2024-2025学年九年级上册数学第一次月考试卷01【北师大版】

2024-2025学年九年级上册数学第一次月考试卷01【北师大版】一、选择题（每题3分，共30分）1.下列方程中是一元二次方程的是（）AB.C.D.2.关于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（）A.点（3，﹣1）在它的图象上B.它的图象在第二、四象限C.当x＞3时，﹣1＜y＜0D.当x＞0时，y随x的增大而减小3.已知四边形是平行四边形，对角线与交于点O，下列结论不正确的是（　　）A.当时，它是菱形B.当时，它是菱形C.当时，它是菱形D.当时，它是菱形4.下列说法正确的是（　　）A.任意两个位似三角形一定相似B.物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的C.如果，则D.点P是长为2的线段的黄金分割点，则5.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示．则这个反比例函数的解析式为（）A.B.C.D.6.如图，在一张长宽分别为和的长方形纸板上剪去四个边长为的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为，求x的值，根据题意，可列得的方程为（）30 A.B.C.D.7.如图，△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，连接DE，线段BE、CD相交于点O，若OD=2，则OC=（）．A.3B.4C.5D.68.大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（）A.B.6C.D.89.已知，一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能（　　）A.B.30 C.D.10.如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则（）A.B.C.1D.二、填空题（每题3分，共15分）11.如果，那么=___________．12.已知反比例函数，点P为该反比例函数图象上一点，过点向两坐标轴引垂线，得到四边形，若四边形面积为，则值为_____________．13.已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=___．14.如图，是等边三角形，点，在反比例函数的图象上轴于点．若，则的值为_______．30 15.如图，△ABC≌△DEF(点A、B分别与点D、E对应)，AB＝AC＝5，BC＝6，△ABC固定不动，△DEF运动，并满足点E在BC边从B向C移动(点E不与B、C重合)，DE始终经过点A，EF与AC边交于点M，当△AEM等腰三角形时，BE＝__________．三、解答题16.解下列方程：（1）；（2）．17.如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．（1）求的长．（2）求灯泡到地面的高度．18.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b(a≠0)的图象分别交x轴，y轴于A，B30 两点，与反比例函数y=(k≠0)的图象交于C，D两点，DE⊥x轴于点E，点C的坐标为(6，−1)，DE=3．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P在反比例函数图象上，且△POA的面积等于8，求P点的坐标．19.某超市销售的红豆进价为每千克8元．当红豆每千克售价为15元时，日销售量为300千克．该超市为扩大销售量、增加经营利润，计划采取降价的方式进行促销．经市场调查发现，当红豆每千克售价每下降0.5元时，日销售量就会增加5千克．（1）当销售量为320千克时，红豆售价为___________元；当红豆每千克售价是10元时，日销售量是多少千克？（2）该商场计划每日销售红豆获利1020元，则红豆售价应定每千克多少元？20.如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE＝BF．（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；（2）若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求EF长．21.【综合实践】如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，如图，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A．（1）若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为______．30 （2）为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的质量为，的长度为．则①y关于x的函数解析式是______．②完成下表：…1020304050……8a2b…③在直角坐标系中画出该函数的图象．（3）在（2）的条件下，将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图像组成一个新的函数图象，记为L．若点A的坐标为，在L上存在点Q，使得．请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．22.【证明体验】（1）如图1，为的角平分线，，点E在上，．求证：平分．30 【思考探究】（2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连结交于点G．若，，，求的长．【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E在上，．若，求的长．30 2024-2025学年九年级上册数学第一次月考试卷01【北师大版】一、选择题（每题3分，共30分）1.下列方程中是一元二次方程的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程”逐项判断即可．【详解】A.2x+1=0是一元一次方程，故不符合题意；B.，分母含有未知数，故不符合题意；C.为一元二次方程，符合题意；D.，分母含有未知数，故不符合题意；故选C．【点睛】此题主要考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟知一元二次方程的特点．2.关于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（）A.点（3，﹣1）在它的图象上B.它的图象在第二、四象限C.当x＞3时，﹣1＜y＜0D.当x＞0时，y随x的增大而减小【答案】D【解析】【分析】由题意利用反比例函数的性质可解．【详解】∵当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．∴反比例函数y=-的图象分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．故选D．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．3.已知四边形是平行四边形，对角线与交于点O，下列结论不正确的是（　　）A.当时，它是菱形B.当时，它是菱形C.当时，它是菱形D.当时，它是菱形30 【答案】D【解析】【分析】由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A、四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形，故选项A不符合题意；B、四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形，故选项B不符合题意；C、如图，四边形是平行四边形，，，，，，平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；D、四边形是平行四边形，，平行四边形是矩形，故选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、矩形的判定以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．4.下列说法正确的是（　　）A.任意两个位似三角形一定相似B.物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的C.如果，则D.点P是长为2的线段的黄金分割点，则30 【答案】A【解析】【分析】根据位似图形，平行投影，比例，黄金分割，逐项判断即可求解．【详解】解：A、任意两个位似三角形一定相似，符合题意；B、物体在太阳光线照射下影子的方向都是相同的，在灯光的照射下影子的方向与物体的位置有关，故本选项中的命题是假命题，不符合题意；C、如果，则，故本选项中的命题是假命题，不符合题意；D、点P是长为2的线段的黄金分割点，则或，不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了位似图形，平行投影，比例，黄金分割，熟练掌握相关知识点是解题的关键．5.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示．则这个反比例函数的解析式为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，电流与电阻是反比例函数关系，根据图中给出的坐标即可求出该反比例函数解析式．【详解】根据题意，电流与电阻是反比例函数关系，在该函数图像上有一点(6,8)，故设反比例函数解析式为I=，将(6,8)代入函数解析式中，解得k=48，故I=故选C．【点睛】本题主要考查反比例函数解析式的求解方法，掌握求解反比例函数解析式的方法是解答本题的关键．30 6.如图，在一张长宽分别为和的长方形纸板上剪去四个边长为的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为，求x的值，根据题意，可列得的方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先分别表示出底面长方形的长和宽，然后根据长方形面积公式列出方程即可．【详解】解：由题意得，底面长方形的长为，宽为，∵要使长方体盒子的底面积为，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意表示出底面长方形的长和宽是解题的关键．7.如图，△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，连接DE，线段BE、CD相交于点O，若OD=2，则OC=（）．A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意，知DE为△ABC的中位线，则DE∥BC，DE=BC，再证明△ODE∽△OCB，由相似三角形对应边成比例即可得出OC=2OD．30 试题解析：∵点D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=BC，∴∠ODE=∠OCB，∠OED=∠OBC，∴△ODE∽△OCB，∴OD：OC=DE：BC=1：2，∴OC=2OD=4．故选B．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理．8.大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（）A.B.6C.D.8【答案】C【解析】【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．【详解】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为，则：，解得：，即蜡烛火焰的高度为，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．9.已知，一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能（　　）30 A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据反比例函数图象确定b的符号，结合已知条件求得a的符号，由a,b的符号确定一次函数图象所经过的象限．【详解】解：若反比例函数经过第一、三象限，则．所以．则一次函数的图象应该经过第一、二、三象限；若反比例函数经过第二、四象限，则a<0．所以b>0．则一次函数的图象应该经过第二、三、四象限．故选项A正确；故选A．【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．10.如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则（）A.B.C.1D.30 【答案】A【解析】【分析】设，首先证明，再利用平行线分线段成比例定理求出，推出，，可得结论．【详解】解：设，四边形是正方形，，，在和中，，，，在和中，，，，，，，，，，，故选：A．30 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数，设正方形的边长为，求出，．二、填空题（每题3分，共15分）11.如果，那么=___________．【答案】【解析】【分析】根据，得到，代入分式求值即可．【详解】解：∵，∴，∴∴，故答案为：．【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质，是解题的关键．12.已知反比例函数，点P为该反比例函数图象上一点，过点向两坐标轴引垂线，得到四边形，若四边形面积为，则的值为_____________．【答案】【解析】【分析】因为过反比例函数上任意一点向两坐标轴引垂线，所得四边形面积是个定值，即再由函数图象所在的象限确定k的值即可.30 【详解】解：∵点P为反比例函数图象上一点，设，又∵过点向两坐标轴引垂线，得到四边形，若四边形面积为，∴，故答案为：.【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点向两坐标轴引垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义.13.已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=___．【答案】5【解析】【分析】作M关于BD对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、PB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．【详解】解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，∵M为BC中点，30 ∴Q为AB中点，∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，∴四边形BQNC是平行四边形，∴NQ=BC，∵四边形ABCD是菱形，∴CP=AC=3，BP=BD=4，在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，故答案为5【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题；菱形的性质，熟练掌握其性质是解决此问题的关键．14.如图，是等边三角形，点，在反比例函数的图象上轴于点．若，则的值为_______．【答案】【解析】30 【分析】设点，过点作于点，表示和的坐标，列方程可得的值，代入可得的值．【详解】解：如图，设点，过点作于点，则，，则．点，在同一个反比例函数的图象上，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，能够利用待定系数法求解析式是解题的必要方法，根据等边三角形的性质确定各点的坐标是解题的关键．15.如图，△ABC≌△DEF(点A、B分别与点D、E对应)，AB＝AC＝5，BC＝6，△ABC固定不动，△DEF运动，并满足点E在BC边从B向C移动(点E不与B、C重合)，DE始终经过点A，EF与AC边交于点M，当△AEM是等腰三角形时，BE＝__________．【答案】1或【解析】【分析】首先由∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分别从AE=EM与AM=EM30 去分析，利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案．【详解】∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠C，∴AE≠AM，当AE=EM时，∵∠B=∠C，∠BAE+∠BEA=∠CEM+∠BEA，∴∠BAE=∠CEM，则△ABE≌△ECM，∴CE=AB=5，∴BE=BC－EC=6－5=1；当AM=EM时,则∠MAE＝∠EMA，∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，∴∠CAB=∠CEA，又∵∠C＝∠C，∴，∴，∴BE=，综上所述BE=1或，故答案为：1或．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．三、解答题16.解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1）x1=2，x2=4（2）x1=2+，x2=2-30 【解析】【分析】（1）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．【小问1详解】（x-2）2-2x+4=0，（x-2）2-2（x-2）=0，（x-2）（x-2-2）=0，x-2=0或x-2-2=0，解得：x1=2，x2=4；【小问2详解】x2-4x-1=0，x2-4x=1，配方，得x2-4x+4=1+4，（x-2）2=5，开方得：x-2=±，解得：x1=2+，x2=2-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．17.如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．（1）求的长．（2）求灯泡到地面的高度．30 【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）直接利用相似三角形的判定与性质得出的长；（2）根据相似三角形的性质列方程进而求出的长．【小问1详解】解：由题意可得：，则，故，即，解得：，经检验，是上述分式方程的解，∴的长为；【小问2详解】∵，∴（），∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，∴，又∵，∴，∴，∴，解得：（），∴灯泡到地面的高度为．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．18.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b(a≠0)的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，与反比例函数y=(k≠0)的图象交于C，D两点，DE⊥x轴于点E，点C的坐标为(6，−1)，DE=3．30 （1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P在反比例函数图象上，且△POA面积等于8，求P点的坐标．【答案】（1）反比例函数的关系式为y=-；一次函数的关系式为y=-x+2；（2）点P的坐标是（-，4）或（，-4）．【解析】【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数表达式，进而求出点D的坐标，再利用待定系数法求出一次函数表达式即可求解；（2）设点P的坐标是（m，n），根据三角形面积公式求得即可．【小问1详解】解：∵点C（6，-1）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，∴k=6×（-1）=-6，∴反比例函数的关系式为y=-，∵点D反比例函数y=-上，且DE=3，∴y=3，代入求得：x=-2，∴点D的坐标为（-2，3）．∵C、D两点在直线y=ax+b上，则，解得，∴一次函数关系式为y=-x+2；【小问2详解】解：设点P的坐标是（m，n）．把y=0代入y=-x+2，解得x=4，即A（4，0），则OA=4，30 ∵△POA的面积等于8，∴×OA×|n|=8，解得：|n|=4，∴n1=4，n2=-4，∴点P的坐标是（-，4）或（，-4）．【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．19.某超市销售的红豆进价为每千克8元．当红豆每千克售价为15元时，日销售量为300千克．该超市为扩大销售量、增加经营利润，计划采取降价的方式进行促销．经市场调查发现，当红豆每千克售价每下降0.5元时，日销售量就会增加5千克．（1）当销售量为320千克时，红豆售价为___________元；当红豆每千克售价是10元时，日销售量是多少千克？（2）该商场计划每日销售红豆获利1020元，则红豆售价应定为每千克多少元？【答案】（1）13，350（2）11元【解析】【分析】（1）因为每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，可求出当每吨售价是240元时，此时的月销售量是多少吨．（2）红豆售价应定为每千克x元，则每千克的销售利润为元，日销售量为千克，根据题意列出方程求解即可．【小问1详解】解：根据题意得：当销售量为320千克时，红豆售价为元；（千克）．答：当销售量为320千克时，红豆售价为13元；当红豆每千克售价是10元时，日销售量是350千克；【小问2详解】解：设红豆售价应定为每千克x元，则每千克的销售利润为元，日销售量为千克，根据题意得：，30 整理得：，解得：（不符合题意，舍去）．答：则红豆售价应定为每千克11元．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，关键是找出红豆每千克售价每下降0.5元时，日销售量就会增加5千克的关系，从而列方程求解．20.如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE＝BF．（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；（2）若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）EF＝5【解析】【分析】（1）先根据矩形性质证得AD=BC，∠D=∠BCD=∠BCF=90°,再根据全等三角形的判定与性质证明Rt△ADE≌Rt△BCF得到∠DEA=∠F，则有AE∥BF，然后根据平行四边形的判定可证得结论；（2）先证得∠AEB=90°，根据勾股定理求得AB=5，根据平行四边形的性质得到EF=AB即可求解．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠D=∠BCD=90°．∴∠BCF=180°﹣∠BCD=180°﹣90°=90°．∴∠D=∠BCF．在Rt△ADE和Rt△BCF中，∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），∴∠DEA=∠F．∴AE∥BF．∵AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形．（2）解：如图，∵∠D=90°，∴∠DAE+∠1=90°．∵∠BEF=∠DAE，∴∠BEF+∠1=90°．∵∠BEF+∠1+∠AEB=180°，∴∠AEB=90°．30 在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，AB=．∵四边形ABFE是平行四边形，∴EF=AB=5．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的性质、直角三角形的两锐角互余、勾股定理，熟练掌握矩形的性质，平行四边形的判定方法以及勾股定理是解答本题的关键．21.【综合实践】如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，如图，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A．（1）若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为______．（2）为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的质量为，的长度为．则①y关于x的函数解析式是______．②完成下表：…1020304050……8a2b…③在直角坐标系中画出该函数的图象．30 （3）在（2）的条件下，将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图像组成一个新的函数图象，记为L．若点A的坐标为，在L上存在点Q，使得．请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．【答案】（1）（2）①；②见解析；③见解析（3）或【解析】【分析】（1）根据公式进行计算即可；（2）①根据公式即可得到；②根据（2）①所求求出a、b的值即可；③先描点，再连线，画出函数图象即可；（3）先根据面积求出点Q的纵坐标，再根据反比例函数性质和平移的性质求出点Q的坐标即可．【小问1详解】解：∵，∴∴重物B所受拉力为，故答案为：；【小问2详解】解：①∵，30 ∴，即，故答案为：；②由（2）①得，填表如下：…1020304050……842…③函数图象如下所示：【小问3详解】解：∵点A的坐标为，∴，∵，∴，∴，在中，当时，∴在函数上满足题意的Q的坐标为，∵将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图像组成一个新的函数图象，记为L，∴点，即也在L上，即满足题意的Q的坐标为；30 综上所述，点Q的坐标为或．【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际运用，正确理解题意是解题的关键．22.【证明体验】（1）如图1，为的角平分线，，点E在上，．求证：平分．【思考探究】（2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连结交于点G．若，，，求的长．【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E在上，．若，求的长．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】分析】（1）根据SAS证明，进而即可得到结论；（2）先证明，得，进而即可求解；（3）在上取一点F，使得，连结，可得，从而得，可得，，最后证明，即可求解．【详解】解：（1）∵平分，∴，∵，∴，∴，30 ∴，∴，即平分；（2）∵，∴，∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴；（3）如图，在上取一点F，使得，连结．∵平分，∴∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴．30 ∵，又∵，∴∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形和相似三角形，是解题的关键．30