【名师伴你行】（新课标）2023高考数学大一轮复习 第5章 第3节 等比数列及其前n项和课时作业 理

课时作业(三十二)　等比数列及其前n项和一、选择题1．(2014·山东莱芜4月模拟)已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝3，an＋1－an＝＝3，n∈N*，若数列{cn}满足cn＝ban，则c2013＝(　　)A．92012B．272012C．92013D．272013答案：D解析：由已知条件知，{an}是首项为3，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，∴an＝3n，bn＝3n，又cn＝ban＝33n，∴c2013＝33×2013＝272013，故选D.2．(2015·济南模拟)已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则等于(　　)A.B．或C.D．以上都不对答案：B解析：依题意，a1a4＝a2a3＝2，又a1＝，∴a4＝4，q＝2.若m＝a1＋a4，n＝a2＋a3，则＝＝；若m＝a2＋a3，n＝a1＋a4，则＝.综上，＝或.故应选B.3．(2014·全国大纲)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于(　　)A．6B．55\nC．4D．3答案：C解析：数列{lgan}的前8项和S8＝lga1＋lga2＋…＋lga8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a1·a8)4＝lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4.4．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，已知它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为(　　)A．12B．10C．8D．6答案：C解析：偶数项和是奇数项和的2倍，即q＝2.又中间两项的和为24，所以中间两项分别为8,16.又它的首项为1，则8是数列的第4项，因此等比数列的项数为8.故应选C.5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值不能确定的是(　　)A.B．C．D．答案：D解析：∵{an}为等比数列，8a2＋a5＝0，∴＝q3＝－8，即q＝－2.对于A，＝q2＝4，B，＝数值确定，C，＝－2，式子中数值确定，而D，＝，随n的不同，不同，故应选D.6．等比数列{an}的前三项和S3＝4xdx，若a1,3－a2，a3成等差数列，则公比q＝(　　)A．2或－B．－2或C．－2或－D．2或答案：C5\n解析：S3＝4xdx＝2x2＝2×32－0＝18，故a1＋a2＋a3＝18，又因为a1,3－a2，a3成等差数列，所以2(3－a2)＝a1＋a3，即a1＋a3＝6－2a2，代入上式，可得6－2a2＋a2＝18，解得a2＝－12.设等比数列的公比为q，则有＋a2＋a2q＝18，即＋1＋q＝－＝－，整理，得2q2＋5q＋2＝0，解得q＝－或q＝－2.故应选C.二、填空题7．若等比数列{an}满足a2a4＝，则a1aa5＝________.答案：解析：∵数列{an}为等比数列，∴a2·a4＝a＝，a1·a5＝a.∴a1aa5＝a＝.8．等比数列{an}的公比q＞0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝________.答案：解析：∵an＋2＋an＋1＝anq2＋anq＝6an，∴q2＋q－6＝0，又q＞0，∴q＝2，由a2＝a1q＝1，得a1＝，∴S4＝＝.9．(2014·天津)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．答案：－5\n解析：由已知，得S1·S4＝S，即a1·(4a1－6)＝(2a1－1)2，解得a1＝－.10．(2015·江南十校联考)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)的取值范围是________．答案：[4,8)解析：因为{an}是等比数列，所以可设an＝a1qn－1.因为a2＝2，a5＝，所以解得所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝8－8×n.因为0<n≤，所以4≤Sn<8.三、解答题11．设数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝3an，n∈N*.(1)求{an}的通项公式及前n项和Sn；(2)已知{bn}是等差数列，Tn为其前n项和，且b1＝a2，b3＝a1＋a2＋a3，求T20.解：(1)由题意知{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1，Sn＝＝(3n－1)．(2)b1＝a2＝3，b3＝1＋3＋9＝13，b3－b1＝10＝2d，所以公差d＝5，故T20＝20×3＋×5＝1010.12．在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.(1)求数列{an}的通项公式；(2)对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm.解：(1)因为{an}是一个等差数列，所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，a4＝28.设数列{an}的公差为d，则5d＝a9－a4＝73－28＝45，5\n故d＝9.由a4＝a1＋3d，得28＝a1＋3×9，即a1＝1.所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)．(2)对m∈N*，若9m＜an＜92m，则9m＋8＜9n＜92m＋8.因此9m－1＋1≤n≤92m－1，故得bm＝92m－1－9m－1.于是Sm＝b1＋b2＋b3＋…＋bm＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1)＝－＝.13．(2015·杭州模拟)设等差数列{an}的首项a1为a(a≠0)，前n项和为Sn.(1)若S1，S2，S4成等比数列，求数列{an}的通项公式；(2)证明：对∀n∈N*，Sn，Sn＋1，Sn＋2不构成等比数列．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na＋d，所以S1＝a，S2＝2a＋d，S4＝4a＋6d.因为S1，S2，S4成等比数列，所以S＝S1·S4，即(2a＋d)2＝a·(4a＋6d)，整理得d(2a－d)＝0，所以d＝0或d＝2a.当d＝0时，an＝a(a≠0)；当d＝2a时，an＝a＋(n－1)d＝(2n－1)a(a≠0)．(2)证明：不妨设存在m∈N*，使得Sm，Sm＋1，Sm＋2构成等比数列，则S＝Sm·Sm＋2，得a2＋mad＋m(m＋1)d2＝0，(*)若d＝0，则a＝0，此时Sm＝Sm＋1＝Sm＋2＝0，这与等比数列的定义矛盾；若d≠0，要使数列{an}的首项a存在，则必有(*)式的Δ≥0，然而Δ＝(md)2－2m(m＋1)d2＝－(2m＋m2)·d2<0，矛盾．综上所述，对∀n∈N*，Sn，Sn＋1，Sn＋2不构成等比数列．5