2025年高考一轮复习第一次月考卷01（测试范围：集合 不等式 函数）（解析版）

2025年高考一轮复习第一次月考卷01（测试范围：集合+不等式+函数）（满分150分，考试用时120分钟）一、选择题1．已知集合A=xx>a，B=x1<x£2，且AUðRB=R，则实数a的取值范围是（）A．aa£1B．aa<1C．aa³2D．aa>2【答案】A【分析】根据补集运算求出ðRB，然后利用数轴分析可得.【解析】因为B=x1<x£2，所以ðRB=xx|£1或x>2，又AÈðRB=R，所以a£1.故选：A2．已知ab,ÎR，则“33a>b”是“a>b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.3【解析】因为函数y=x在定义域R上单调递增，33所以由a>b推得出a>b，故充分性成立；33由a>b推得出a>b，故必要性成立，33所以“a>b”是“a>b”的充要条件.故选：C3．下列不等式恒成立的是（）1A．x+³2B．ab+³2abx 222æab+öa+b22C．ç÷³D．a+b³2abè2ø2【答案】D【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案.【解析】解：对于A选项，当x<0时，不等式显然不成立，故错误；对于B选项，ab+³2ab成立的条件为a³0,b³0，故错误；对于C选项，当a=-¹b0时，不等式显然不成立，故错误；22222对于D选项，由于a+b-2ab=ab-³0，故a+b³2ab，正确.故选：D24．已知函数fx=2x-mx+1在区间-+¥1,上单调递增，则f1的取值范围是（）．A．7,+¥B．7,+¥C．-¥,7D．-¥,7【答案】A【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得解得m£-4，再由f1=-3m，进而求得f1的取值范围.2m【解析】由函数fx=2x-mx+1的对称轴是x=，4m因为函数在区间-+¥1,上是增函数，所以£-1，解得m£-4，4又因为f1=-3m，因此3-m³7，所以f1的取值范围是7,+¥.故选：A．-0.30.3æö15．已知a=3，b=log34，c=ç÷，则a，b，c的大小关系为（）èø2A．bac<<B．b<c<aC．c<a<bD．a<<cb【答案】B【分析】由幂函数和对数函数的单调性即可得出答案.【解析】因为0=log14<=blog3log414<4=，-0.3æö10.30.3c=ç÷=2>1，a=3>1，èø2 0.3因为y=x在0,+¥上单调递增，0.30.3所以2<3，所以b<c<a.故选：B.6．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到2079mg～的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（）（结果取整数，参考数据：lg3»0.48,lg7»0.85）A．1B．2C．3D．4【答案】Dx【分析】设经过x个小时才能驾驶，则0.6100´´130%-<20，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.xx1【解析】设经过x个小时才能驾驶，则0.6100´´130%-<20即0.7<.31lg由于y=0.7x在定义域上单调递减，13lg1lg3--0.480.48.x>log=====3.20.73lg0.7lg71-0.851-0.15他至少经过4小时才能驾驶.故选：D.247．已知a>0，bÎR，若x>0时，关于x的不等式ax-2x+bx-4³0恒成立，则b+的最小值为a（）A．2B．25C．4D．32【答案】C220<£x时，2x³时，2【分析】注意到原题条件等价于当x+bx-£40恒成立，当x+bx-³40恒成立，aa222故当x=时，y=x+bx-=40，从而得b=2a-，由此结合基本不等式即可求解.aa2【解析】设y=ax-2(x>0)，y=x+bx-4(x>0)，2因为a>0，所以当0<x<时，y=ax-<20；a2当x=时，y=ax-=20；a2当x>时，y=ax->20；a ìax-£20ìax-³202由不等式ax-2x+bx-4³0恒成立，得í2或í2，îx+bx-£40îx+bx-³4020<£x时，2即当x+bx-£40恒成立，a2x³时，2当x+bx-³40恒成立，a22所以当x=时，y=x+bx-=40，a42b2则+-=40，即b=2a-，2aaa424222则当a>0时，b+=2a-+=2a+³22a´=4，当且仅当2a=，即a=1时等号成立，aaaaaa4故b+的最小值为4．a故选：C．ìlg-xx,<0ï8．已知函数fx=í1-x-1,0£x<2的图象在区间-ttt,(>0)内恰好有5对关于y轴对称的点，则t的值ïîfx-2,x³2可以是（）A．4B．5C．6D．7【答案】Cìï1-x-1,0£x<2【分析】令gx=í，mx=lgx，根据对称性，问题可以转化为mx与gx的图象在ïîgx-2,x³20,(tt>0)内有5个不同的交点，画出函数图象，数形结合即可判断.ìï1-x-1,0£x<2【解析】令gx=í，mx=lgx，ïîgx-2,x³2因为mx=lgx与y=lg-x的图象关于y轴对称，ìlg-xx,<0ï因为函数fx=í1-x-1,0£x<2的图象在区间-ttt,(>0)内恰好有5对关于y轴对称的点，ïîfx-2,x³2ìï1-x-1,0£x<2所以问题转化为mx=lgx与gx=í的图象在0,(tt>0)内有5个不同的交点，ïîgx-2,x³2 ìï1-x-1,0£x<2在同一平面直角坐标系中画出mx=lgx与gx=í的图象如下所示：ïîgx-2,x³2因为m10=lg101=，当x>10时mx>1，g1=g3=g5=g7=g9=g11=1，结合图象及选项可得t的值可以是6，其他值均不符合要求,.故选：Cìï1-x-1,0£x<2【点睛】关键点点睛：本题关键是转化为mx=lgx与gx=í的图象在0,(tt>0)内有5ïîgx-2,x³2个不同的交点.二、多选题9．下列选项正确的是（）22A．命题“$>x0,x++³x10”的否定是"£x0,x++<x10B．满足1ÍMÍ1,2,3的集合M的个数为4C．已知x=lg3,y=lg5，则lg45=2x+yxD．已知指数函数fx=a（a>0且a¹1）的图象过点2,4，则log2=1a【答案】BC【分析】利用特称命题的否定形式可判定A；利用集合的基本关系可判定B；利用对数的运算可判定C；利用指数函数的性质可判定D.2【解析】对于A，根据特称命题的否定形式可知命题“$>x0,x++³x10”的否定2是“">x0,x++<x10”，故A错误；对于B，由集合的基本关系可知满足1ÍMÍ1,2,3的集合M可以为1,1,2,1,3,1,2,3，故B正确；对于C，由lg45=lg9lg5+=2lg3lg5+=2x+y，故C正确；12log2=log2=，故D错误.对于D，由题意可知a=Þ4a=2，所以a22 故选：BC2210．已知a+4b+2ab=1，则（）1522A．ab的最大值为B．a+4b的最小值为67122-C．a+4b的最大值为2D．ab的最小值为3【答案】AC【分析】借助基本不等式逐项判断即可得.1【解析】对A：由2222ab£，a+4b³4ab，得a+4b+2ab³6ab，所以6当且仅当a=2b时取等号，故A正确；2222a+4b3a+4b对B：由2ab=×a2b£，得a2+4b2+2ab£，22222所以a+4b³，当且仅当a=2b时取等号，故B错误；32222a+4b22a+4b对C：由2ab=×a2b³-，得a+4b+2ab³，2222所以a+4b£2，当且仅当a=-2b时取等号，故C正确；2222对D：由a+4b³-4ab，得a+4b+2ab³-2ab，1所以ab³-，当且仅当a=-2b时取等号，故D错误.2故选：AC.11．若函数fx是定义域为R的奇函数，且fx+2=-fx，f1=1，则下列说法正确的是（）A．f3=-1B．fx的图象关于点2,0中心对称C．fx的图象关于直线x=1对称D．f1+f2+f3+×××+f2023+f2024=1【答案】ABC【分析】对于A：根据fx+2=-fx，赋值令x=1，即可得结果；对于C：根据fx+2=-fx结合奇函数定义可得fx+2=f-x，即可得结果；对于B：根据选项B中结论分析可得fx+2+f-+x2=0，即可得结果；对于D：分析可知：4为fx的周期，结合周期性分析求解.【解析】因为fx+2=-fx，f1=1， 对于选项A：令x=1，可得f3=-f1=-1，故A正确；对于选项C：因为函数fx是定义域为R的奇函数，则fx=-f-x，则fx+2=-fx=f-x，所以fx的图象关于直线x=1对称，故C正确；对于选项B：因为fx+2=f-x，可得f-+x2=fx，则fx+2=f-x=-fx=-f-+x2，即fx+2+f-+x2=0，所以fx的图象关于点2,0中心对称，故B正确；对于选项D：因为fx+2+f-+x2=0，令x=0，可得2f2=0,f2=f0=0，令x=1，可得f3+f1=0，又因为fx+2=-fx，则fx+4=-fx+2=fx，可知4为fx的周期，可得f2+f4=0，即f1+f2+f3+f4=0，因为2024=´4506，所以f1+f2+f3+×××+f2023+f2024=0，故D错误；故选：ABC.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．三、填空题1+x12．函数y=log2的定义域是.1-x【答案】-1,11+x【分析】根据已知，可得>0，解出不等式即可得到结果.1-x1+x1+x1+x【解析】要使函数y=log2有意义，则应满足>0，即<01-x1-xx-1该不等式等价于x-1x+1<0，解得-<1x<1.1+x所以，函数y=log2的定义域是-1,1.1-x 故答案为：-1,1.ì1x+1ü213．已知集合A=íxÎN<3<27ý，B=xx-3xm+=0，若1ÎAIB，则AÈB的子集的个数为．î3þ【答案】8【分析】由1ÎAIB求得m=2，求得集合AB、，进而求得AÈB，结合元素个数可得结果.【解析】由1ÎAIB可知，则1ÎB，可得13-+m=0，解得：m=2，2所以B=xx-3x+=20=xx-1x-2=0，即B=1,2.ì1x+1ü-1x+13A=íxÎN<3<27=ýxÎN3<3<3=xÎN-<2x<2=0,1,î3þ3所以AÈB=0,1,2，则AÈB的子集的个数为2=8.故答案为：8xxxx14．已知函数fx=log62+3，gx=log63-2.给出下列四个结论：æö1æö1①fç÷<gç÷；èø2èø2②存在x0Î0,1，使得fx0=gx0=x0；③对于任意的xÎ1,+¥，都有fx<gx；④1-f1<g1-1.其中所有正确结论的序号是.【答案】②③④【分析】构造函数，根据函数的单调性可判断各选项.【解析】æö11æ11ö对于①，fç÷=log62+3，而log62+3-=log6ç+÷，èø22è23ø2æ11ö61111ç+÷-=1->0，故+>1，故log62+3->0，è23ø362321故log62+3>.2 æö11æ2ögç÷=log36-2，而log36-2-=log3çç2-÷÷，èø22è3ø2æ2ö541æö1æö1而ç2-÷-=1-<0，故log36-2<，故fç÷>gç÷，çè3÷ø332èø2èø2故①错误.æ11ö对于②，设hx=fx-=xlog6çx+x÷，è32ø11因为y=,y=在R均为减函数，故hx为R上的减函数，xx325而h0=log26>0，h1=log6<0，故hx为0,1上存在唯一零点x0，6且hx=fx-x=0即2x0+3x0=6x0即3x0=6x0-2x0，000log6x0-2x0=x，所以gx-x=0，故3000故存在x0Î0,1，使得fx0=gx0=x0.故②正确.æ11ö对于③，由②的分析可得hx=fx-=xlog6çx+x÷在1,+¥上为减函数，è32ø5故hx<h(1)=log6<0即fx<x恒成立.6xææö2öx设sx=gx-=xlog3çç2-ç÷÷÷，èèø3ø4同理可得sx为1,+¥上的增函数，故sx>s1=log3>0，故gx>x，3对于④，由f1=log516<，g1=log413>，644所以1-f1=log6<log6<log3=g1-1，④正确；533故答案为：②③④.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 四、解答题15．计算：20.5-æ7ö-2æ10ö3037(1)ç2÷+0.1+ç2÷-3π+；è9øè27ø4821log3(2)log3log4×+lg5+lg5lg20×+lg162-2.232【答案】(1)100(2)1【分析】（1）根据指数幂的运算法则直接化简求解即可；（2）根据对数运算法则直接化简求解即可.2120.5-æ7ö-2æ10ö3037æ25ö22æ27ö337【解析】（1）ç2÷+0.1+ç2÷-3π+=ç÷+10+ç÷-+3è9øè27ø48è9øè64ø485937=+100+-+3=+397100=.3164821log3lg3lg4（2）log3log4×+lg5+lg5lg20×+lg162-2=×+lg5lg5lg20×++2lg23-232lg2lg3=+2lg5lg1002lg23×+-=+22lg5lg2+-=+-=32231.216．已知集合A=xx∣+-<x60,B={1x∣-m<x<2m+3}.(1)若AIB=A，求实数m的取值范围；(2)若“xÎA”是“xÎB”的必要不充分条件，求实数m的取值范围.【答案】(1)4,+¥；æ1ù(2)mÎ-¥-ç,ú.è2û【分析】（1）依题先求出A集合，再判断A、B集合的包含关系，即可得（2）先判断出B是A的真子集，再考虑B是否为空集两种情况考虑【解析】（1）由题意知A={x∣-<<3x2}，因为AIB=A，所以AÍB， ì1-m£-3则í，解得m³4，则实数m的取值范围是4,+¥；î2m+³32（2）因为“xÎA”是“xÎB”的必要不充分条件，所以B是A的真子集，2当B=Æ时，1-m³2m+3解得m£-；3ì1-m³-3ï21当B¹Æ时，í2m+£32（等号不能同时取得），解得-<m£-，ï32î1-m<2m+3æ1ù综上，mÎ-¥-ç,ú.è2ûx417．已知函数fx=+a，且flg2+flg5=3.x4+2(1)求a的值；x(2)当xÎ-1,1时，fx³4+m恒成立，求m的取值范围.【答案】(1)1æ7ù(2)ç-¥,-úè3û【分析】（1）根据fx+f1-x=12+a，即可由对数运算代入求解.（2）根据一元二次不等式与二次函数的性质即可求解.x4【解析】（1）因为fx=+a，x4+2x1-xx4444所以fx+f1-x=++a+=a++2a=+12a,x1-xxx4+24+24+2424+´因为lg2lg51+=，所以flg2+flg5=+12a=3，则a=1.xx2x（2）由（1）可知，fx³4+m等价于4+m×4+2m-£20.é1ùxtÎ,4令t=4，则êú，ë4ûé1ù原不等式等价于t2+mt+2m-£20在,4上恒成立，êúë4ûì11ï+m+2m-£207则í164，解得m£-，ï164+m+2m-£203î æ7ù故m的取值范围为ç-¥,-ú.è3û18．随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.宁波医疗公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为80台.每生产x台，需另投入成本Gx2ì2x+80,0x<x£40ï万元，且Gx=í3600，由市场调研知，该产品的售价为200万元，且全年内生产ï201x+-2100,40<x£80îx的该产品当年能全部销售完.(1)写出年利润Wx万元关于年产量x台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？2ì-2x+120x-300,0<x£40ï【答案】(1)Wx=í3600；ï--x+1800,40<x£80îx(2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润为1680万元.【分析】（1）根据GX的解析式，结合已知条件，根据利润的计算公式，直接求解即可；（2）根据（1）中所求的函数解析式，结合函数单调性和基本不等式，即可直接求得结果.【解析】（1）由该产品的年固定成本为300万元，投入成本Gx万元，2ì2x+80,0x<x£40ï且Gx=í3600，ï201x+-2100,40<x£80îx2当0<x£40时，Wx=200x-300-Gx=-2x+120x-300，3600当40<x£80时，Wx=200x-300-Gx=--x+1800x2ì-2x+120x-300,0<x£40ï所以利润Wx万元关于年产量x台的函数解析式Wx=í3600.ï--x+1800,40<x£80îx（2）当0<x£40时，x=30最大，最大值为1500；æ3600ö3600当40<x£80时，Wx=-çx+÷+180018002£-x´=1680，èxøx3600当且仅当x=时，即x=60时等号成立，x 综上可得，年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润为1680万元.19．已知函数fx()和gx()的定义域分别为D1和D2，若对任意的x0ÎD1都存在n个不同的实数+xxx1,2,3,LxnÎD2，使得gx()i=fx()0（其中i=1,2,3,Lnn,ÎN），则称gx()为fx()的“n重覆盖函数”．(1)试判断gx()=x(2-£x£2)是否为fx=+1sinxxÎR的“2重覆盖函数”？请说明理由；x2-1(2)求证：gx()=cos(0x<x<4π)是fx=xÎR的“4重覆盖函数”；x2+12xìax+(2a-3)x+1,x£12-1(3)若gx()=í为fx()=log1x的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围．îlogxx,>12+122【答案】(1)gx()不是fx()的“2重覆盖函数”理由见解析；(2)证明见解析；é2ù(3)ê0，ú.ë3û【分析】（1）：根据两个函数的值域，结合偶函数的性质进行判断即；（2）：可根据两个函数的值域，结合余弦函数的周期性进行判断即可；（3）：将题转化为对任意0<k<1，gx()=k有2个实根，根据gx()的性质即可求解．【解析】（1）由-£1sinx£1可知：0£fx()£2，函数gx()=x(2-£x£2)的图像如图所示：3π3π3π当x=时，f()1sin=+=0，222当gx()=x=0时，解得x=0，所以gx()不是fx()的“2重覆盖函数”；x（2）证明：因为2>0，x12所以2+1>1Þ<Þ1<2，xx2+12+1x2-12又因为fx()==1->-12=-1，xx2+12+1xx又因为2-12<+1， x2-1所以fx()=<1，x2+1x2-1所以-1<fx()=<1，x2+1又因为gx()=cos(0x<x<4π)，所以gx()Î-1,1，2又因fx()1=-，可得fx()为奇函数且单调递增，x2+1作出两函数的0,4π内的大致图像，如图所示：g(4π)=cos4π=1，x2-1而函数fx()在0,4π上单调递增，且-1<fx()=<1，所以f(4π)<1，x2+1由此可知fx()=gx()在0,4π内有4个解．所以gx()是fx()在0,4π的“4重覆盖函数”；x2-12（3）可得fx()=log1x=log(11-x)的定义域为0,+¥，2+12+122+即对任意x0ÎR，存在2个不同的实数xx1,2Î-+¥2,，使得gx()i=fx()0（其中i=1,2,3,Lnn,ÎN），x112∵x2+1>2Þ<Þ<0<，2>1，∴xx12+122+12所以01<-<1，x2+1x2-1所以fx()=log1xÎ0,+¥，2+122即gx()i=fx()0=log(11-x)Î0,+¥，20+12即对任意k>0，gx()=k有2个实根，当x>1时，gx()=log2x=k已有一个根，故只需x£1时，gx()=k仅有1个根， 当a=0时，gx()=-3x+1，符合题意，2当a>0时，则需满足g(1)=+22a-+£310，解得0<a£，3当a<0时，抛物线开口向下，gx()有最大值，不能满足对任意k>0，gx()=k仅有1个根，故不成立．é2ù综上，实数a的取值范围是ê0，ú．ë3û【点睛】在处理两函数图像交点问题时，可通过分离变量交点问题转化为y=k与y=fx()两个函数的图像交点情况.