2025年高考数学一轮复习教学课件第3章 第1课时 导数的概念及运算
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必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第三章一元函数的导数及其应用,【教师备选资源】新高考卷三年考情图解高考命题规律把握1．常考点：导数的几何意义、函数的单调性、不等式与导数．(1)导数的几何意义属于送分题；(2)函数的单调性、不等式与导数常以压轴题形式出现．2．轮考点：函数的极值、最值、零点与导数．常综合考查函数的极值、最值、零点与导数的关系，着重分类讨论思想的考查．,第1课时 导数的概念及运算对应学生用书第56页,考试要求了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数．通过函数图象，理解导数的几何意义.,链接教材 夯基固本第1课时 导数的概念及运算1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作_______或y'，即f′(x0)＝＝.(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)f′(x)＝y′＝.f′(x0),2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的____，相应的切线方程为_____________________．提醒：求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝_f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)f′(x)＝______f(x)＝sinxf′(x)＝_____f(x)＝cosxf′(x)＝_______f(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝______f(x)＝exf′(x)＝__f(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝0αxα-1cosx－sinxaxlnaex,4．导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝___________；(2)[f(x)g(x)]′＝__________________；(3)′＝(g(x)≠0)；(4)[cf(x)]′＝_______．5．复合函数的定义及其导数一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数．复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝_________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)cf′(x)y′u·u′x,[常用结论]几类重要的切线方程(1)直线y＝x－1是曲线y＝lnx的切线，直线y＝x是曲线y＝ln(x＋1)的切线，如图1.(2)直线y＝x＋1与直线y＝ex是曲线y＝ex的切线，如图2.(3)直线y＝x是曲线y＝sinx与y＝tanx的切线，如图3.(4)直线y＝x－1是曲线y＝x2－x，y＝xlnx及y＝1－的切线，如图4.由以上切线方程可得重要不等式，如lnx≤x－1，x＋1≤ex等．,一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．()(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．()(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．()(4)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cosx．()××××,√二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第二册P59探究改编)某跳水运动员离开跳板后，他的重心相对于水面的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(高度单位：m，时间单位：s)，则他在0.5s时的瞬时速度为()A．9.1m/sB．6.75m/sC．3.1m/sD．2.75m/sC[∵h′(t)＝－9.8t＋8，∴h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1.故选C.]2．(多选)(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T1改编)下列求导正确的是()A．(3x)′＝3xln3B．(x2lnx)′＝2xlnx＋xC．′＝D．(sinxcosx)′＝cos2x√√√,√3．(人教A版选择性必修第二册P70练习T2改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，f′(x)是函数f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是()A．2f′(3)<f(5)－f(3)<2f′(5)b．2f′(3)<2f′(5)<f(5)－f(3)c．f(5)－f(3)<2f′(3)<2f′(5)d．2f′(5)<2f′(3)<f(5)－f(3)a[由题图知：f′(3)<<f′(5)，即2f′(3)<f(5)－f(3)<2f′(5)．故选a.],4．(人教a版选择性必修第二册p81习题5.2t7改编)函数f(x)＝ex＋的图象在x＝1处的切线方程为_______________．y＝(e－1)x＋2[∵f′(x)＝ex－，∴f′(1)＝e－1，又f(1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2．]y＝(e－1)x＋2,典例精研>r′(2)C．r<d．存在v0∈(v1，v2)，使得r′(v0)＝√√,bd[对于a，设tanα＝，tanθ＝，由图得α>θ，所以tanα>tanθ，所以>，所以该选项错误；对于B，由题图得图象上点的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义，得r′(1)>r′(2)，所以该选项正确；对于C，设V1＝0，V2＝3，所以r＝r＝，因为r－r(0)>r(3)－r，所以r>，所以该选项错误；对于D，表示A(V1，r(V1))，B(V2，r(V2))两点之间的斜率，r′(V0)表示C(V0，r(V0))处切线的斜率，由于V0∈(V1，V2)，所以可以平移直线AB使之和曲线相切，切点就是点C，所以该选项正确．故选BD.],考点二 导数的运算[典例2](1)(2023·重庆巴蜀中学一模)已知函数f(x)＝3x－2f′(1)lnx，则f′(1)＝()A．ln3B．2C．3D．3ln3(2)(多选)下列求导正确的是()A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2B．(x3lnx)′＝3x2lnx＋x2C．′＝D．(2x＋cosx)′＝2xln2－sinx√√√√,(1)A(2)ABD[(1)∵f′(x)＝3xln3－，∴f′(1)＝3ln3－2f′(1)，∴f′(1)＝ln3.故选A.(2)对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确；对于B，(x3lnx)′＝(x3)′lnx＋x3(lnx)′＝3x2lnx＋x2，故B正确；对于C，′＝＝，故C错误；对于D，(2x＋cosx)′＝(2x)′＋(cosx)′＝2xln2－sinx，故D正确．故选ABD.]名师点评导数的运算方法(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．,[跟进训练]2．(1)若函数f(x)，g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x2－1，且f(1)＝1，则f′(1)＋g′(1)＝()A．1B．2C．3D．4(2)(2024·广东广州模拟)已知函数f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，则a＝________．√(1)C(2)e2[(1)∵f(1)＝1，∴f(1)＋g(1)＝0，∴g(1)＝－1，∵f(x)＋xg(x)＝x2－1，∴f′(x)＋g(x)＋xg′(x)＝2x，∴f′(1)＋g(1)＋g′(1)＝2，∴f′(1)＋g′(1)＝2－(－1)＝3.(2)因为f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，所以f′(x)＝＋ae－x－axe－x，所以f′(2)＝2＋ae－2－2ae－2＝2－ae－2＝1，则a＝e2．]e2,考点三 导数的几何意义考向1求切线方程[典例3](2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为()A．y＝xB．y＝xC．y＝x＋D．y＝x＋√C[因为y＝，所以y′＝＝，故曲线在点处的切线斜率k＝，所以切线方程为y－＝(x－1)，即y＝x＋.故选C.],考向2求参数的值(范围)[典例4](1)(2023·山东济南二模)已知直线y＝x－1与曲线y＝ex＋a相切，则实数a的值为()A．－2B．－1C．0D．2(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________________．√(－∞，－4)∪(0，＋∞),(1)A(2)(－∞，－4)∪(0，＋∞)[(1)设切点为(x0，y0)，易知y′＝ex＋a，则解得故选A.(2)∵y＝(x＋a)ex，∴y′＝(x＋1＋a)ex，设切点为(x0，y0)，则y0＝，切线斜率k＝，∴切线方程为＝(x－x0)，∵切线过原点，＝(－x0)，整理得＋ax0－a＝0，∵切线有两条，∴Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，∴a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．],名师点评导数几何意义的应用要点(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)．(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可．.提醒：“在点P处的切线”与“过点P的切线”不同．,[跟进训练]3．(1)若过点(a，b)可以作曲线y＝lnx的两条切线，则()A．a＜lnbB．b＜lnaC．lnb＜aD．lna＜b(2)(2023·江苏南通八市联考)过点(－1，0)作曲线y＝x3－x的切线，写出一条切线的方程__________________________．√(1)D(2)2x－y＋2＝0(或x＋4y＋1＝0)[(1)设切点坐标为(x0，lnx0)，由于y′＝，因此切线方程为y－lnx0＝(x－x0)．又切线过点(a，b)，则b－lnx0＝，即b＋1＝lnx0＋，则b＋1＝lnx0＋有两个不等实根，设f(x)＝lnx＋，定义域是(0，＋∞)，即直线y＝b＋1与曲线f(x)＝lnx＋有两个不同的交点．f′(x)＝＝，当a≤0时，f′(x)＞0恒成立，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，不合题意；当a＞0时，若0＜x＜a，则f′(x)＜0，f(x)单调递减，若x＞a，则f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以f(x)min＝f(a)＝lna＋1，由题意知b＋1＞lna＋1，即b＞lna．故选D.2x－y＋2＝0(或x＋4y＋1＝0),(2)因为y＝x3－x，所以y′＝3x2－1，设切点坐标为－x0)，则切线斜率为－1，得切线方程为－x0)＝－1)(x－x0)，代入点(－1，0)，得－1＝0，即(x0＋1)2(2x0－1)＝0，解得x0＝－1或x0＝.当x0＝－1时，切线方程为2x－y＋2＝0；当x0＝时，切线方程为x＋4y＋1＝0．],考点四 两曲线的公切线问题[典例5](1)若两曲线y＝lnx－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是()A．(0，2e]B．C．D．[2e，＋∞)(2)(2024·四川泸州开学考试)若曲线y＝kx-1(k＜0)与曲线y＝ex有两条公切线，则k的值为________．√(1)B(2)－[(1)设公切线与曲线y＝lnx－1和y＝ax2的切点分别为，其中x1＞0，对于y＝lnx－1有y′＝，则y＝lnx－1的切线方程为y－(lnx1－1)＝(x－x1)，即y＝＋lnx1－2，－,对于y＝ax2有y′＝2ax，则y＝ax2的切线方程为＝2ax2(x－x2)，即y＝，所以则＝lnx1－2，即＝lnx1(x1＞0)，令g(x)＝2x2－x2lnx，则g′(x)＝3x－2xlnx＝x(3－2lnx)，令g′(x)＝0，得x＝，当x∈(0，)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x∈(，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，所以g(x)max＝g()＝e3，故0＜e3，即ae-3.故选B.,(2)令f(x)＝kx-1(k＜0)，g(x)＝ex，则f′(x)＝－，g′(x)＝ex，设A(x1，f(x1))，则曲线y＝f(x)在A处切线为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，即y＝x＋，设B(x2，g(x2))，则曲线y＝g(x)在B处切线为y－g(x2)＝g′(x2)(x－x2)，即y＝，由题意消去x1，得－4k＝.由题意，方程－4k＝(1－x)2ex有两个不同的实数根，令φ(x)＝(1－x)2ex，则φ′(x)＝(x2－1)ex＝(x－1)(x＋1)ex，,当x＜－1时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增；当－1＜x＜1时，φ′(x)＜0，φ(x)单调递减；当x＞1时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增，故当x＝－1时，φ(x)取极大值，为φ(－1)＝；当x＝1时，φ(x)取极小值，为φ(1)＝0，又当x≠1时，φ(x)＞0，根据以上信息作出φ(x)的大致图象，由图可知当－4k＝，即k＝－时，直线y＝－4k与φ(x)的图象有两个交点，从而方程－4k＝(1－x)2ex有两个不同的实数根，所以曲线y＝kx-1(k＜0)与曲线y＝ex有两条公切线时，k的值为－.],名师点评曲线公切线的求解策略设直线与曲线y＝f(x)切于(x1，f(x1))，与曲线y＝g(x)切于(x2，g(x2))，则切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，即y＝f′(x1)x＋f(x1)－f′(x1)x1，同理y＝g′(x2)x＋g(x2)－g′(x2)x2.所以解出x1，x2，从而可得切线方程．,[跟进训练]4．(1)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝___________．(2)已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝lnx＋2，直线l是曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的公切线，则直线l的方程为_________________．(1)1－ln2(2)y＝ex或y＝x＋1[(1)设y＝kx＋b与y＝lnx＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，lnx1＋2)和(x2，ln(x2＋1))，则切线方程分别为y－lnx1－2＝(x－x1)，y－ln(x2＋1)＝·(x－x2)，化简得y＝x＋lnx1＋1，y＝x－＋ln(x2＋1)，依题意，解得x1＝，x2＝－，从而b＝lnx1＋1＝1－ln2.1－ln2y＝ex或y＝x＋1,(2)设直线l与曲线f(x)＝ex的切点为，与曲线g(x)＝lnx＋2的切点为(x2，lnx2＋2)．因为f′(x)＝ex，g′(x)＝，所以l：y＝，y＝·x＋lnx2＋1.所以解得或所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝ex.],微点突破2导函数与原函数的性质联系问题1．导函数与原函数对称性的关系性质1：若函数f(x)连续且可导，则f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔导函数f′(x)的图象关于点(a，0)对称．性质2：若函数f(x)连续且可导，则f(x)的图象关于点(a，f(a))对称⇔导函数f′(x)的图象关于直线x＝a对称．(证明略)2．导函数与原函数奇偶性的关系性质1：若f(x)为偶函数且可导，则f′(x)为奇函数．性质2：若f(x)为奇函数且可导，则f′(x)为偶函数．,[典例1]已知定义在R上的函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(2＋x)＝－f(2－x)，f′(x)是f(x)的导数，则()A．f′(x)是奇函数，且是周期函数B．f′(x)是偶函数，且是周期函数C．f′(x)是奇函数，且不是周期函数D．f′(x)是偶函数，且不是周期函数[赏析]突破点1：熟知函数的性质根据题意，定义在R上的函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)，又f(2＋x)＝－f(2－x)，所以f(－x)＝－f(4＋x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)，即f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，所以f′(x＋4)＝[f(x＋4)]′＝f′(x)，所以f′(x)是周期函数．√,突破点2：导函数与原函数的奇偶性关系因为f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，即f(x)＝－f(－x)，所以f′(－x)＝－[f(－x)]′＝f′(x)，所以f′(x)是偶函数．故选B.,[典例2](多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)．若f为偶函数，g为奇函数，则()A．f＝0B．g＝0C．g(1)＋g(2)＝0D．g＋g＝0[赏析]突破点：原函数与导函数间的性质关系因为f为偶函数，所以f＝f，所以f＝f，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，例如f(x)＝1，则函数f(x)满足条件，但f＝1≠0，所以选项A错误；因为g为奇函数，所以g＝－g，所以函数g(x)的图象关于点对称．√√√,令x＝0，得g＝0，故选项B正确；因为f(x)的图象关于直线x＝对称，所以f＝f，所以′＝′，即－f′＝f′，所以f′(1)＋f′(2)＝0，所以g(1)＋g(2)＝0，故选项C正确；所以f′＋f′＝0，所以g＋g＝0，故选项D正确．故选BCD.名师点评求解此类问题的关键是熟知原函数与导函数间的性质关系，明确函数的奇偶性、对称性、周期性之间的内化条件，体会赋值法在解题中的应用．,[跟进训练](2023·江苏盐城中学三模)设函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x)，若f′(－x)＝f′(x)，f(2x)＋f(2－2x)＝3，则下列结论不一定正确的是()A．f(1－x)＋f(1＋x)＝3B．f′(2－x)＝f′(2＋x)C．f′(f(1－x))＝f′(f(1＋x))D．f(f′(x＋2))＝f(f′(x))√C[对于选项A，f(2x)＋f(2－2x)＝3，令x＝2x，得f(x)＋f(2－x)＝3，则函数f(x)的图象关于点对称．若f(1－x)＋f(1＋x)＝3，则函数f(x)的图象关于点对称，符合题意，故A正确；,对于选项B，由选项A的分析知f(x)＋f(2－x)＝3，等式两边同时求导，得f′(x)－f′(2－x)＝0，即f′(x)＝f′(2－x)①，又f′(x)＝f′(－x)，f′(x)为偶函数，所以f′(2－x)＝f′(x－2)②，由①②得f′(x)＝f′(x－2)，所以函数f′(x)的周期为2.所以f′(2－x)＝f′(x)＝f′(2＋x)，即f′(2－x)＝f′(2＋x)，故B正确；对于选项C，由选项B的分析知f′(2－x)＝f′(2＋x)，则函数f′(x)的图象关于直线x＝2对称．令f(1－x)＝－Δ(x)，f(1＋x)＝＋Δ(x)，若f′＝f′，则函数f′(x)的图象关于直线x＝对称，不符合题意，故C错误；对于选项D，由选项B的分析可知函数f′(x)的周期为2，则f′(x)＝f′(x＋2)，所以f(f′(x))＝f(f′(x＋2))，故D正确．故选C.],点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(十七)导数的概念及运算,THANKS</d．存在v0∈(v1，v2)，使得r′(v0)＝√√,bd[对于a，设tanα＝，tanθ＝，由图得α></f(5)－f(3)<2f′(5)b．2f′(3)<2f′(5)<f(5)－f(3)c．f(5)－f(3)<2f′(3)<2f′(5)d．2f′(5)<2f′(3)<f(5)－f(3)a[由题图知：f′(3)<<f′(5)，即2f′(3)<f(5)－f(3)<2f′(5)．故选a.],4．(人教a版选择性必修第二册p81习题5.2t7改编)函数f(x)＝ex＋的图象在x＝1处的切线方程为_______________．y＝(e－1)x＋2[∵f′(x)＝ex－，∴f′(1)＝e－1，又f(1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2．]y＝(e－1)x＋2,典例精研>
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