2025年高考一轮复习第一次月考卷02（测试范围：集合 不等式 函数）（解析版）

2025年高考一轮复习第一次月考卷02（测试范围：集合+不等式+函数）（满分150分，考试用时120分钟）一､选择题24-x1．已知全集U=R，集合A={|xx--£x60}，B={|x³0}，那么集合AÇB=（）x+1A．-2,4B．-1,3C．--2,1D．-1,3【答案】B【分析】解不等式求出集合AB,，根据交集的定义即可.2【解析】由题意可知，A={|xx--£x60}{|2=x-£x£3}，4-xB={|x³0}{|1=x-<x£4}，x+1所以AIB={|1x-<x£3}.故选：B.12．已知函数fx=-aaÎR为奇函数，则实数a的值为（）x2-111A．B．-C．1D．-122【答案】Bx21【分析】利用奇函数的定义可得a-=-a，计算可求a的值.xx12-2-1x121【解析】f-x=-a=-a=-fx=-a，-xxx2-112-2-1x121得2a=+=-1，所以a=-.xx2-112-2故选：B.ab333．已知ab,ÎR，则“3<3”是“a<b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由函数y=3,xy=x3在R上是单调递增函数，则ab333<3Ûa<bÛa<b，可得答案 【解析】由函数y=3,xy=x3在R上是单调递增函数，则ab333<3Ûa<bÛa<b，ab33所以“3<3”是“a<b”的的充要条件，故选：C【点睛】本题考查函数的单调性的应用和充要条件的判断，属于基础题，4．若ex-2=e2y，则x-y的最小值为（）15ln2A．B．2C．1D．24【答案】Dx2yy【分析】将e和e两边放，然后两边同时除以e，凑出x-y，再用基本不等式即可.1x2yy【解析】因为e-2=e，ex=e2y+22，两边同时除以e，得到11x2y225e=exy-=e+2=ey+2³2ey´2=24，yyyyeeee1221n23ln2当且仅当ey=即y=,x=取“=”.y42e51n23ln2则exy-³24，当且仅当y=,x=取“=”.4255ln21n23ln2两边取自然对数，则x-y³ln24=，当且仅当y=,x=取“=”.4425ln2故x-y的最小值为.4故选：D.æSö5．5G技术的数学原理之一是著名的香农公式：C=Wlog2ç1+÷它表示：在受高斯白噪声干拢的信道中，èNø最大信息传递速率C取决于信道带宽W﹒信道内所传信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大SS小．其中叫做信噪比，按照香农公式，在不改变W的情况下，将信噪比卡从1999提升至l，使得CNN大约增加了20%，则入的值约为（）(参考数据lg2≈0.3，103.96≈9120)A．9121B．9119C．9919D．10999【答案】B【分析】根据题意先建立数学模型，然后利用对数求值进行计算.【解析】解：由题意得：Wlog(1+l)-Wlog(11999)+22»20%Wlog(11999)+2 log(1+l)2»1.2，1.21+l»2000log200021.2又Qlg2000=1.2lg20001.2(lg23)1.2(0.33)=+»´+=3.961.23.96故2000»10»9120»l9119故选：Bì(a-1)x+3a-4,(x£0)f(x)-f(x)216．已知a>0且a¹1，函数fx()=íx满足对任意实数x1¹x2，都有>0成îa,(x>0)x2-x1立，则a的取值范围是（）æ5ùé5öA．0,1B．1,+¥C．ç1,úD．ê,2÷è3ûë3ø【答案】Cìa->10f(x2)-f(x1)ï【解析】由>0可得函数fx()在R上为增函数，所以ía>1，从而可求出a的取值范围x-x21ï0îa³3a-4f(x)-f(x)21【解析】解：因为fx()对任意实数x1¹x2，都有>0成立，x-x21所以fx()在R上为增函数，ìa->10ï5所以ía>1，解得1<a£，ï03îa³3a-4æ5ù所以a的取值范围为ç1,ú，è3û故选：C11|3a+4b-1|7．已知正实数a，b满足+=25，则的最小值为（）2222aba+b725-124A．B．3C．D．253【答案】C3a+4b-1341113a+4b-11【分析】由题设条件有=+-|，令x=>0,y=>0则有=4x+3y-xy、a2+b25b5a5ababa2+b2522x+y=25，应用基本不等式求xy范围且t=4x+3y-xy³43xy-xy恒成立，进而求t的范围，即可得结果. 2211a+b2222【解析】由+==25，则a+b=25ab，且a,b>0，2222abab3a+4b-13a+4b-1341所以==+-，a2+b25ab5b5a5ab113a+4b-11=4x+3y-xy22令x=>0,y=>0，则，且x+y=25，aba2+b2525522x=y=时等号成立，所以x+y=25³2xy，即xy£，仅当22对于t=4x+3y-xy³43xy-xy恒成立，仅当4x=3y，即x=3,y=4时等号成立，5综上，若k=xyÎ(0,]，则y=43k-k2=-(k-23)2+12，25而230->-23>0，则yÎ(0,12]，只需t³ymax，2所以t³12，仅当k=23，即x=3,y=4时等号成立，3a+4b-11t1211综上，=t=³，仅当t=12，即a=,b=时等号成立.a2+b25553412所以目标式最小值为.5故选：C8．已知定义在R上的奇函数y=fx()，对于"ÎxR都有f(1+x)=f(1-x)，当-£1x<0时，fx()=log(-x)，则函数gx()=fx()2-在(0,8)内所有的零点之和为（）2A．16B．12C．10D．8【答案】B【分析】根据函数奇偶性以及对称性，推出函数的周期，再结合-£1x<0时，fx()=log(2-x)，即可作出函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可求得答案.【解析】由题意定义在R上的奇函数y=fx()，对于"ÎxR，都有f(1+x)=f(1-x)，fx()图象关于直线x=1对称；且f(1+x)=f(1-x)=-fx(-1)，即f(2+x)=-fx()，故f(4+x)=-f(2+x)=fx()，即函数fx()是以4为周期的周期函数，当0<x£1，则-£-<1x0，则f-x=log2x=-fx， 故fx=-log2x,0<x£1，当1£x<2，则-£1x-<20，因为f(2+x)=-fx(),fx()=-fx(-2)，则fx=-fx-2=-log22-x,1£x<2；当2<x£3时，则0<-<x21,fx=-fx-2=log2x-2，由此可作出函数fx()在(0,8)内的图象，如图示：由gx()=fx()2-=0可得fx()=2，由图象可知fx()的图象与y=2在(0,8)内仅有4个交点，不妨设这4个交点的横坐标从左向右依次为xxxx1,2,3,4，由于x=1为图象对称轴，且函数周期为4，故x=5也为函数图象的对称轴，故由图象可知xx1,2关于x=1对称，xx3,4关于x=5对称，故x1+x2=2,x3+x4=10，则x1+x2+x3+x4=12，即函数gx()=fx()2-在(0,8)内所有的零点之和为12，故选：B【点睛】方法点睛：解决此类函数性质综合应用的题目，要能根据函数的性质，比如奇偶性、对称性，进而推出函数的周期，进而结合给定区间上的解析式，作出函数大致图像，数形结合，解决问题.二、多选题9．已知a，b，cÎR，则下列结论中正确的有（）22A．若ac>bc，则a>bB．若a<<b0，则2a>ababC．若c>a>>b0，则<ca-cb- 11D．若a>b>0，则a->-bab【答案】ABD【分析】根据不等性质分别判断各选项.222【解析】对于A：因为ac>bc，所以c>0，所以a>b，故A正确；2对于B：因为a<<b0，所以->->ab0，两边同乘以-a得-a>-a-b，即a2>ab，故B正确；11对于C：因为c>a>>b0，所以0<-<-cacb，所以>>0，ca-cb-ab又a>b>0，两式相乘得>，故C错误；c-acb-æ1öæ1öæ11ö1111对于D：ça-÷ç-b-÷=ab-+ç-÷，因为a>b>0，所以>，->0，所以èaøèbøèbaøbabaæ11ö11ab-+ç-÷>0，即a->-b，故D正确；èbaøab故选：ABD.210．已知关于x的一元二次不等式ax+bxc+³0的解集为xx£-3或x³2，则下列说法正确的是（）A．b>0且c<0B．4a+2bc+=0C．不等式bx+>c0的解集为xx<6ì11üD．不等式cx2-bxa+<0的解集为íx-<x<ýî23þ【答案】AB2【分析】A选项，转化为-3,2为一元二次方程ax+bxc+=0的两个根，且a>0，由韦达定理得到答案；B2选项，根据2为一元二次方程ax+bxc+=0的根，得到B正确；C选项，在A基础上不等式变形为2ax-6a>0，解出解集；D选项，不等式变形为6x+->x10，求出解集.2【解析】A选项，由题意得-3,2为一元二次方程ax+bxc+=0的两个根，且a>0，bc故-+=-32,32-´=，即b=a>0,c=-6a<0，A正确；aa2B选项，2为一元二次方程ax+bxc+=0的根，故4a+2bc+=0，B正确；C选项，由A选项可知，bxc+>Þ0ax-6a>0，解得x>6，C错误；22D选项，cx-bxa+<Þ-06ax-axa+<0，112x>或x<-，D错误.又a>0，故6x+->x10，解得32 故选：AB2211．定义区间ab,的长度为b-a，记函数fx=lgéax-1+axù（其中a>0）的定义域I的长度为La，ëû则下列说法正确的有（）aA．La=21+a1B．La的最大值为2C．La在0,+¥上单调递增1-kD．给定常数kÎ0,1，当aÎ-1k,1+k时，La的最小值为2k-2k+2【答案】ABD【分析】求函数fx的定义域，得La判断选项A；利用单调性定义证明单调性判断选项C，由单调性求判断函数的最值判断BD选项．22aæaöa【解析】由ax-1+ax>0，得0<x<2，I=ç0,2÷，La=2，A选项正确；1+aè1+aø1+aa1a2a1-a21-aa12设0<a1<a2£1，则La1-La2=2-2=22，1+a11+a21+a11+a2Q0<a<a£1，a-a<0，1-aa>0，La<La，La在0,1上是增函数，12121212同理可证，La在1,+¥上是减函数，所以La在0,1上是增函数，在1,+¥上是减函数，C选项错误；1L1=为最大值，B选项正确；2QkÎ0,1，<-<01k1，1+>k1，La在1-k,1上是增函数，在1,1+k上是减函数，La的最小值为L1-k和L1+k中较小者，-2kéë1-1-k1+kùû-2k3L1-k-L1+k=22=22<0．é1+1-kùé1+1+kùé1+1-kùé1+1+kùëûëûëûëû1-kLa的最小值为L1-k=，D选项正确．2k-2k+2故选：ABD． 三、填空题2112．已知正实数ab､满足ab+=2，则+的最小值是.ab3【答案】+221【分析】由题意可得(ab+)1=，根据基本不等式中“1”的用法计算即可求解.21【解析】由题意知，a>0,b>0，(ab+)1=，22112112ba12ba3所以+=(+)(ab+)=(3++)³(32+×)=+2，ab2ab2ab2ab22ba当且仅当=即a=-422,b=22-2时等号成立，ab213所以+的最小值为+2.ab23故答案为：+2213．已知函数fx=log22-x的值域为-¥,1，则函数f2x的定义域为【答案】[0,1)【分析】首先求出函数fx()的定义域，再利用抽象函数的定义域的求法求解【解析】由fx=log22-x值域为-¥,1，得log22-x£1，所以0<-£2x2，解得0£x<2即fx的定义域为0,2，由0£2x<2得0£x<1，故f2x的定义域为[0,1).故答案为：[0,1)214．已知函数fx=x-2tx在-¥,1上单调递减，且对任意的xx1,2Î[0,t+1]，总有fx1-fx2£2，则实数t的取值范围是．【答案】é1,2ùëû【分析】先根据单调性求出t的范围，结合二次函数区间最值可得答案.2【解析】由于函数fx=x-2tx图象的对称轴为直线x=t，2函数fx=x-2tx在(-¥，1]上单调递减，所以t³1. 在区间[0,t+1]上，0距对称轴x=t最远，故要使对任意的xx1,2Î[0,t+1]，都有|fx1-fx2|2£，22只要fx-fx=f0-ft£2即可，即0-(t-2t)£2，maxmin解得-2££t2.又t³1，所以1££t2.故答案为：é1,2ùëû四、解答题15．计算：101æ3ö-23æ1ö2(1)ç2÷+2×-(0.064)-ç2÷è8øè4ø2(2)log2log2log3log33+94+8+log33+lnelg100-.-12-2(3)已知a+a=4，求a-a的值.3【答案】(1)-；5(2)0；(3)±83【分析】（1）利用指数幂的运算化简求值；（2）利用对数式的运算规则化简求值；（3）由-12-2(aa--12)=a2+a-2-2，求出a-a-1，再由a+a=4，两边同时平方，求出a+a，由2-2-1-1a-a=aa+aa-求值即可.101æ3ö-23æ1ö21233.【解析】（1）ç2÷+2×-(0.064)-ç2÷=-´1-=-è8øè4ø45252log2log2log3log33+94+8+log33+lne-lg100（2）æ1öæ11ö11=çlog2+log2÷çlog3+log3÷++-23322è2øè23ø42355=´log2log3×-=0.32264 -1-122-22-2（3）Qa+a=4,(a+a)=16，即a+a+2=16,a+a=14，-122-2-1(aa-)=a+a-=212，-aa=±23，2-2-1-1.a-a=(aa+)(aa-)=±83.2xæ1ö16．已知指数函数fx=b+4b-4ab(>0)的图象过点ç,2÷．è2ø(1)求ab,的值；(2)求关于x的不等式log32a-x>logax-1的解集．【答案】(1)a=2，b=1æ4ö(2)ç1,÷è3ø【分析】（1）由指数函数的概念列式求解，（2）由对数函数的单调性转化后求解．2【解析】（1）由题知指数函数fx，则b+4b-4=1，得b=1或b=5-，又Qb>=0,b1，1æ1öæö1图象经过ç,2÷，则fç÷=a2=2，解得a=2；è2øèø2（2）Qa=2，以2为底的对数函数在其定义域内是单调递增的，ì3x<,ì32-x>0,ï2ïï∴满足条件íx->10,Þíx>1,，ïïî32-x>-x1,4ïx<,î3æ4ö∴不等式的解集为ç1,÷．è3øxx17．已知函数fx=4-×a2-+a5aÎR.(1)若a=2，求fx在区间-1,1上的最大值和最小值；(2)若fx³0在-¥,+¥上恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)fx=2，fx=3minmax(2)-¥,26-2ùû 【分析】（1）利用换元法及二次函数的性质计算可得；x6x6（2）参变分离可得a£2++1-2在R上恒成立，利用基本不等式求出2++1的最小值，即可求xx2+12+1出参数的取值范围.2【解析】（1）若a=2，fx=4x-´22x+=32x-´22x+3，xÎ-1,1，é1ùxuÎ,2令u=2，因为xÎ-1,1，所以êú，ë2û22é1ù令gu=u-2u+=3u-1+2，uÎê,2ú，ë2ûæ1ö则gu在ç,1÷上单调递减，在1,2上单调递增，è2øæö19又g1=2，g2=3，gç÷=，èø24所以gu=2，gu=3，minmax所以fx=f0=2，fx=f1=3；minmax（2）因为fx³0在-¥,+¥上恒成立，24x+52x+1-22x+1+66即a£==2x++1-2在R上恒成立，xxx2+12+12+1x6x6又2++1-³222+1×-=226-2，xx2+12+1x6当且仅当2+=1x，即x=log261-时等号成立，2+1所以a£26-2，即a的取值范围是-¥,26-2ù.û218．设函数fx()=ax+(1-axa)+-2(aÎR)(1)若不等式fx()³-2对一切实数x恒成立，求a的取值范围；(2)解关于x的不等式：fx()<a-1．1【答案】(1)[,+¥)3(2)答案见解析 【分析】（1）对a是否为零进行讨论，再结合二次函数的性质即可求解.2（2）不等式化简为ax+-(1ax)-<10，根据一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解.2【解析】（1）fx()³-2对一切实数x恒成立，等价于"ÎxR,ax+(1-axa)+³0恒成立.当a=0时，不等式可化为x³0，不满足题意.ìa>0ìa>01当a¹0，有í，即í2，解得a³îΔ£0î3a+2a-³1031所以a的取值范围是[,+¥)．32（2）依题意，fx()<a-1等价于ax+-(1ax)-<10，当a=0时，不等式可化为x<1，所以不等式的解集为{|xx<1}.11当a>0时，不等式化为(ax+1)(x-1)<0，此时-<1，所以不等式的解集为{|x-<<x1}.aa当a<0时，不等式化为(ax+1)(x-1)<0，1①当a=-1时，-=1，不等式的解集为{|xx¹1}；a11②当-<1a<0时，->1，不等式的解集为{|xx>-或x<1}；aa11③当a<-1时，-<1，不等式的解集为{|xx>1或x<-}；aa1综上，当a<-1时，原不等式的解集为{|xx>1或x<-}；a当a=-1时，原不等式的解集为{|xx¹1}；1当-<1a<0时，原不等式的解集为{|xx>-或x<1}；a当a=0时，原不等式的解集为{|xx<1}；1当a>0时，原不等式的解集为{|x-<<x1}.a19．设有两个集合AB,，如果对任意aÎA，存在唯一的bÎB，满足fa=b，那么称f是一个AB的函数.设fa是AB的函数，gb是BC的函数，那么gfa是AC的函数，称为g和f的复合，记为gfo.如果两个AB的函数fg,对任意aÎA，都有fa=ga，则称f=g.2x(1)对fx=e，分别求一个gxhx,，使得gfox=x=fhxo对全体x³1恒成立；(2)设集合ABC,,和AC的函数a以及BC的函数b. （i）对E=ab,∣aÎAb,ÎB,aa=bb，构造EA的函数p以及EB的函数q，满足aop=boq；（ii）对E=ab,∣aÎAb,ÎB,aa=bb，构造EA的函数p以及EB的函数q，满足aop=boq，并且说明如果存在其它的集合E¢满足存在E¢A的函数p¢以及E¢B的函数q¢，满足aop¢=boq¢，则存在唯一的E¢E的函数y满足poy=pq¢,oy=q¢.【答案】(1)gx=lnx，hx=lnx(2)（i）pab,=a，qab,=b；（ii）pab,=a，qab,=b，说明见解析【分析】（1）利用对数函数性质结合题干条件求解；（2）（i）利用常函数求解；（ii）结合（i）再证明唯一性即可.2x22lnxlnx【解析】（1）因为gfox=lne=x=x，而fhxo=e=e=x，gfox=x=fhxo对全体x³1恒成立；故gx=ln,xhx=lnx对所有x³1成立.（2）（i）考虑pab,=a以及qab,=b两个函数，对任意ab,ÎE，因为aa=bb，所以aop=apab,=aa=bb=bqab,=boq.（ii）我们可以继续使用（i）的构造，任意取e¢ÎE¢，因为aop¢=boq¢，所以ape¢¢=bqe¢¢，所以pe¢¢ÎAqe,¢¢ÎB，则pe¢¢,qe¢¢ÎE，因此存在ye¢=pe¢¢,qe¢¢满足条件；如果y¢符合题意，即poy=pq¢,oy=q¢，则py¢¢e=pe¢¢,qy¢¢e=qe¢¢，由pq,定义得到y¢e¢=peqe¢,¢；所以存在唯一的E¢E的函数y满足题意.【点睛】关键点点睛：充分利用题目定义的新函数证明唯一性是关键.