2025年高考数学一轮复习教学课件第6章 第3课时　等比数列

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第六章　数列 第3课时　等比数列对应学生用书第138页 考试要求理解等比数列的概念.了解等比数列与指数函数的关系．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 链接教材　夯基固本第3课时　等比数列1．等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的比都等于__________，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的____，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么__叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.提醒：①“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件．②在等比数列中，奇数项同号，偶数项同号．2同一个常数公比G 2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝_____＝amqn－m.(2)前n项和公式：Sn＝提醒：求等比数列前n项和时，若公比q不明确，需分类讨论．a1qn-1na1 3．等比数列的性质(1)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝_______＝.(2)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则，{an·bn}，仍然是等比数列．(3)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，q＝－1且n为偶数时除外．ap·aq [常用结论]1．等比数列的单调性当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列．2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，且q≠0)． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列{an}的公比q>1，则该数列单调递增．()(2)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．()(3)如果正项数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．()(4)若数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和Sn＝．()(5)若数列{an}为等比数列，Sn是其前n项和，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．()××√×× √二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第二册P37练习T1(3)改编)在等比数列{an}中，a3＝，S3＝，则a2的值为()A．B．－3C．－D．－3或D[由S3＝a1＋a2＋a3＝a3(q-2＋q-1＋1)，得q-2＋q-1＋1＝3，即2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.∴a2＝＝或－3.故选D.] √2．(人教A版选择性必修第二册P37例9改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6等于()A．31B．32C．63D．64C[根据题意知，等比数列{an}的公比不是－1．由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63．]3．(人教A版选择性必修第二册P34练习T1改编)在1和9之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间三个数的积等于________．27[依题意a1＝1，a5＝9，所以a1a5＝a2a4＝＝9，所以a3＝3或a3＝－3(舍去)，所以a2a3a4＝＝27．]27 4．(人教A版选择性必修第二册P37练习T4改编)已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为_____________________．1，3，9或9，3，1[设这三个数为，a，aq，则解得或∴这三个数为1，3，9或9，3，1．]1，3，9或9，3，1 典例精研　核心考点第3课时　等比数列考点一　等比数列基本量的运算[典例1](1)(2024·河北唐山模拟)已知数列为等比数列，且a4＝2，a8＝16，则a10＝()A．30B．±30C．40D．±40(2)(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为________．－√ (1)C(2)－[(1)令bn＝，设数列的公比为q，因为a4＝2，a8＝16，所以b4＝＝，b8＝＝2，又b8＝b4q4，所以q4＝＝4，得到q2＝2，所以b10＝＝b8q2＝4，所以a10＝40.故选C.(2)若q＝1，则由8S6＝7S3得8×6a1＝7×3a1，则a1＝0，不合题意，所以q≠1.当q≠1时，因为8S6＝7S3，所以＝，即8(1－q6)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)(1－q3)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)＝7，解得q＝－.] 名师点评等比数列基本量的运算的解题策略(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．提醒：运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意公比q的讨论(q＝1或q≠1)，否则会漏解或增解． [跟进训练]1．(1)(2024·山东淄博实验中学模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，a4＝8，则S8＝()A．127B．254C．510D．255(2)(2023·北京高考)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1＝1，a5＝12，a9＝192，则a7＝________，数列{an}所有项的和为________．√48384 (1)D(2)48384[(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则显然q≠1．因为＝，所以＝＝＝＝，解得q＝2．由a4＝8，得a1＝＝1，所以S8＝＝28－1＝255.故选D.(2)∵数列{an}的后7项成等比数列，an>0，∴a7＝＝＝48，∴a3＝＝＝3，∴公比q＝＝＝2，∴a4＝3×2＝6，又该数列的前3项成等差数列，∴数列{an}的所有项的和为＝＋378＝384．] 【教师备选资源】1．若数列{an}满足an＋1＝3an＋2，则称{an}为“梦想数列”，已知正项数列{bn－1}为“梦想数列”，且b1＝2，则bn＝()A．2×3nB．2×3n-1C．2×3n＋1D．2×3n-1＋1√B[依题意，bn＋1－1＝3(bn－1)＋2，∴bn＋1＝3bn，即是首项为2，公比为3的等比数列，bn＝2×3n-1.故选B.] 2．《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长3尺，莞生一日，长1尺，蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．”则当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数是(结果精确到0.1．参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)()A．2.9天B．3.9天C．4.9天D．5.9天√C[设蒲的长度组成等比数列{an},a1＝3，公比为，前n项和为An.莞的长度组成等比数列{bn}，b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn.则An＝，Bn＝，由题意可得5×＝，解得2n＝30或2n＝1(舍去)．∴n＝log230＝＝≈≈4.9．] 考点二　等比数列的判定与证明[典例2]已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{an}是等比数列；②数列{Sn＋a1}是等比数列；③a2＝2a1.[证明]选①②作为条件证明③：设Sn＋a1＝Aqn-1(A≠0)，则Sn＝Aqn-1－a1，当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn-2(q－1)，因为{an}是等比数列，所以＝，解得q＝2，所以a2＝2a1. 选①③作为条件证明②：因为a2＝2a1，{an}是等比数列，所以公比q＝2，所以Sn＝＝a1(2n－1)，即Sn＋a1＝2na1，因为＝2，所以{Sn＋a1}是等比数列．选②③作为条件证明①：设Sn＋a1＝Aqn-1(A≠0)，则Sn＝Aqn-1－a1，当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn-2(q－1)．因为a2＝2a1，所以A(q－1)＝A，解得q＝2，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn-2(q－1)＝A·2n-2＝a1·2n-1，所以＝2(n≥2)，又因为a2＝2a1，所以{an}为等比数列． 名师点评判定一个数列为等比数列的常见方法 [跟进训练]2．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.(1)求an及Sn；(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．[解](1)由题意可得解得所以an＝3n-1，Sn＝＝.(2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列．因为S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝，此时Sn＋＝×3n，则＝3.故存在常数λ＝，使得数列是等比数列． 【教师备选资源】(多选)设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是()A．数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列B．数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列C．数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列D．数列是公比为的等比数列AD[对于A，由＝q2(n≥2)知数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列；对于B，当q＝－1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C，当q＝1时，数列{an－an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D，＝＝，所以数列是公比为的等比数列．]√√ 考点三　等比数列性质的应用[典例3](1)(2023·福建漳州三模)已知数列{an}为递减的等比数列，n∈N*，且a2a7＝32，a3＋a6＝18，则的公比为()A．B．C．D．2(2)记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S3＝1，S6＝5，则＝________．√4 (1)A(2)4[(1)∵{an}为递减的等比数列，∴解得(舍)或∴的公比q＝＝.故选A.(2)因为Sn为等比数列{an}的前n项和，S3＝1，S6＝5，所以由等比数列的性质可得S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，所以＝＝4．] 名师点评应用等比数列性质的两个关注点 [跟进训练]3．(1)在等比数列{an}中，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，则a7＋a8等于()A．40B．36C．54D．81(2)(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________．(3)已知正项等比数列{an}共有2n项，它的所有项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________．√－22 (1)C(2)－2(3)2[(1)在等比数列{an}中，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，∵a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，∴a7＋a8＝(a3＋a4)·＝24×＝54.(2)法一：设数列{an}的公比为q，则由a2a4a5＝a3a6，得a1q·a1q3·a1q4＝a1q2·a1q5．又a1≠0，且q≠0，所以可得a1q＝1．①又a9a10＝a1q8·a1q9＝q17＝－8，②所以由①②可得q15＝－8，q5＝－2，所以a7＝a1q6＝a1q·q5＝－2.法二：设数列{an}的公比为q.因为a4a5＝a3a6≠0，所以a2＝1．又a9a10＝a2q7·a2q8＝q15＝－8，于是q5＝－2，所以a7＝a2q5＝－2.(3)由题意可知a1＋a2＋…＋a2n＝3(a1＋a3＋…＋a2n－1)，又a2＋a4＋…＋a2n＝q(a1＋a3＋…＋a2n－1)，所以(q＋1)(a1＋a3＋…＋a2n－1)＝3(a1＋a3＋…＋a2n－1)．又q＞0，an＞0，所以q＋1＝3，即q＝2．] 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(三十八)等比数列 THANKS