第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（测试）（解析版）

第一章集合与常用逻辑用语、不等式时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2023·全国·校联考模拟预测）已知集合，，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】要使函数有意义，则有，解得或，所以或，由，得，所以．故选：D.2．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知集合，，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得，即，由，得或，即，所以.故选：B.3．（2023·湖北·统考二模）已知集合，，且全集，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得集合表示的区间为，集合表示的区间为， 则，，，,故选：.4．（2023·青海西宁·统考一模）已知命题，，则p的否定为（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】由存在量词命题的否定为全称量词命题，得p的否定为.故选：A.5．（2023·江西·校联考二模）“”的一个充分条件可以是（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，即，所以对选项A，当，时，，但不满足，故A不正确，选项B，由，则，则或，故B项不正确，选项C，，则或，故C不正确，选项D，由知，所以，成立，故D正确，故选：D.6．（2023·全国·高三专题练习）某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有多少人？（    ）A．120B．144C．177D．192 【答案】A【解析】如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合表示，则不妨设总人数为，韦恩图中三块区域的人数分别为即由容斥原理：解得：故选：A7．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故选：A.8．（2023·宁夏中卫·统考二模）已知点在直线上，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）A．B． C．D．【答案】A【解析】因为点在直线上，所以，故，当且仅当且，即时等号成立，因为关于的不等式恒成立，所以，解得，所以.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知：，恒成立；：，恒成立.则（    ）A．“”是的充分不必要条件B．“”是的必要不充分条件C．“”是的充分不必要条件D．“”是的必要不充分条件【答案】BC【解析】已知：，恒成立，则方程无实根，所以恒成立，即，故“”是的必要不充分条件，故A错误，B正确；又：，恒成立，所以在时恒成立，又函数的最大值为，所以，故“”是的充分不必要条件，故C正确，D错误.故选：BC.10．（2023·全国·高三专题练习）图中阴影部分用集合符号可以表示为（       ）A．B． C．D．【答案】AD【解析】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为，所以选项AD正确，选项CD不正确，故选：AD.11．（2023·全国·高三专题练习）已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（    ）A．B．C．若不等式的解集为，则D．若不等式的解集为，且，则【答案】ABD【解析】由于集合有且仅有两个子集，所以，由于，所以.A，，当时等号成立，故A正确.B，，当且仅当时等号成立，故B正确.C，不等式的解集为，，故C错误.D，不等式的解集为，即不等式的解集为，且，则，则，，故D正确，故选：ABD12．（2023·重庆九龙坡·统考二模）若a，b，c都是正数，且则（    ）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】设， 则，，，，，，所以，，因为，所以，则等号不成立，所以，则，因为，所以，故选：BCD第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（2023·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）已知集合，集合.如果，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】由解得，所以，所以，由于，所以.故答案为：.14．（2023·山西运城·统考三模）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为___________.（用区间表示）【答案】【解析】因为，即函数的值域为，所以实数的取值范围为.故答案为：15．（2023·湖南长沙·高三校联考期中）若一个非空数集满足：对任意，有，， ，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中：（1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则；（3）集合为数域；（4）有理数集为数域；真命题的个数为________【答案】3【解析】（1）当时，属于数域，故（1）正确，（2）若数域有非零元素，则，从而，故（2）正确；（3）由集合的表示可知得是3的倍数，当时，，故（3）错误，（4）若是有理数集，则当，，则，，，且当时，”都成立，故（4）正确，故真命题的个数是3.故答案为：316．（2023·全国·高三专题练习）设且，，则的范围为______________.【答案】【解析】由且，得，，且①，又因为，可得②，由①②可知：，是方程的两个不等的实根，于是，解得：，且，则，则，所以的范围为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）（2023·河南许昌·高三校考期末）已知集合，． (1)求A；(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求m的取值范围．【解析】（1）由，可得，所以，所以集合.（2）若“”是“”的充分不必要条件，则集合是集合的真子集，由集合不是空集，故集合也不是空集，所以，当时，满足题意，当时，满足题意，故，即m的取值范围为.18．（12分）（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）命题：任意，成立；命题：存在，+成立.(1)若命题为假命题，求实数的取值范围；(2)若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.【解析】（1）由q真：，得或，所以q假：；（2）p真：推出，由和有且只有一个为真命题，真假，或假真，或，或或.19．（12分）（2023·高一单元测试）已知集合. (1)若集合，且，求的值；(2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围.【解析】（1）因为，且，所以或，解得或，故.（2）因为A与C有包含关系，，至多只有两个元素，所以.当时，，满足题意；当时，当时，，解得，满足题意；当时，且，此时无解；当时，且，此时无解；当时，且，此时无解；综上，a的取值范围为.20．（12分）（2023·上海·高三专题练习）某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量（微克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．(1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？(2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？【解析】（1）设服用1粒药，经过小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克，可得，            解得，                                       所以小时后该药能起到有效抗病毒的效果．（2）设经过小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克；若，药物浓度，                        解得，                                       若，药物浓度，         化简得，所以；                若，药物浓度，                解得，所以；                          综上，                                      所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为小时．21．（12分）（2023·江西吉安·统考一模）已均为正数，且，证明：(1)；(2)．【解析】（1）证明：由柯西不等式可得，当且仅当时取等号．即，则原式成立；（2）证明：．当且仅当时取等号. 22．（12分）（2023·全国·高三专题练习）已知函数，当时，设的最大值为，求的最小值．【解析】令，分别取，1，2，可得，，．由，利用绝对值三角不等式可得，因此当，时，，当且仅当时取等号，而，得在上的最大值为，说明等号能成立．故的最小值为．