2024-2025学年八年级上册数学第一次月考试卷01【北师大版】

2024-2025学年八年级上册数学第一次月考试卷01【北师大版】一、选择题1.在实数：3.14159，，1.010010001…，π，中，无理数有（　　）A.1个B.2个C.3个D.4个2.以下不能构成直角三角形的是（　　）A.B.C.D.3.当a满足（　　）时，二次根式有意义．A.B.C.D.4.在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（）A.B.C.D.5.下列命题是假命题的是（）A.三角形具有稳定性B.周长相等的两个三角形全等C.全等三角形的对应边相等D.等腰三角形的两个底角相等6.菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：30，40，34，36，则这组数据的中位数是（）A.34B.35C.36D.407.关于一次函数，下列结论正确的是（）A.图象过点B.图象与轴的交点是C.随的增大而增大D.函数图象不经过第三象限8.一次函数y＝kx+b与y＝kbx，它们在同一坐标系内的图象可能为（　　）A.B.30 C.D.二、填空题9.81的算术平方根是_____．10.已知，则为________．11.小明妈妈给了小明100元去买作业本，已知作业本的单价是1.5元，小明购买了本作业本，剩余费用为元，则与的函数关系式为_________．12.如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为_________．13.如图，直线与x轴、y轴交于点A、B，M、N分别是、的中点，点P是y轴上一个动点，当的值最小时，点P的坐标为________．三、解答题14.计算：（1）；（2）；15.解方程：30 （1）；（2）．16.4月23日是“世界读书日”，向阳中学对在校学生课外阅读情况进行了随机问卷调查，共发放100份调查问卷，并全部收回．根据调查问卷，将课外阅读情况整理后，制成表格如下：月阅读册数（本）12345被调查的学生数（人）205015105请你根据以上信息，解答下列问题：（1）被调查的学生月平均阅读册数为________本；（2）被调查的学生月阅读册数的中位数是________；（3）在平均数、中位数这两个统计量中，________更能反映被调查学生月阅读的一般水平；（4）若向阳中学共有学生2000人，用样本平均数估计四月份该校学生共阅读课外书籍多少本？17解答：（1）已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，求的算术平方根．（2）已知实数，，在数轴上对应点如图所示，化简．18.在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．（1）求证：；（2）求原来路线的长．30 19.如图，已知四边形是正方形（四条边相等、四个角都是直角），E是正方形内一点，，以为斜边作直角三角形，又以为直角边作等腰直角三角形，且，连接．（1）求证：；（2）与存在怎样的位置关系？试说明理由；（3）若，，求点E到的距离．四、填空题20.如图所示，数轴上点A表示的数是-1，0是原点以AO为边作正方形AOBC，以A为圆心、AB线段长为半径画半圆交数轴于两点，则点表示的数是___________，点表示的数是___________．21.一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）____．22.如图在直线上一次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋2S2＋2S3＋S4=__．30 23.满足的三个正整数，称为勾股数．若正整数a，n满足，这样的三个整数（如：3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”，当时，共有________组这样的“完美勾股数”．24.如图，在矩形中，，M是边的中点，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接．在上存在一动点P．连接、，则周长的最小值是________．五、解答25.已知：，．（1）化简求值：求的值；（2）若x的整数部分是m，y的小数部分是n，求的值．26.定义：如图①，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．（1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3，求BN的长；（2）如图②，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M、N为边AB上两点，满足∠MCN=45°，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把△CBN绕点C逆时针旋转90°试一试．请根据陈老师提示完成第（2）小题的证明过程；（3）在（2）问题中，若∠ACM=15°，AM=1，CM=，求BM的长．（提示：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．）30 27.长方形中，点E是中点，沿折叠后得到对应的，将延长交直线于点F．（1）如果点G在长方形的内部，如图①所示．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，，求的长度．（2）如果点G在长方形的外部，如图②所示，（），请用含k的代数式表示的值．30 2024-2025学年八年级上册数学第一次月考试卷01【北师大版】一、选择题1.在实数：3.14159，，1.010010001…，π，中，无理数有（　　）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：，∴在实数：3.14159，，1.010010001…，π，中，无理数有1.010010001…，π，共2个故选：B【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2.以下不能构成直角三角形的是（　　）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、∵，故能构成直角三角形；B、∵，∴，故能构成直角三角形；C、设，则，∵，∴，故不能构成直角三角形；D、∵，30 ∴，故能构成直角三角形．故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形内角和定理等知识，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．3.当a满足（　　）时，二次根式有意义．A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】二次根式中的被开方数必须是非负数．【详解】解：由题意得，，解得，故选：C．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．4.在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】关于轴对称的两个点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据规律解答即可．【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是：故选：【点睛】本题考查的是关于轴对称的两个点的坐标关系，掌握“关于轴对称的两个点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．”是解题的关键．5.下列命题是假命题的是（）A.三角形具有稳定性B.周长相等的两个三角形全等C.全等三角形的对应边相等D.等腰三角形的两个底角相等【答案】B【解析】【分析】根据全等三角形的性质，等腰三角形的性质以及三角形的性质逐项判断即可作答．30 【详解】A、三角形具有稳定性，原说法正确，本项是真命题；B、周长相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，本项是假命题；C、全等三角形的对应边相等，原说法正确，本项是真命题；D、等腰三角形的两个底角相等，原说法正确，本项是真命题；故选：B．【点睛】本题考查了真假命题的判断，涉及全等三角形的性质，等腰三角形的性质以及三角形的性质，掌握全等三角形的性质，是解答本题的关键．6.菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：30，40，34，36，则这组数据的中位数是（）A.34B.35C.36D.40【答案】B【解析】【分析】根据中位数的意义求解即可．【详解】解：将数据30，40，34，36按照从小到大排列是：30，34，36，40，故这组数据的中位数是，故选：B．【点睛】本题考查了中位数，解答本题的关键是明确中位数的含义，求出相应的中位数．7.关于一次函数，下列结论正确的是（）A.图象过点B.图象与轴的交点是C.随的增大而增大D.函数图象不经过第三象限【答案】D【解析】【分析】A、把点的坐标代入关系式，检验是否成立；B、把y＝0代入解析式求出x，判断即可；C、根据一次项系数判断；D、根据系数和图象之间的关系判断．【详解】解：A、当x＝1时，y＝1．所以图象不过（1，−1），故错误；B、把y＝0代入y＝−2x＋3，得x＝，所以图象与x轴的交点是（，0），故错误；30 C、∵−2＜0，∴y随x的增大而减小，故错误；D、∵−2＜0，3＞0，∴图象过一、二、四象限，不经过第三象限，故正确．故选D．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质．常采用数形结合的思想求解．8.一次函数y＝kx+b与y＝kbx，它们在同一坐标系内的图象可能为（　　）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，有由一次函数y=kx+b图象分析可得k、b的符号，进而可得k•b的符号，从而判断y=kbx的图象是否正确，进而比较可得答案．【详解】解：根据一次函数的图象分析可得：A、由一次函数y=kx+b图象可知k＜0，b＞0；一次函数y=kbx的图象可知kb＜0，两函数解析式均成立；B、由一次函数y=kx+b图象可知k＜0，b＞0；即kb＜0，与次函数y=kbx的图象可知kb＞0矛盾；C、由一次函数y=kx+b图象可知k＞0，b＜0；即kb＜0，与次函数y=kbx的图象可知kb＞0矛盾；D、由一次函数y=kx+b图象可知k＞0，b＞0；即kb＞0，与次函数y=kbx的图象可知kb＜0矛盾．故选：A．【点睛】本题主要考查了一次函数图象，注意：一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．二、填空题30 9.81的算术平方根是_____．【答案】9【解析】【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案．【详解】解：81的算术平方根是：．故答案为：9．【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，正确把握算术平方根的定义是解题关键．10.已知，则为________．【答案】【解析】【分析】根据算术平方根的非负性和绝对值的非负性求出，，然后代入求出的值即可．【详解】解：∵，∴，，解得：，，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性和绝对值的非负性，解题的关键是根据非负数的性质求出，．11.小明妈妈给了小明100元去买作业本，已知作业本的单价是1.5元，小明购买了本作业本，剩余费用为元，则与的函数关系式为_________．【答案】【解析】【分析】由题意可得作业本花费为元，进而依据剩余费用等于已有费用100元减去作业本花费元建立函数关系式即可．【详解】解：由题意可知：作业本花费：元，∴．30 故答案为：．【点睛】本题考查函数关系式的建立，读懂并理解题意并根据题意等量关系建立等量关系式是解题的关键．12.如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为_________．【答案】100．【解析】【分析】三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积A=36+64=100．【详解】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边平方=36，一条直角边的平方=64，则斜边的平方=36+64．故答案为：100．【点睛】本题考查了正方形的面积公式以及勾股定理．13.如图，直线与x轴、y轴交于点A、B，M、N分别是、的中点，点P是y轴上一个动点，当的值最小时，点P的坐标为________．【答案】【解析】【分析】先求出的坐标，根据中点，得到的坐标，求出点关于y轴的对称点的坐标，连接，根据两点之间线段最短，得到与轴的交点即为点，求出的解析式，即可．30 【详解】解：∵，当时，，当时，，∴，∵M、N分别是、的中点，∴，∴点关于y轴对称点为，连接，∵点P是y轴上一个动点，∴，∴当三点共线时，的值最小，设直线的解析式为，则：，∴，∴，当时，，∴；故答案为：．【点睛】本题考查一次函数，坐标与轴对称．解题的关键是掌握将军饮马模型，确定点的位置．三、解答题14.计算：30 （1）；（2）；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化简各式，再进行加减运算即可；（2）先根据二次根式的性质化简，进行除法和完全平方公式的计算，再进行加减运算．【小问1详解】解：原式；【小问2详解】原式．【点睛】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．15.解方程：（1）；（2）．【答案】（1）或4（2）【解析】【分析】（1）首先移项，然后利用平方根的定义即可求解；（2）首先移项，然后利用立方根的定义首先求出，然后即可求解．【小问1详解】解：∴，∴，30 解得：或4；【小问2详解】解：∴，∴，解得：．【点睛】此题主要考查了利用平方根、立方根的性质解方程，熟练掌握平方根、立方根的性质．16.4月23日是“世界读书日”，向阳中学对在校学生课外阅读情况进行了随机问卷调查，共发放100份调查问卷，并全部收回．根据调查问卷，将课外阅读情况整理后，制成表格如下：月阅读册数（本）12345被调查的学生数（人）205015105请你根据以上信息，解答下列问题：（1）被调查的学生月平均阅读册数为________本；（2）被调查的学生月阅读册数的中位数是________；（3）在平均数、中位数这两个统计量中，________更能反映被调查学生月阅读的一般水平；（4）若向阳中学共有学生2000人，用样本平均数估计四月份该校学生共阅读课外书籍多少本？【答案】（1）2.3（2）2（3）中位数（4）4600【解析】【分析】（1）根据平均数的概念求解；（2）根据中位数的概念求解；（3）在平均数、中位数这两个统计量中，中位数更能反映被调查学生月阅读的一般水平；（4）用人数×平均数即可求解【小问1详解】解：平均阅读册数为：=2.3（本）；【小问2详解】解：∵共有100名学生，30 ∴第50和51为同学的阅读量的平均数为中位数，即=2；【小问3详解】解：在平均数、中位数这两个统计量中，中位数更能反映被调查学生月阅读的一般水平；【小问4详解】解：23×2000=4600（本）．答：用样本平均数估计四月份该校学生共阅读课外书籍4600本．【点睛】本题考查了平均数、中位数等知识，掌握平均数、中位数的概念是解答本题的关键．17.解答：（1）已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，求的算术平方根．（2）已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意易得，，，进而求解a、b的值，进而代入求解，最后利用算术平方根进行求解即可；（2）由数轴可知：，，，然后根据绝对值的意义进行化简求解即可．【详解】解：（1）根据题意，可得，，故，，又∴，可得，则，所以的算术平方根为．（2）由数轴可知：，，，∴原式30 ．【点睛】本题主要考查平方根、立方根、算术平方根、绝对值的意义及整式的加减，熟练掌握平方根、立方根、算术平方根、绝对值的意义及整式的加减是解题的关键．18.在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．（1）求证：；（2）求原来的路线的长．【答案】（1）是，理由见解析（2）路线AC的长为8.45千米【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；（2）设AC＝x千米，则AD＝（x﹣2.5）千米．在直角△ACD中根据勾股定理解答即可．【小问1详解】证明：∵CB＝6.5千米，CD＝6千米，BD＝2.5千米，，∴，∴△CDB为直角三角形，∴CD⊥AB；【小问2详解】解：设AC＝x千米，则AD＝（x﹣2.5）千米．∵CD⊥AB，∠ADC＝90°，30 ∴，即，解得：x＝8.45．答：原来的路线AC的长为8.45千米．【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握定理是解题的关键．19.如图，已知四边形是正方形（四条边相等、四个角都是直角），E是正方形内一点，，以为斜边作直角三角形，又以为直角边作等腰直角三角形，且，连接．（1）求证：；（2）与存在怎样的位置关系？试说明理由；（3）若，，求点E到的距离．【答案】（1）见解析（2）平行，理由见解析（3）【解析】【分析】（1）正方形和等腰直角三角形的性质，推出，即可得证；（2）全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，推出，即可得出结论；（3）根据，，得到，，设，在中，利用勾股定理求出的值，过点作于点，等积法求出即可．【小问1详解】证明：∵四边形是正方形，∴，∴，∵为等腰直角三角形，且，30 ∴，∴，又，∴，∴；【小问2详解】，理由如下：∵以为斜边作直角三角形，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；【小问3详解】∵，，，∴，，设，在中，，∴，∴，过点作于点，30 则：，∴，∴，即：点E到的距离为．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的运算．解题的关键是证明．四、填空题20.如图所示，数轴上点A表示的数是-1，0是原点以AO为边作正方形AOBC，以A为圆心、AB线段长为半径画半圆交数轴于两点，则点表示的数是___________，点表示的数是___________．【答案】①..②..【解析】【分析】首先利用勾股定理计算出的长，再根据题意可得，然后根据数轴上个点的位置计算出表示的数即可.【详解】解：点表示的数是,是原点，，，以为圆心、长为半径画弧，，点表示的数是，30 点表示数是，故答案：；.【点睛】本题考查了数轴的性质，以及应用数形结合的方法来解决问题.21.一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）____．【答案】30cm．【解析】【分析】依题意，展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．【详解】由题意，得AC=3×16÷2=24．在Rt△ABC中，由勾股定理，得=30cm．故填：30cm．【点睛】本题考查圆柱体最短距离问题，重点在于图形的转化展开及两点之间的距离公式．22.如图在直线上一次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋2S2＋2S3＋S4=__．【答案】630 【解析】【分析】先根据正方形的性质得到∠ABD=90°，AB=DB，再根据等角的余角相等得到∠CAB=∠DBE，则可根据“AAS”判断△ABC≌△BDE，于是有AC=BE，然后利用勾股定理得到DE2+BE2=BD2，代换后有DE2+AC2=BD2，根据正方形的面积公式得到S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，所以S1+S2=1，利用同样方法可得到S2+S3=2，S3+S4=3，通过计算可得到S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．【详解】解：如图，∵图中的四边形为正方形，∴∠ABD=90°，AB=DB，∴∠ABC+∠DBE=90°，∵∠ABC+∠CAB=90°，∴∠CAB=∠DBE，∵在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴AC=BE，∵DE2+BE2=BD2，∴DE2+AC2=BD2，∵S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，∴S1+S2=1，同理可得S2+S3=2，S3+S4=3，∴S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．故答案为：6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了勾股定理和正方形的性质．23.满足的三个正整数，称为勾股数．若正整数a，n满足，这样的三个整数（如：3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”，当时，共有________30 组这样的“完美勾股数”．【答案】【解析】【分析】根据，得到，进而得到为奇数，再根据，得到，确定出之前的是奇数的完全平方数的个数，即可得解．【详解】解：∵，∴，∴为奇数，且为完全平方数，∵，∴，∴为以内的数，有：，共7个；∴共有组这样的“完美勾股数”；故答案为：．【点睛】本题考查勾股数，理解并掌握“完美勾股数”的定义，是解题的关键．24.如图，在矩形中，，M是边的中点，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接．在上存在一动点P．连接、，则周长的最小值是________．【答案】【解析】【分析】连接，翻折得到，得到，当三点共线时，有最小值为，再根据，得到当三点共线时，的值最小，利用勾股定理求出的长，即可得解．【详解】解：∵矩形中，，30 ∴，∴，∵为的中点，∴，连接，，∵翻折，∴，，∴，当三点共线时，有最小值为的长，即为，∵，∴当三点共线时，的值最小，即为，∴周长的最小值为；故答案为：．【点睛】本题考查矩形与折叠．熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，利用轴对称解决周长最小问题，是解题的关键．五、解答25.已知：，．（1）化简求值：求的值；（2）若x的整数部分是m，y的小数部分是n，求的值．【答案】（1）（2）1【解析】30 【分析】（1）先进行分母有理化，再将转化为，代值计算即可；（2）先进行无理数的估算，确定的值，再代入代数式进行求解即可．【小问1详解】解：∵，，∴，∴；【小问2详解】∵，∴，∴，即：，∴，，∴．【点睛】本题考查分母有理数，无理数的估算．熟练掌握分母有理化的方法，以及利用夹逼法进行无理数的估算，是解题的关键．26.定义：如图①，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．（1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3，求BN的长；（2）如图②，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M、N为边AB上两点，满足∠MCN=45°，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把△CBN绕点C逆时针旋转90°试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程；（3）在（2）的问题中，若∠ACM=15°，AM=1，CM=，求BM的长．（提示：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．）30 【答案】（1）或；（2）证明见解析；（3）．【解析】【分析】（1）①当为最大线段时，由勾股定理求出；②当为最大线段时，由勾股定理求出即可．（2）只要证明以及即可．（3）如图，过作于于．结合图中相关线段的和差关系和直角三角形的性质求得．由（2）得结论，．则．【详解】（1）解：①当为最大线段时，点、是线段的勾股分割点，；②当为最大线段时，点、是线段的勾股分割点，，综上所述：或；（2）①证明：连接，，，，，，在和中，30 ，，，，，，即，点、是线段的勾股分割点；（3）如图，过作于于．则，，设，则，．得，，．由（2）得结论，．．【点睛】本题考查几何变换综合题，解题的关键是需要掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，利用旋转法添加辅助线．27.长方形中，点E是中点，沿折叠后得到对应的，将延长交直线于点F．30 （1）如果点G在长方形的内部，如图①所示．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，，求的长度．（2）如果点G在长方形的外部，如图②所示，（），请用含k的代数式表示的值．【答案】（1）（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（2）【解析】【分析】（1）（Ⅰ）如图所示，连接，根据矩形的性质和已知条件，证明，即可得证；（Ⅱ）设，则可用含的代数式表示出，在中利用勾股定理求出的值，即可．（2）同（1）法证明，设，，用含的代数式表示出，勾股定理得到与的关系，再代入计算，即可．【小问1详解】解：（Ⅰ）证明：连接，∵点E是中点，∴，30 ∵四边形为长方形，∴，∵翻折，∴，∴，，在和，，∴，∴；（Ⅱ）∵，设，∴，∴，∵四边形为长方形，∴，∵翻折，∴，由（Ⅰ）知：，∴，在中，，即：，∴（负值已舍去）；∴；【小问2详解】连接，30 同（Ⅰ）法可得：，∴，设，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，证明三角形全等，是解题的关键．30