【名师伴你行】(新课标)2023高考数学大一轮复习 第10章 第8节 n次独立重复试验与二项分布课时作业 理
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课时作业(六十八) n次独立重复试验与二项分布一、选择题1.(2015·韶关模拟)一台机床有的时间加工零件A,其余时间加工零件B,加工零件A时,停机的概率为,加工零件B时,停机的概率是,则这台机床停机的概率为( )A.B.C.D.答案:A解析:加工零件A停机的概率是×=,加工零件B停机的概率是×=,所以这台机床停机的概率是+=.2.(2015·济南模拟)根据历年气象统计资料,某地四月份吹东风的概率为,下雨的概率为,既吹东风又下雨的概率为.则在吹东风的条件下下雨的概率为( )A.B.C.D.答案:D解析:设事件A表示“该地区四月份下雨”,B表示“四月份吹东风”,则P(A)=,P(B)=,P(A∩B)=,从而在吹东风的条件下下雨的概率为P(A|B)===.故应选D.3.(2015·济南模拟)位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向向左或向右,并且向左移动的概率为,向右移动的概率为,则质点P移动五次后位于点(1,0)的概率是( )A.B.7\nC.D.答案:D解析:在五次移动中,要达到(1,0)点必须满足向右移动3个单位,向左移动2个单位,每次移动相互独立.则P=C32=.故选D.4.(2015·福建厦门质检)若某人每次射击击中目标的概率均为,此人连续射击三次,至少有两次击中目标的概率为( )A.B.C.D.答案:A解析:至少有两次击中目标包含仅有两次击中,其概率为C2;或三次都击中,其概率为C3,根据互斥事件的概率公式可得,所求概率为P=C2+C3=.5.(2015·大连模拟)把一枚骰子连续掷两次,已知在第一次抛出的是偶数点的情况下,第二次抛出的也是偶数点的概率为( )A.1B.C.D.答案:B解析:设事件A:第一次抛出的是偶数点,B:第二次抛出的是偶数点,则P(B|A)===.6.(2014·新课标全国Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A.0.8B.0.757\nC.0.6D.0.45答案:A解析:设一天空气质量优良为事件A,连续两天的空气质量优良为事件AB,由题意P(A)=0.75,P(AB)=0.6.由条件概率,得P(B|A)===0.8.二、填空题7.(2015·广州模拟)一射手对同一目标独立地射击四次,已知至少命中一次的概率为,则此射手每次射击命中的概率为________.答案:解析:由题意可知,一射手对同一目标独立地射击四次全都没有命中的概率为1-=.设此射手每次射击命中的概率为p,则(1-p)4=,所以p=.8.设随机变量X~B(2,p),随机变量Y~B(3,p),若P(X≥1)=,则P(Y≥1)=________.答案:解析:∵X~B(2,p),∴P(X≥1)=1-P(X=0)=1-C(1-p)2=,解得p=.又Y~B(3,p),∴P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-C(1-p)3=.9.(2015·淄博模拟)某学校一年级共有学生100名,其中男生60人,女生40人.来自北京的有20人,其中男生12人,若任选一人是女生,则该女生来自北京的概率是________.答案:7\n解析:设事件A=“任选一人是女生”,B=“任选一人来自北京”,依题意知,来自北京的女生有8人,这是一个条件概率,问题即计算P(B|A).由于P(A)=,P(AB)=,则P(B|A)===.10.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落的过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入A袋或B袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是,则小球落入A袋中的概率为________.答案:解析:记“小球落入A袋中”为事件A,“小球落入B袋中”为事件B,则事件A的对立事件为B,若小球落入B袋中,则小球必须一直向左落下或一直向右落下,故P(B)=3+3=,从而P(A)=1-P(B)=1-=.三、解答题11.(2015·日照检测)“光盘行动”倡导励行节约,反对铺张浪费,带动大家珍惜粮食,吃光盘子中的食物,得到从中央到民众的支持.为了解某地响应“光盘行动”的实际情况,某校几位同学组成研究性学习小组,从某社区[25,55]岁的人群中随机抽取n人进行一次调查,得到如下统计表:组数分组频数频率“光盘族”占本组比例第1组[25,30)500.0530%第2组[30,35)1000.1030%第3组[35,40)1500.1540%第4组[40,45)2000.2050%第5组[45,50)ab65%7\n第6组[50,55]2000.2060%(1)求a,b的值,并估计本社区[25,55]岁的人群中“光盘族”所占比例;(2)从年龄段在[35,40)与[40,45)的“光盘族”中,采用分层抽样方法抽取8人参加节约粮食宣传活动,并从这8人中选取2人作为领队.①已知选取2人中1人来自[35,40)中的前提下,求另一人来自年龄段[40,45)中的概率;②求2名领队的年龄之和的期望值(每个年龄段以中间值计算).解:(1)n==1000,b=1-(0.20+0.20+0.15+0.10+0.05)=0.30,∴a=1000×0.30=300,样本中的“光盘族”人数为50×0.3+100×0.3+150×0.4+200×0.5+300×0.65+200×0.6=520,样本中“光盘族”所占比例为=52%.(2)①记事件A为“其中1人来自年龄段[35,40)”,事件B为“另一人来自年龄段[40,45)”,所以概率为P(B|A)===.②设2名领队的年龄之和为随机变量ξ,则ξ的取值为75,80,85.P(ξ=75)==,P(ξ=80)==,P(ξ=85)==.∴ξ的分布列为ξ758085P所以E(ξ)=75×+80×+85×=81.25.12.(2015·青岛一模)2013年6月“神舟”发射成功.这次发射过程共有四个值得关注的环节,即发射、实验、授课、返回.据统计,由于时间关系,某班每位同学收看这四个环节的直播的概率分别为,,,,并且各个环节的直播收看互不影响.(1)现有该班甲、乙、丙三名同学,求这3名同学至少有2名同学收看发射直播的概率;7\n(2)若用X表示该班某一位同学收看的环节数,求X的分布列与期望.解:(1)设“这3名同学至少有2名同学收看发射直播”为事件A,则P(A)=C2×+C3=.(2)P(X=0)=×××=;P(X=1)=×××+×××+×××+×××=;P(X=2)=×××+×××+×××+×××+×××+×××=;P(X=3)=×××+×××+×××+×××=;P(X=4)=×××=.即X的分布列为X01234PX的期望E(X)=0×+1×+2×+3×+=.13.一个盒子中装有大量形状大小一样但质量不尽相同的小球,从中随机抽取50个作为样本,称出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为(5,15],(15,25],(25,35],(35,45],由此得到样本的质量频率分布直方图,如图.7\n(1)求a的值;(2)根据样本数据,试估计盒子中小球质量的平均值;(注:设样本数据第i组的频率为pi,第i组区间的中点值为xi(i=1,2,3,…,n),则样本数据的平均值为=x1p1+x2p2+x3p3+…+xnpn)(3)从盒子中随机抽取3个小球,其中质量在(5,15]内的小球个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.解:(1)由题意,得(0.02+0.032+a+0.018)×10=1,解得a=0.03.(2)50个样本小球质量的平均值为=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6(克).由样本估计总体,可估计盒子中小球质量的平均值约为24.6克.(3)利用样本估计总体,该盒子中小球质量在(5,15]内的概率为0.2,则ξ~B.ξ的取值为0,1,2,3,P(ξ=0)=C3=,P(ξ=1)=C·2=,P(ξ=2)=C2·=,P(ξ=3)=C3=.∴ξ的分布列为ξ0123P∴E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.7
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