2024-2025学年八年级上册数学第一次月考试卷02【北师大版】

2024-2025学年八年级上册数学第一次月考试卷02【北师大版】一．选择题（32）1.在实数，，，，，中，无理数的个数是（）个．A.1B.2C.3D.42.下列各组数据为勾股数的是（）A.B.C.5，12，13D.2，3，43.下列二次根式中，最简二次根式的是（）A.B.C.D.4.估算的范围是（）A.B.C.D.5.下列计算正确的是（）A.B.C.D.6.如图，，，，点A在点O的北偏西方向，则点B在点O的（）A.北偏东B.北偏东C.东偏北D.东偏北7.如图，一个梯子长2米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为米，梯滑动后停在的位置上，测得长为米，求梯子顶端A下落了（）33 A.米B.米C.米D.米8.在四边形中，，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线交于点，交于点，若点是的中点，则的长为（）AB.C.D.4二．填空题（16）9.的算术平方根是________．的立方根是________．10.长方体的长为，宽为，高为，点B离点C，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是______．11.已知，则___________．12.如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点N，则的长是______．三．解答题（52）13.计算：33 （1）；（2）．14.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的四个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）线段的长为，的长为，的长为．（2）通过计算说明是什么特殊三角形．（3）求四边形的面积．15.新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路的距离AB为800米，若宣讲车周围1700米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路上沿方向行驶．（1）请问村庄A能否听到宣传？请说明理由；（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？16.如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合．33 （1）若，则的度数为；（2）若，，求的长；（3）当，面积为时，求的周长．（用含m的代数式表示）17.（1）若实数a，b满足，求的算术平方根．（2）已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．化简：．18.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，点E，F分别在直线BC，AC上（点E不与点B，C重合），DF⊥DE，连接EF．（1）如图1，当点F与点A重合时，AB＝8，DE＝3，求EF的长；（2）如图2，当点F不与点A重合时，求证：AF2＋BE2＝EF2；（3）若AC＝8，BC＝6，EC＝2，求线段CF的长．四．填空题（20）19.如图，在数轴上点D表示的实数为______．20.已知，，那么的平方根是__________．21.如图，是边长为6的等边三角形，为的中点，延长到点，使，于点，则F点到的距离是__________________．33 22.我们用符号表示一个不大于实数x最大的整数，如：，则按这个规律，_____，_____．23.已知，直角三角形纸片中，，点D是线段上一个动点，将该纸片沿所在直线折叠，点A的对应点为点E，若点E在的边上，求_____．五．解答题（30）24.已知：，求：（1）的值；（2）；（3）若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值．25.问题背景：如图，方格纸中每个小方格的边长为1，我们把小方格顶点处的点称为格点．问题提出：（1）若格点是钝角三角形且面积为6，请在图1中任意画出一个符合要求格点；问题探究：（2）若格点满足，，，请在图2中画出一个符合要求的格点，并计算的面积；问题解决：（3）我们将（2）中求解面积的过程称为构图法，现在有一个三角形的三条边长分别为，，，且满足，．请利用构图法求这个三角形的面积．33 26.我们知道：在小学已经学过“正方形的四条边都相等，正方形的四个内角都是直角”，试利用上述知识，并结合已学过的知识解答下列问题：如图1，在正方形中，G是射线上一个动点（点G不与点C重合），以为边向下作正方形．（1）当点G在线段上时，求证：；（2）连接，试探索：、与的数量关系，并说明理由；（3）若，（a是常数），如图2，过点F作，交射线于点T，问在点G的运动过程中，的长度是否会随着G点的移动而变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由．33 2024-2025学年八年级上册数学第一次月考试卷02【北师大版】一．选择题（32）1.在实数，，，，，中，无理数的个数是（）个．A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据无理数的定义求解即可．【详解】解：是有限小数，属于有理数；，是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；无理数有：，，，共3个．故选：C．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，（每两个8之间依次多1个0）等形式的数．2.下列各组数据为勾股数的是（）A.B.C.5，12，13D.2，3，4【答案】C【解析】【分析】根据股勾股数的定义：可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，进行判断即可．【详解】解：A、不是正整数，不是勾股数；B、不是正整数，不是勾股数；C、5，12，13是正整数，且满足，是勾股数；D、，不勾股数；故选：C．【点睛】本题考查勾股数．熟练掌握勾股数的定义，是解题的关键．33 3.下列二次根式中，最简二次根式的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．【详解】解：A、中含有分母，不是最简二次根式，故不合题意；B、是最简二次根式，故符合题意；C、中含有因数4，不是最简二次根式，故不合题意；D、中含有分母，不是最简二次根式，故不合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．4.估算的范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】夹逼法求出的范围，即可得出结果．【详解】解：∵，∴，∴；故选B．【点睛】本题考查无理数的估算．熟练掌握夹逼法进行无理数的估算，是解题的关键．5.下列计算正确的是（）A.B.C.D.33 【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的加减法，二次根式的性质分别计算即可．【详解】解：A、，故错误，不合题意；B、，故正确，符合题意；C、，故错误，不合题意；D、，故错误，不合题意；故选：B．【点睛】本题考查二次根式的运算和性质，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．6.如图，，，，点A在点O的北偏西方向，则点B在点O的（）A.北偏东B.北偏东C.东偏北D.东偏北【答案】B【解析】【分析】先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，求出，然后再求出的余角即可解答．【详解】解：，，，，是直角三角形，，由题意得：，点在点的北偏东方向，故选：B．【点睛】本题考查了方向角，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．7.如图，一个梯子长2米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为33 米，梯滑动后停在的位置上，测得长为米，求梯子顶端A下落了（）A.米B.米C.米D.米【答案】A【解析】【分析】由题意可知，米，米，米，根据勾股定理可分别求出、的长，再求出的长即梯子顶端下落的距离．【详解】解：由题意可知，，米，米，米，（米），在中，（米），在中，（米），（米），即梯子顶端下落了米．故选：A．【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，解题关键是注意梯子的长度不变，利用勾股定理求出、的长．8.在四边形中，，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线交于点，交于点，若点是的中点，则的长为（）A.B.C.D.433 【答案】A【解析】【分析】连接，根据基本作图，可得垂直平分，由垂直平分线的性质得出．再根据证明，那么，等量代换得到，利用线段的和差关系求出．然后在中利用勾股定理即可求出的长．【详解】解：如图，连接，由题可得，点和点在的垂直平分线上，垂直平分，，，，在与中，，，，，．在中，，，即，解得．故选：A．【点睛】本题考查了基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质的综合运用．线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，确定垂直平分是解决问题的关键．33 二．填空题（16）9.的算术平方根是________．的立方根是________．【答案】①.②.【解析】【分析】根据算术平方根和立方根的定义进行求解即可．【详解】解：的算术平方根是；的立方根是；故答案为：，．【点睛】本题考查求一个数的算术平方根和求一个数的立方根，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义．10.长方体的长为，宽为，高为，点B离点C，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是______．【答案】【解析】【分析】画出长方体的几种侧面展开图，根据勾股定理求出的长即可．【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1：33 长方体的宽为，高为，点离点的距离是，，，在直角三角形中，根据勾股定理得：；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2：长方体的宽为，高为，点离点的距离是，，，在直角三角形中，根据勾股定理得：；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3：长方体的宽为，高为，点离点的距离是，，直角三角形中，根据勾股定理得：33 ；蚂蚁爬行的最短距离是．故答案为：．【点睛】本题考查的是平面展开最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键．11.已知，则___________．【答案】243【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的值，进而求出y的值．【详解】由题意得：，解得，∴，∴．故答案为：243．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．12.如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点N，则的长是______．【答案】【解析】【分析】连接，则，在中，利用勾股定理求出即可得出答案．【详解】解：如图，连接，33 由题意知：，在中，由勾股定理得：，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了勾股定理，求出的长是解题的关键．三．解答题（52）13.计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可；（2）根据二次根式的乘法和除法法则计算即可求解．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：33 ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．14.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的四个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）线段的长为，的长为，的长为．（2）通过计算说明是什么特殊三角形．（3）求四边形的面积．【答案】（1）；；5（2）是直角三角形；（3）四边形的面积为10．【解析】【分析】（1）把线段、、放在直角三角形中利用勾股定理计算即可；（2）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形；（3）判断和全等，利用三角形的面积公式即可求解．【小问1详解】解：；；．故答案为：，，5；33 【小问2详解】解：由（1）知，，，，故是直角三角形；【小问3详解】解：由图观察可知和全等，∴四边形的面积为．【点睛】此题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．15.新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路的距离AB为800米，若宣讲车周围1700米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路上沿方向行驶．（1）请问村庄A能否听到宣传？请说明理由；（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？【答案】（1）村庄A能听到宣传，理由见解析；（2）村庄A总共能听到15分钟的宣传．【解析】【分析】（1）直接比较村庄A到公路的距离和广播宣传距离即可；（2）过点A作于点，利用勾股定理运算出广播影响村庄的路程，再除以速度即可得到时间．【小问1详解】解：村庄能听到宣传，理由：∵村庄A到公路的距离为800米1700米，∴村庄A能听到宣传；33 小问2详解】解：如图：过点A作于点，假设当宣讲车行驶到点开始影响村庄，行驶点结束对村庄的影响，则米，米，∴（米），∴米，∴影响村庄的时间为：（分钟），∴村庄A总共能听到15分钟的宣传．【点睛】本题主要考查了垂线的性质，勾股定理，仔细审题获取相关信息合理作出图形是解题的关键．16.如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合．（1）若，则的度数为；（2）若，，求的长；（3）当，的面积为时，求的周长．（用含m的代数式表示）【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据折叠可得，根据三角形内角和定理可以计算出，进而得到；（2）根据折叠可得，设，则，再在中利用勾股定理可得33 ，再解方程可得的值，进而得到的长；（3）根据三角形的面积可得，进而得到，再在中，，再把左边配成完全平方可得的长，进而得到的周长．【小问1详解】解：把沿直线折叠，使与重合，，，，，故答案为：；【小问2详解】把沿直线折叠，使与重合，，设，则，在中，，，解得：，则；【小问3详解】的面积为，，，在中，，，，，33 ，．即的周长为．【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段．17.（1）若实数a，b满足，求的算术平方根．（2）已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．化简：．【答案】（1）5；（2）【解析】【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性求出a，b，代入计算，可得算术平方根；（2）根据数轴可得，继而推出，再利用二次根式和立方根的性质化简即可．【详解】解：（1）∵，∴，，解得：，，∴，∴的算术平方根为；（2）由数轴可得：，∴，∴．【点睛】本题考查了非负数的性质，算术平方根，二次根式的性质和立方根的性质，实数与数轴，解题的关键是熟练掌握各知识点，否则缺乏解题的连贯性．18.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，点E，F分别在直线BC，AC上（点E不与点B，33 C重合），DF⊥DE，连接EF．（1）如图1，当点F与点A重合时，AB＝8，DE＝3，求EF的长；（2）如图2，当点F不与点A重合时，求证：AF2＋BE2＝EF2；（3）若AC＝8，BC＝6，EC＝2，求线段CF的长．【答案】（1）5（2）见解析（3）或【解析】【分析】（1）根据DE垂直平分AB，得BE＝EF，BD＝AB＝4，在Rt△BDE中，利用勾股定理即可得出答案；（2）作AG⊥AC，交ED的延长线于G，连接FG，利用AAS证明△AGD≌△BED，得BE＝AG，DG＝DE，得出DF是GE的垂直平分线，则GF＝EF，再利用勾股定理即可证明结论；（3）点E在线段BC上或点E在BC延长线上，分别画出图形，利用（2）中的方法解决问题即可．【小问1详解】解：∵D为AB中点，DF⊥DE，∴DE垂直平分AB，∴BE＝EF，BD＝AB＝4，在Rt△BDE中，由勾股定理得，BE＝＝5，∴EF＝BE＝5；【小问2详解】证明：作AG⊥AC，交ED的延长线于G，连接FG，33 ∵点D为AB的中点，∴AD＝BD，∵AG⊥AC，∴∠GAC＝∠ACB＝90°，∴AG∥BC，∴∠AGD＝∠BED，在△AGD和△BED中，，∴△AGD≌△BED（AAS），∴BE＝AG，DG＝DE，∵DF⊥DE，∴DF是GE的垂直平分线，∴GF＝EF，∵∠GAF＝90°，∴AG2＋AF2＝FG2，∴BE2＋AF2＝EF2；【小问3详解】解：当点E在线段BC上时，作BH∥AC，交FD的延长线于H，连接EH，33 由（2）同理可得，△ADF≌△BDH（AAS），∴BH＝AF，DH＝DF，∴DE是HF的垂直平分线，∴EF＝HE，∴CF2＋CE2＝AF2＋BE2，设CF＝x，则AF＝8﹣x，∴x2＋22＝（8﹣x）2＋42，解得x＝，∴CF＝；当点E在BC延长线上时，如图，作BG∥AC，交FD的延长线于G，连接EF，EG，同理可得CF2＋CE2＝AF2＋BE2，设CF＝x，则AF＝8﹣x，∴x2＋22＝（8﹣x）2＋82，解得x＝，∴CF＝，综上：CF＝或．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理等知识．解题的关键在于利用重点作平行线构造全等三角形．33 四．填空题（20）19.如图，在数轴上点D表示的实数为______．【答案】##【解析】【分析】根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点D的位置可得答案．【详解】解：∵，，∵，∴点D表示的数为，故答案为：．【点睛】本题考查了实数与数轴，勾股定理的应用，体现了数形结合的数学思想，解题时注意点D在数轴的负半轴上．20.已知，，那么的平方根是__________．【答案】【解析】【分析】由算术平方根的概念，可得出答案．【详解】解：，，，的平方根是．故答案为：．【点睛】本题考查算术平方根的概念，解题的关键是掌握开平方的小数点移动规律．21.如图，是边长为6的等边三角形，为的中点，延长到点，使，于点，则F点到的距离是__________________．33 【答案】####【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得，，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得，利用含角的直角三角形的性质和勾股定理以及三角形的面积公式求得，利用等积法求解即可．【详解】解：∵是边长为6的等边三角形，为的中点，∴，，，∴，，，设F点到的距离为，∵，即，∴，故答案为：．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质和勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．22.我们用符号表示一个不大于实数x的最大的整数，如：，则按这个规律，_____，_____．【答案】①.3②.【解析】【分析】先估算出，以及的范围，再根据新定义，进行求解即可．33 【详解】解：∵，∴，∴，∴；∵，∴，∴，∴，∴；故答案为：3，．【点睛】本题考查无理数的估算．熟练掌握夹逼法进行无理数的估算，是解题的关键．23.已知，直角三角形纸片中，，点D是线段上一个动点，将该纸片沿所在直线折叠，点A的对应点为点E，若点E在的边上，求_____．【答案】或【解析】【分析】分点在线段和在线段上，两种情况进行讨论求解．【详解】解：∵，∴，当点在线段上时，如图：33 ∵折叠，∴垂直平分，∴，，∴，∴，∴；当点在线段上时，如图：过点作，∵翻折，∴，∴，∴，∴，即：，∴，∴，∴，∴；33 综上：或；故答案：或．【点睛】本题考查三角形中的折叠问题，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．五．解答题（30）24.已知：，求：（1）的值；（2）；（3）若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值．【答案】（1）25（2）（3）【解析】【分析】（1）代入求值即可；（2）利用完全平方公式整理得，再代入求值即可求解；（3）根据题意估算出m、n的值，代入式子化简计算．【小问1详解】解：∵，∴；【小问2详解】解：∵，，33 ；【小问3详解】解：∵，即，∴，∴，，∵m为a整数部分，n为b小数部分，，∴，，∴．【点睛】本题考查了二次根式，解题的关键是掌握二次根式的混合运算，分母有理化．25.问题背景：如图，方格纸中每个小方格的边长为1，我们把小方格顶点处的点称为格点．问题提出：（1）若格点是钝角三角形且面积为6，请在图1中任意画出一个符合要求的格点；问题探究：（2）若格点满足，，，请在图2中画出一个符合要求的格点，并计算的面积；问题解决：（3）我们将（2）中求解面积的过程称为构图法，现在有一个三角形的三条边长分别为，，，且满足，．请利用构图法求这个三角形的面积．【答案】（1）见解析；（2）画图见解析，；（3）画图见解析，【解析】【分析】（1）根据三角形的面积得出底和高，画出钝角三角形即可；（2）利用数形结合的思想画出图形，再利用割补法求出三角形的面积；33 （2）构建长为，宽为的长方形网格图，利用数形结合的思想画出图形即可．【详解】解：（1）如图1中，即为所求（答案不唯一）；（2）如图2中，即为所求，的面积；（3）如图，网格中小长方形的长为a，宽为b，则，，，即为所求．则的面积．【点睛】本题考查勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．26.我们知道：在小学已经学过“正方形的四条边都相等，正方形的四个内角都是直角”，试利用上述知识，并结合已学过的知识解答下列问题：如图1，在正方形中，G是射线上的一个动点（点G不与点C重合），以为边向下作正方形．33 （1）当点G在线段上时，求证：；（2）连接，试探索：、与的数量关系，并说明理由；（3）若，（a是常数），如图2，过点F作，交射线于点T，问在点G的运动过程中，的长度是否会随着G点的移动而变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由．【答案】（1）证明过程见解析（2）或，理由见解析（3）的长度不会随着G点的移动而变化，【解析】【分析】（1）利用同角余角相等即可得出结论；（2）证明，得出，再利用勾股定理可得，最后分两种情况：当点G在线段上；当点G在线段的延长线上，即可得出结论；（3）由（2）可知，，从而可得，，进而得出，根据平行线的性质可得，即，最后分两种情况：当点G在线段上；当点G在线段的延长线上，分别进行求解即可．【小问1详解】证明：∵四边形和四边形是正方形，∴，，，∴，，∴；【小问2详解】解：或，理由如下：33 在和中，，∴，∴，在中，，∴，当点G在线段上时，，∴，当点G在线段的延长线上时，，∴；【小问3详解】解：∵是正方形的对角线，∴，由（2）可知，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，当点G在线段上时，，当点G在线段的延长线上时，，即，∴的长度不会随着G点的移动而变化．33 【点睛】本题考查正方形的性质、余角的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质证明是解题的关键．33