【高考总动员】2023高考数学大一轮复习 第4章 第1节 平面向量的基本概念及线性运算课时提升练 文 新人教版

课时提升练(二十三)　平面向量的基本概念及线性运算一、选择题1．若向量a与b不相等，则a与b一定(　　)A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量【解析】　a与b不相等，可能长度相等，方向不同，故A错，D错；a与b不相等，可能方向相同或相反，长度不等，故B错；如果a与b都是零向量，那么它们必相等，C正确．【答案】　C2．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使＋＝0成立的是(　　)A．a＝－b　　　B．a∥bC．a＝2bD．a⊥b【解析】　由＋＝0可知a与b必共线且反向，结合四个选项可知A正确．【答案】　A图4123．如图412所示，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)A．0　　　　　　　B.C.D.【解析】　＋＋＝＋＋＝＋＋＝.【答案】　D4．给出下列命题：6\n①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的个数为(　　)A．1B.2　　　　C．3　　　　D．4【解析】　①错，两向量共线要看方向而不是起点或终点；②正确，向量不能比较大小，但它们的模是实数，能比较大小；③错，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0；④错，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时a与b可以是任意向量，不一定共线．【答案】　C5．若a＋c与b都是非零向量，则“a＋b＋c＝0”是“b∥(a＋c)”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】　若a＋b＋c＝0，则b＝－(a＋c)，∴b∥(a＋c)；若b∥(a＋c)，则b＝λ(a＋c)，当λ≠－1时，a＋b＋c≠0，因此“a＋b＋c＝0”是“b∥(a＋c)”的充分不必要条件．【答案】　A6．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝(　　)A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b【解析】　如图，＝＋＝a＋＝a＋(b－a)＝a＋b，故选D.【答案】　D7．若O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是(　　)A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形6\n【解析】　∵|－|＝|＋－2|，即|－|＝|－＋－|，∴||＝|＋|，又＝－，∴|－|＝|＋|，∴·＝0，即AC⊥AB，故选B.【答案】　B8．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于(　　)A．aB．bC．cD．0【解析】　由题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na，又a与c不共线，∴m＝－1，n＝－1，∴a＋b＝－c，即a＋b＋c＝0.【答案】　D9．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝(　　)A．2B．3C．4D．5【解析】　由＋＋＝0易得M是△ABC的重心，且重心M分中线AE的比为AM∶ME＝2∶1，∴＋＝2＝m＝·，∴＝2.∴m＝3.【答案】　B10．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线AD交边BC于D，已知AB＝3，且＝＋λ(λ∈R)，则AD的长为(　　)A．1B.C．2D．3【解析】　∵＝＋λ，且D、B、C三点共线，所以λ＋＝1，λ＝，因为AD是∠A的平分线，由向量加法的几何意义知＝＝2，令＝，＝，则四边形AEDF为菱形，所以AD＝2×||×cos＝2.6\n【答案】　C11．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的(　　)A．外心　　　B．内心　　　C．重心　　　D．垂心【解析】　作∠BAC的平分线AD.∵＝＋λ，∴＝λ＝λ′·(λ′∈[0，＋∞))，∴＝·，∴∥.∴P的轨迹一定通过△ABC的内心．【答案】　B12．(2012·浙江高考)设a，b是两个非零向量(　　)A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|【解析】　由|a＋b|＝|a|－|b|知(a＋b)2＝(|a|－|b|)2，即a2＋2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2，∴a·b＝－|a||b|.∵a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉＝－1，∴〈a，b〉＝π，此时a与b反向共线，因此A错误．当a⊥b时，a与b不反向也不共线，因此B错误．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ＝－1，使b＝－a，满足a与b反向共线，故C正确．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a＋λa|＝|1＋λ||a|，|a|－|b|＝|a|－|λa|＝(1－|λ|)|a|，只有当－1≤λ≤0时，|a＋b|＝|a|－|b|才能成立，否则不能成立，故D错误．6\n【答案】　C二、填空题13．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.【解析】　由题意知a＋λb＝k[－(b－3a)]，∴∴.【答案】　－14．(2013·江苏高考)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【解析】　由题意＝－＝－＝(－)＋＝－＋，于是λ1＝－，λ2＝，故λ1＋λ2＝.【答案】　15．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是________．【解析】　∵＝－，当、同向时，||＝8－5＝3，当、反向时，||＝8＋5＝13，当、不共线时，3＜||＜13，综上可知3≤||≤13.【答案】　[3,13]16．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.其中正确命题的个数为________．【解析】　＝＋＝－a－b，①错；＝＋＝a＋b，②正确；＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b，③正确；＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0，④正确．【答案】　②③④6\n6