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【名师伴你行】(新课标)2023高考数学大一轮复习 第11章 第4节 数学归纳法及其应用课时作业 理
【名师伴你行】(新课标)2023高考数学大一轮复习 第11章 第4节 数学归纳法及其应用课时作业 理
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课时作业(七十四) 数学归纳法及其应用一、选择题1.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上( )A.k2+1B.(k+1)2C.D.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2答案:D解析:当n=k时,左端=1+2+3+…+k2,当n=k+1时,左端=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2,当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.故应选D.2.(2015·岳阳模拟)用数学归纳法证明不等式1+++…+>(n∈N*)成立,其初始值至少应取( )A.7B.8C.9D.10答案:B解析:1+++…+=>整理得2n>128,解得n>7,所以初始值至少应取8.3.用数学归纳法证明:“(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3…·(2n-1)”,从“k到k+1”左端需增乘的代数式为( )A.2k+1 B.2(2k+1)C. D.答案:B解析:n=k+1时,左端为(k+2)(k+3)·…·[(k+1)+(k-1)][(k+1)+k][(k+1)+(k+1)]=(k+2)(k+3)·…·(k+k)(2k+1)(2k+2)=(k+1)(k+2)·…·(k+k)[2(2k+1)],∴应乘2(2k+1),故应选B.4\n4.对于不等式<n+1(n∈N*),某同学用数学归纳法证明的过程如下:(1)当n=1时,<1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即<k+1,则当n=k+1时,=<==(k+1)+1,∴当n=k+1时,不等式成立,则上述证法( )A.过程全部正确B.n=1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确答案:D解析:在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,不是数学归纳法,故应选D.5.(2015·上海模拟)平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为( )A.n+1 B.2nC. D.n2+n+1答案:C解析:1条直线将平面分成1+1个区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4(个)区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7(个)区域;…;n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+=(个)区域.故应选C.6.(2015·南宁模拟)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N*,f(n)都能被m整除,则m的最大值为( )A.18B.36C.48D.54答案:B解析:由于f(1)=36,f(2)=108,f(3)=360都能被36整除,猜想f(n)能被36整除,即m的最大值为36.当n=1时,可知猜想成立.假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,猜想成立,即f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除;当n=k+1时,f(k+1)=(2k+9)·3k+1+9=(2k+7)·3k+9+36(k+5)·3k-2,因此f(k+1)也能被36整除,故所求m的最大值为36.二、填空题7.用数学归纳法证明“2n+1≥n2+n+2(n∈N*)”时,第一步验证为________.答案:当n=1时,左边=4≥右边,不等式成立.4\n解析:由n∈N*可知初始值为1.8.(2015·徐州模拟)用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,当第二步假设n=k(k∈N*)命题为真时,进而需证n=________时,命题亦真.答案:k+2解析:n为正奇数,假设n=k成立后,需证明的应为n=k+2时成立.9.若f(n)=12+22+33+…+(2n)2,则f(k+1)与f(k)的递推关系式是________.答案:f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2解析:∵f(k)=12+22+…+(2k)2,∴f(k+1)=12+22+…+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2;∴f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.10.用数学归纳法证明·…·>(k>1),则当n=k+1时,左端应乘上________,这个乘上去的代数式共有因式的个数是________.答案:… 2k-1解析:因为分母的公差为2,所以乘上去的第一个因式是,最后一个是,根据等差数列通项公式可求得共有+1=2k-2k-1=2k-1项.三、解答题11.(2015·绵阳一模)已知数列{xn}满足x1=,xn+1=,n∈N*.猜想数列{x2n}的单调性,并证明你的结论.解:由x1=及xn+1=,得x2=,x4=,x6=,由x2>x4>x6猜想:数列{x2n}是递减数列.下面用数学归纳法证明:①当n=1时,已证命题成立.②假设当n=k时命题成立,即x2k>x2k+2,易知xk>0,4\n当n=k+1时,x2k+2-x2k+4=-==>0,即x2(k+1)>x2(k+1)+2.也就是说,当n=k+1时命题也成立.结合①和②知命题成立.12.(2015·长沙模拟)设数列{an}满足a1=3,an+1=a-2nan+2(n=1,2,3,…).(1)求a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式(不需证明);(2)记Sn为数列{an}的前n项和,试求使得Sn<2n成立的最小正整数n,并给出证明.解:(1)a2=a-2a1+2=5,a3=a-2×2a2+2=7,a4=a-2×3a3+2=9.猜想an=2n+1(n∈N*).(2)Sn==n2+2n(n∈N*),使得Sn<2n成立的最小正整数n=6.下证:当n≥6(n∈N*)时都有2n>n2+2n.①当n=6时,26=64,62+2×6=48,64>48,命题成立.②假设n=k(k≥6,k∈N*)时,2k>k2+2k成立,那么当n=k+1时,2k+1=2·2k>2(k2+2k)=k2+2k+k2+2k>k2+2k+3+2k=(k+1)2+2(k+1),即n=k+1时,不等式成立;由①②可得,对于所有的n≥6(n∈N*)都有2n>n2+2n成立.4
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 17:45:13
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