开平方的方法解答即可；（2）利用因式分解法求解即可；（3）利用配方法求解即可．【小问1详解】，即，；【小问2详解】，27 即：或者，则：，；【小问3详解】，即，．【点睛】本题主要考考查了解一元二次方程的知识，掌握因式分解法以及配方法是解答本题的关键．17.为贯彻《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》精神，某校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）获奖总人数为人，，A所对的圆心角度数是°．（2）请将条形统计图补充完整；（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）40，30，36（2）见解析（3）27 【解析】【分析】（1）等级的人数除以所占的百分比，求出总人数，等级的人数除以总人数求出的值，等级所占的比例，求出圆心角；（2）根据（1）中求出的等级的人数求出总人数；（3）画出树状图进行求解即可．【小问1详解】解：（人），等级的人数为：（人），∴，∴，A所对的圆心角度数是；故答案为：40，30，36；【小问2详解】补全条形图如下：【小问3详解】画出树状图如下：共有12种等可能的结果，其中选择一男一女，共有6种等可能的结果，∴．【点睛】本题考查条形图和扇形图的综合应用，树状图法求概率．从统计图中有效的获取信息，是解题的关键．18.如图，在△ABC中，，BD为△的中线．，，连接CE．27 （1）求证：四边形BDCE为菱形；（2）连接DE，若，，求DE的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）利用对边平行且相等证平行四边形，再通过直角三角形斜边上的中线的性质判定即可．（2）连接DE，根据菱形的性质利用勾股定理求解即可．【小问1详解】证明：∵，，∴四边形为平行四边形．∵，BD为AC边上的中线，∴，∴四边形为菱形．【小问2详解】解：连接DE交BC于O点，如图．∵四边形为菱形，，∴．∵，∴．∴．∴．∴．27 【点睛】本题主要考查菱形的判定及性质，能够熟练运用菱形的性质是解题关键．19.某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．（1）若售价下降1元,每月能售出个台灯，若售价下降x元(),每月能售出个台灯．（2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．（3）月获利能否达到9600元，说明理由．【答案】（1）800；600+200x；（2）每个台灯的售价为37元；（3）月获利不能达到9600元，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个，分别计算即可；（2）设每个台灯的售价为x元，根据每个台灯的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答；（3）根据题意列出方程，求出根的判别式△＜0，可得方程无实数根，即月获利不能达到9600元.【详解】解：（1）∵售价每下降1元，其月销售量就增加200个，∴若售价下降1元，每月能售出600+200=800个台灯，若售价下降x元()，每月能售出600+200x个台灯；（2）设每个台灯售价为x元，由题意得：(x-30)[600+200(40-x)]=8400，解得：x1=36，x2=37，当x=36时，600+200(40-x)=1400＞1210（舍去），当x=37时，600+200(40-x)=1200＜1210（符合题意），答：每个台灯的售价为37元；（3）月获利不能达到9600元，理由：设每个台灯的售价为x元，由题意得：(x-30)[600+200(40-x)]=9600，整理得：x2-73x+1338=0，∵△=b2-4ac=-23＜0，∴方程无实数根，即月获利不能达到9600元.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．20.如图，已知中，，点D，E分别在边上，．27 （1）求证：；（2）若，求点E到的距离．【答案】（1）见解析（2）点E到的距离为【解析】【分析】（1）由，可得，由，可得，进而可证；（2）如图，过点E作于M，过点A作于H，过点D作DG⊥AB于G，由，可得，由勾股定理得，则，由，可得，由，可得，由，可得，即，计算求解即可．【小问1详解】证明：∵，∴，∵，，∴，∵，，∴；【小问2详解】解：如图，过点E作于M，过点A作于H，过点D作于G，27 ∵，∴，由勾股定理得，∴，又∵，∴，∵，∴，又∵，∴，即，解得，∴点E到的距离为．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，外角的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．21.如果方程的两个根是，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程的两个根是，，那么m＝____，n=____；（2）已知a、b满足，，求的值；（3）已知a、b、c满足，，求正数c的最小值．【答案】（1），（2）2；（3）4．27 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可；（2）由题意可得a，b是的解，根据一元二次方程根与系数的关系可得当时，，；时，分别代入求值即可；（3）由，，即a、b是方程的解，由根据判别式即可求解．【小问1详解】解：∵，，∴，；【小问2详解】解：∵a、b满足，，∴a，b是的解，当时，，，∴，当时，原式；【小问3详解】解：∵，，∴，，∴a、b是方程的解，∴，即，∵c是正数，∴，∴，∴，∴正数c的最小值是4．27 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的根与判别式的关系、解不等式，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关系．22.【基础巩固】（1）如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结，若，求证：．【尝试应用】（2）如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，若，求的长．【拓展提升】（3）如图3，在菱形中，对角线交于点O，E为中点，F为上一点，连结，若，，求菱形的边长．【答案】（1）见解析；（2）18；（3）．【解析】【分析】（1）可证得，从而，进一步得出结论；（2）可证得，从而得出，进而得出，从而，设，则，从而得出，从而求得的值，进一步得出结果；（3）延长，交于点，可得出，从而，进而表示出，可证得，从而，进而求得的值，进一步得出结果；【小问1详解】证明：∵，27 【小问2详解】解：∵四边形是平行四边形，设，则（舍），设，则，（舍去），【小问3详解】27 解：如图，延长，交于点，设则∵四边形是菱形，即在中，∵为的中点，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴(舍去)，∴，即菱形的边长为27 【点睛】本题考查了平行四边形、菱形的性质，直角三角形和等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形27