2024年高考数学一轮复习讲练测：一元函数的导数及其应用 第01讲 导数的概念与运算（练习）（解析版）

第01讲导数的概念与运算（模拟精练+真题演练）1．（2023·全国·模拟预测）已知为实数，函数是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为是偶函数，所以，所以，故，又，所以，，故曲线在点处的切线方程为，即.故选：A.2．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知抛物线C：，（）的焦点为F，为C上一动点，若曲线C在点M处的切线的斜率为，则直线FM的斜率为（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，，∴，由题意知，，解得：，又∵M在上，∴，解得：，∴，∴. 故选：B.3．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知函数，若的图象在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，则（    ）A．B．2C．±2D．【答案】D【解析】因为，所以.因为，所以的图象在处的切线方程为.因为切线与坐标轴能围成三角形，所以，令，得，令，得，所以，所以.故选：D4．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图是函数的导函数的图象，若，则的图象大致为（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】由的图象可知，当时，，则在区间上，函数上各点处切线的斜率在区间内，对于A，在区间上，函数上各点处切线的斜率均小于0，故A不正确；对于B，在区间上，函数上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故B不正确； 对于C，在区间上，函数上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故C不正确；对于D，由的图象可知，当时，，当时，，当时，，所以函数上各点处切线的斜率在区间内，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，而函数的图象均符合这些性质，故D正确.故选：D5．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（    ）A．2B．-1C．1D．【答案】C【解析】.故曲线在点处的切线斜率为.故选：C6．（2023·河南郑州·统考模拟预测）若过原点与曲线相切的直线，切点均与原点不重合的有2条，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，设过原点的切线与曲线在处相切，所以切线的斜率，整理得，设，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，且当时，当时，所以当时过原点与曲线相切的直线有2条.故选：C7．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）若曲线与有三条公切线，则的取值范围为（    ） A．B．C．D．【答案】A【解析】设公切线为是与的切点，由，得，设是与的切点，由，得，所以的方程为，因为，整理得，同理，因为，整理得，依题意两条直线重合，可得，消去，得，由题意此方程有三个不等实根，设，即直线与曲线有三个不同的交点，因为，令，则，当或时，；当时，，所以有极小值为，有极大值为，因为，，，所以，当趋近于时，趋近于0；当趋近于时，趋近于，故的图象简单表示为下图:所以当，即时，直线与曲线有三个交点.故选：A. 8．（2023·湖北·模拟预测）已知函数，都有的最小值为0，则的最小值为（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意知，都有的最小值为0，可转化为直线与相切.设切点坐标为，则可得，可得.令，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以，即的最小值为.故选:A.9．（多选题）（2023·重庆·校联考三模）德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数的导函数，若，对，，且，总有，则下列选项正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】A选项，根据可得，在R上单调递增，因为，所以，A正确；B选项，因为，，且，总有，所以函数图象上凸，画出函数图象，由几何意义可知，表示函数图象上的各点处的切线斜率， 显然随着的增大，切线斜率变小，且恒为正，因为，所以，B正确；C选项，，结合函数图象可知，C错误，D正确.  故选：ABD10．（多选题）（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，已知直线：为曲线：和：的公切线，则下列结论正确的是（    ）A．曲线的图象在轴的上方B．当时，C．若，则D．当时，和必存在斜率为的公切线【答案】ABD【解析】选项A，由，得，可知曲线的图象在轴的上方，故A正确；选项B，当时，：，：，对于：，有，因为直线：为曲线的切线，所以，即，此时，所以切点坐标为，将其代入切线方程中，有，整理得，可得，即B正确；选项C，当时，公切线为，设，，则，， 所以，，解得，，故C错误；选项D，当时，，，则，，若和存在斜率为的公切线，则存在和使得，，由选项B可知，，即，所以，，即，，符合题意，故当时，和必存在斜率为的公切线，即D正确．故选：ABD．11．（多选题）（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数，过点的直线与曲线相切，则与直线垂直的直线为（    ）A．B．C．D．【答案】AD【解析】，则，设切点坐标为，则，所以切线方程为，又切线过点，所以，即，故，解得或，所以直线的斜率为或，对于A：直线的斜率为，符合题意，故A正确；对于B：直线的斜率为，不符合题意，故B错误；对于C：直线的斜率为，不符合题意，故C错误；对于D：直线的斜率为，符合题意，故D正确；故选：AD12．（多选题）（2023·江苏南通·模拟预测）过平面内一点P作曲线两条互相垂直的切线、，切点为、、不重合，设直线、分别与y轴交于点A、B，则（    ）A．、两点的纵坐标之积为定值B．直线的斜率为定值 C．线段AB的长度为定值D．面积的取值范围为【答案】BCD【解析】由函数，则，设，，当，时，由题意可得，，化简可得，符合题意；当时，由题意可得，，化简可得，显然不成立；当时，由题意可得，，化简可得，显然不成立；对于A，，故A错误；对于B，直线的斜率，故B正确；对于C，易知直线，直线，令，则，即，同理可得，，故C正确；对于D，联立，整理可得，解得，令，其中，则，所以，函数在上单调递增，则当时，，所以，，故D正确.故选：BCD.13．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则_________．【答案】/【解析】因为， 所以，，因为在公共点处有相同的切线，所以即，所以故答案为：14．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）曲线在点处的切线方程为______．【答案】【解析】对函数求导可得，所以，所求切线的斜率为，故所求切线方程为，即.故答案为：.15．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知函数的图象在处的切线与在处的切线相互垂直，则的最小值是___________.【答案】/【解析】因为，所以，依题意可得，所以,所以且，或且，当且时，，，，，所以，，，所以，，， 所以当或时，取得最小值.当且时，，，，，所以，，，所以，，，所以当或时，取得最小值.综上所述：的最小值是.故答案为：.16．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）若函数的图象上存在不同的两点，使函数图象在这两点处的切线斜率之积小于0且斜率之和等于常数e，则称该函数为“e函数”，下列四个函数中，其中为“e函数”的是________．①；②；③；④【答案】①③④【解析】记，，．①，，，当时，，当时，，∴时，有最小值，值域为，∴存在、使，故是e函数；②∵，，∴，，∴，不存在、使，故不是e函数； ③，，值域为R，∴存在、使，故是e函数；④，值域为，∴存在、使，故是e函数．故答案为：①③④1．（2019·全国·统考高考真题）已知曲线在点处的切线方程为，则A．B．C．D．【答案】D【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．，将代入得，故选D．2．（2019·全国·高考真题）曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，，即点在曲线上．则在点处的切线方程为，即．故选C．3．（2022·全国·统考高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．【答案】【解析】[方法一]：化为分段函数，分段求分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出 ，即可求出切线方程，当时同理可得；因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；[方法二]：根据函数的对称性，数形结合当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；因为是偶函数，图象为：所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.[方法三]：因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为 ，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；.4．（2022·全国·统考高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．【答案】【解析】∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是,故答案为：5．（2021·全国·统考高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．【答案】【解析】由题意，，则，所以点和点，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案为： 6．（2021·全国·统考高考真题）曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】由题，当时，，故点在曲线上．求导得：，所以．故切线方程为．故答案为：．7．（2020·全国·统考高考真题）曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.【答案】【解析】设切线的切点坐标为，，所以切点坐标为，所求的切线方程为，即.故答案为：.8．（2019·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为___________．【答案】.【解析】所以，所以，曲线在点处的切线方程为，即．