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【高考总动员】2023高考数学大一轮复习 第2章 第10节 导数的概念及其运算课时提升练 文 新人教版
【高考总动员】2023高考数学大一轮复习 第2章 第10节 导数的概念及其运算课时提升练 文 新人教版
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课时提升练(十三) 导数的概念及其运算一、选择题1.下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x)′=3xlog3e;②(log2x)′=;③(ex)′=ex;④′=x;⑤(x·ex)′=ex+1.A.1B.2C.3D.4【解析】 ①(3x)′=3xln3;②(log2x)′=;③(ex)′=ex;④′=-=-;⑤(x·ex)′=ex+x·ex=ex(x+1).【答案】 B2.函数f(x)=(x+2a)(x-a)2的导数为( )A.2(x2-a2)B.2(x2+a2)C.3(x2-a2)D.3(x2+a2)【解析】 f′(x)=(x-a)2+(x+2a)[2(x-a)]=3(x2-a2).【答案】 C3.(2013·浙江高考)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如图2101所示,则该函数的图象是( )图2101 【解析】 从导函数的图象可以看出,导函数值先增大后减小,x=0时最大,所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小,在x=0时变化率最大.A项,在x6\n=0时变化率最小,故错误;C项,变化率是越来越大的,故错误;D项,变化率是越来越小的,故错误.B项正确.【答案】 B4.已知曲线f(x)=ax2-blnx在点P(1,1)处的切线与直线x-y+1=0垂直,则f′(3)=( )A.-5B.4C.5D.-4【解析】 由已知可得f(1)=1,∴a×12-bln1=1,∴a=1.∴f(x)=x2-blnx,故f′(x)=2x-,则曲线在点P处切线的斜率k=f′(1)=2-b,由于切线与直线x-y+1=0垂直,故(2-b)×1=-1,∴b=3,则f′(x)=2x-,∴f′(3)=5.【答案】 C5.若曲线y=x2+alnx(a>0)上任意一点处的切线斜率为k,若k的最小值为4,则此时该切点的坐标为( )A.(1,1)B.(2,3)C.(3,1)D.(1,4)【解析】 y=x2+alnx的定义域为(0,+∞),由导数的几何意义知y′=2x+≥2=4,则a=2,当且仅当x=1时等号成立,代入曲线方程得y=1,∴切点坐标为(1,1).【答案】 A6.若曲线y=x-在点(a,a-)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a=( )A.64B.32C.16D.8【解析】 ∵y′=-x-(x>0),∴曲线y=x-在点(a,a-)处切线l的斜率k=y′|x=a=-a-,切线方程为:y-a-=-a-(x-a),可以求得切线与x轴,y轴截距分别为3a,a-,所以围成三角形面积为:S=×3a×a-=a=18,∴a=64.6\n【答案】 A二、填空题7.(文)(2014·广东高考)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为________.【解析】 因为y′|x=0=-5e0=-5,所以曲线在点(0,-2)处的切线方程为y-(-2)=-5(x-0),即5x+y+2=0.【答案】 5x+y+2=08.已知a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-2)x的导函数f′(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程是________.【解析】 ∵f′(x)=3x2+2ax+a-2是偶函数,∴a=0,∴f(x)=x3-2x,f′(x)=3x2-2,∴f′(0)=-2,f(0)=0,∴切线方程为y=-2x.【答案】 y=-2x9.给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f′(x)存在,且导函数f′(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f′(x))′,若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是________.(把你认为正确的序号都填上)①f(x)=sinx+cosx;②f(x)=lnx-2x;③f(x)=-x3+2x-1;④f(x)=xex.【解析】 在定义域内,由f″(x)=-sinx-cosx<0,得①是凸函数;由f″(x)=-<0,得②是凸函数;由f″(x)=-6x<0,得③是凸函数;由f″(x)=2ex+xex>0,得④不是凸函数.【答案】 ①②③三、解答题10.(2013·北京高考)已知函数f(x)=x2+xsinx+cosx.(1)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值;(2)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围.【解】 由f(x)=x2+xsinx+cosx,得f′(x)=x(2+cosx).(1)因为曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,所以f′(a)=a(2+cosa)=0,b=f(a).解得a=0,b=f(0)=1.6\n(2)令f′(x)=0,得x=0.f(x)与f′(x)的变化情况如下:x(-∞,0)0(0,+∞)f′(x)-0+f(x)↘1↗所以函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,f(0)=1是f(x)的最小值.当b≤1时,曲线y=f(x)与直线y=b最多只有一个交点;当b>1时,f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b,f(0)=1<b,所以存在x1∈(-2b,0),x2∈(0,2b),使得f(x1)=f(x2)=b.由于函数f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调,所以当b>1时曲线y=f(x)与直线y=b有且仅有两个不同交点.综上可知,如果曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,那么b的取值范围是(1,+∞).11.(2014·课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)=alnx+x2-bx(a≠1),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0.(1)求b;(2)若存在x0≥1,使得f(x0)<,求a的取值范围.【解】 (1)f′(x)=+(1-a)x-b.由题设知f′(1)=0,解得b=1.(2)f(x)的定义域为(0,+∞),由(1)知,f(x)=alnx+x2-x,f′(x)=+(1-a)x-1=(x-1).①若a≤,则≤1,故当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上单调递增.所以,存在x0≥1,使得f(x0)<的充要条件为f(1)<,即-1<,解得--1<a<-1.6\n②若<a<1,则>1,故当x∈时,f′(x)<0;当x∈时,f′(x)>0.所以f(x)在上单调递减,在上单调递增.所以,存在x0≥1,使得f(x0)<的充要条件为f<.而f=aln++>,所以不合题意.③若a>1,则f(1)=-1=<,符合题意.综上,a的取值范围是(--1,-1)∪(1,+∞).12.(2014·北京高考)已知函数f(x)=2x3-3x.(1)求f(x)在区间[-2,1]上的最大值;(2)若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围;(3)问过点A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切?(只需写出结论)【解】 (1)由f(x)=2x3-3x得f′(x)=6x2-3.令f′(x)=0,得x=-或x=.因为f(-2)=-10,f=,f=-,f(1)=-1,所以f(x)在区间[-2,1]上的最大值为f=.(2)设过点P(1,t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0,y0),则y0=2x-3x0,且切线斜率为k=6x-3,所以切线方程为y-y0=(6x-3)(x-x0),因此t-y0=(6x-3)(1-x0),整理得4x-6x+t+3=0.设g(x)=4x3-6x2+t+3,则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同的零点”.g′(x)=12x2-12x=12x(x-1).当x变化时,g(x)与g′(x)的变化情况如下:x(-∞,0)0(0,1)1(1,+∞)g′(x)+0-0+g(x)↗t+3↘t+1↗所以,g(0)=t+3是g(x)的极大值,g(1)=t+1是g(x)的极小值.6\n当g(0)=t+3≤0,即t≤-3时,g(x)在区间(-∞,1]和(1,+∞)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点.当g(1)=t+1≥0,即t≥-1时,g(x)在区间(-∞,0)和[0,+∞)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点.当g(0)>0且g(1)<0,即-3<t<-1时,因为g(-1)=t-7<0,g(2)=t+11>0,所以g(x)分别在区间[-1,0),[0,1)和[1,2)上恰有1个零点.由于g(x)在区间(-∞,0)和(1,+∞)上单调,所以g(x)分别在区间(-∞,0)和[1,+∞)上恰有1个零点.综上可知,当过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时,t的取值范围是(-3,-1).(3)过点A(-1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切;过点B(2,10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切;过点C(0,2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切.6
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 17:50:06
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文章作者:U-336598
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