2024年新高考数学一轮复习：第01讲 集合的概念与运算（解析版）

第01讲集合的概念与运算1、集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2、集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3、集合的基本运算表示运算文字语言集合语言图形语言记法并集所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B交集所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B补集全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合{x|x∈U，且x∉A}∁UA1、【2022年全国甲卷】设集合A={−2,−1,0,1,2},B=x∣0≤x<52，则A∩B=（       ）A．0,1,2B．{−2,−1,0}C．{0,1}D．{1,2} 【答案】A【解析】因为A=−2,−1,0,1,2，B=x∣0≤x<52，所以A∩B=0,1,2．故选：A.2、【2022年全国甲卷】设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,2},B=x∣x2−4x+3=0，则∁U(A∪B)=（       ）A．{1,3}B．{0,3}C．{−2,1}D．{−2,0}【答案】D【解析】由题意，B={x|x2−4x+3=0}={1,3}，所以A∪B={−1,1,2,3},所以∁U(A∪B)={−2,0}.故选：D.3、【2022年全国乙卷】集合M=2,4,6,8,10,N=x−1<x<6，则M∩N=（       ）A．{2,4}B．{2,4,6}C．{2,4,6,8}D．{2,4,6,8,10}【答案】A【解析】因为M=2,4,6,8,10，N=x|−1<x<6，所以M∩N=2,4．故选：A.4、【2022年全国乙卷】设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁UM={1,3}，则（       ）A．2∈MB．3∈MC．4∉MD．5∉M【答案】A【解析】由题知M={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误故选:A5、【2022年新高考1卷】若集合M={x∣x<4}, N={x∣3x≥1}，则M∩N=（       ）A．{x0≤x<2}B．x13≤x<2C．{x3≤x<16}D．x13≤x<16【答案】D【解析】M={x∣0≤x<16},N={x∣x≥13}，故M∩N={x|13≤x<16}，故选：D6、【2022年新高考2卷】已知集合A={−1,1,2,4},B=x|x−1|≤1，则A∩B=（       ）A．{−1,2}B．{1,2}C．{1,4}D．{−1,4}【答案】B【解析】B={x|0≤x≤2}，故A∩B={1,2}，故选：B.1、已知集合，，则（） A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知可得，故选：B.2、（2023·江苏泰州·统考一模）已知集合，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】.故选：A.3、（深圳市南山区期末试题）设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，故选：C.4、（清远市高三期末试题）已知集合，，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由，又，所以，所以，故选项A错误，，故选项B正确，，故选项C错误，，故选项D错误，故选：B. 5、（深圳市罗湖区期末试题）已知集合，，则的子集个数为（）A.0B.1C.2D.无穷多个【答案】C【解析】【详解】解：因为集合，，由可得，所以，只有一个元素，所以，的子集个数为2.故选：C考向一　集合的基本概念例1、已知集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x2＋x－6≤0}．(1)当a＝0时，求A∪B，A∩(∁RB)；(2)若A∩B＝A，求实数a的取值范围．【解析】(1)当a＝0时，A＝{x|0≤x≤3}＝[0，3].因为B＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}＝[－3，2]，所以∁RB＝(－∞，－3)∪(2，＋∞)，所以A∪B＝[－3，3]，A∩(∁RB)＝(2，3].(2)A＝[a，a＋3]，B＝[－3，2].因为A∩B＝A，所以A⊆B，所以解得－3≤a≤－1，所以实数a的取值范围是[－3，－1].变式1　已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x2＋x－6≤0}．若A∪B＝B，求实数a的取值范围．【解析】由题意，得B＝{x|x2＋x－6≤0}＝[－3，2].因为A∪B＝B，所以A⊆B. ①当A＝∅，即2a>a＋3时，解得a>3；②当A≠∅，即a≤3时，有解得－≤a≤－1.综上，实数a的取值范围是[－，－1]∪(3，＋∞).变式2、（2022·广东广州·三模）若，则的可能取值有（       ）A．0B．0，1C．0，3D．0，1，3【答案】C【解析】，则，符合题设；时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；时，则，符合题设；∴或均可以.故选：C方法总结：1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义。2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性。特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性考向二集合间的基本关系例2、已知集合A＝{1，3，}，B＝{2－x，1}．(1)记集合M＝{1，4，y}，若集合A＝M，求实数x＋y的值；(2)是否存在实数x，使得B⊆A？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)因为A＝M，A＝{1，3，}，M＝{1，4，y}，所以解得所以x＋y＝16＋3＝19.(2)假设存在实数x，使得B⊆A.①当2－x＝3，即x＝－1时，不存在，不符合题意；②当2－x＝时，解得x＝1.又≠1，所以不符合题意．综上所述，不存在实数x，使得B⊆A.变式1、（2022·河北保定·高三期末）设集合均为非空集合.（）A．若，则 B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【解析】对于A,，，当时，结论不成立，则A错误；对于B,，当时，结论不成立，，则B错误；对于C,因为，，所以，又，所以，则,则C正确;对于D，，当时，结论不成立,则D错误;故选:C.变式2、（2022·全国·模拟预测（文））如图，三个圆的内部区域分别代表集合，，，全集为，则图中阴影部分的区域表示（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】：如图所示，A.对应的是区域1；       B.对应的是区域2；C.对应的是区域3；       D.对应的是区域4.故选：B 方法总结：(1)若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.考向三集合的运算例3、（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）设集合，，则（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】集合或所以故选：D变式1、（2022·河北深州市中学高三期末）已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由单调递增，，解得：，所以，单调递增，，解得：，所以，即．故选：B变式2、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A 【解析】，，或，.故选：A.变式3、（2022·湖南湘潭·三模）已知集合，，若，则m的取值范围为（       ）A．B．C．D．【答案】A【分析】先解出集合，再结合得到关于m的不等式，求解即可.【详解】因为，所以，解得.故选：A.方法总结：集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解；②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．考向四集合的新定义问题例4、（2022·湖南·雅礼中学一模）已知集合，，定义集合，则中元素的个数为A．77B．49C．45D．30【答案】C【详解】因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个． 变式1、（2022·山东青岛·高三期末）定义集合运算：.若集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，所以当时，，所以，所以，故选：D变式2、（2022·湖南·岳阳一中一模）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，，所以，故集合中的元素个数为3，故选：C.变式3、（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知集合，则集合中元素的个数是（       ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C 【解析】由集合，，根据，所以，所以中元素的个数是3.故选：C方法总结：正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口。1、（深圳市高级中学集团期末试题）设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】因为，所以，又因为，所以则，故选：C2、（清远市高三期末试题）已知集合，，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】由，又， 所以，所以，故选项A错误，，故选项B正确，，故选项C错误，，故选项D错误，故选：B.3、（惠州市高三期末试题）已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】】，因此．故选：C．4、（华南师范大学附属中学高三期末试题）已知集合，则（）．A.{3}B.{1，3}C.{3，4}D.{1，3，4}【答案】B【解析】：因为，，所以，因为，所以，故选：B.5、（东莞市高三期末试题）设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】由，得，得即，则故选：A.6、（梅州市大埔县高三期末试题）已知集合A=x|x2−x−2>0，B={x|0<x<3}，则A∩B等于（）A．(−1，3)B．(0，3)C．(1，3)D．(2，3)【答案】D【解析】因为x2−x−2>0，所以x>2或x<−1，故集合A={x>2或x<−1}，又因为集合B={x|0<x<3}，所以A∩B=(2，3)，故选D．7、（江门市高三期末试卷）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合中，所包含元素的个数为（  ）A．B．C．D．B【详解】因为或，则，由题意可知，阴影部分所表示的集合为.故选：B.8、（2023·江苏南通·统考模拟预测）设集合，，若，则实数（    ）A．0B．C．0或D．1【答案】B【解析】，则或.当时，满足条件.当时，不满足条件.故，故选：B.9、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知集合M，N满足，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】由可得，故D正确；当，所以，故ABC不正确 故选：D.10、（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知集合，，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知，，故选：C