2025年高考数学一轮讲义第6章 第3课时　等比数列

第3课时　等比数列[考试要求]　1．理解等比数列的概念.2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3．了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第__项起，每一项与它的前一项的比都等于__________，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的____，通常用字母q表示，定义的表达式为__＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么__叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.提醒：①“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件．②在等比数列中，奇数项同号，偶数项同号．2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝____________＝amqn－m.(2)前n项和公式：Sn＝__________q=1，_________=________q≠1．提醒：求等比数列前n项和时，若公比q不明确，需分类讨论．3．等比数列的性质(1)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝____·____＝ak2.(2)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则λanλ≠0，1an，an2，{an·bn}，anbn仍然是等比数列．(3)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，q＝－1且n为偶数时除外．[常用结论]1．等比数列的单调性5/5 当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列．2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，且q≠0)．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列{an}的公比q>1，则该数列单调递增．(　　)(2)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　)(3)如果正项数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．(　　)(4)若数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和Sn＝a1-an1-a．(　　)(5)若数列{an}为等比数列，Sn是其前n项和，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第二册P37练习T1(3)改编)在等比数列{an}中，a3＝32，S3＝92，则a2的值为(　　)A．32　　B．－3　C．－32　　D．－3或322．(人教A版选择性必修第二册P37例9改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6等于(　　)A．31　B．32C．63　D．643．(人教A版选择性必修第二册P34练习T1改编)在1和9之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间三个数的积等于________．4．(人教A版选择性必修第二册P37练习T4改编)已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________．考点一　等比数列基本量的运算[典例1]　(1)(2024·河北唐山模拟)已知数列ann为等比数列，且a4＝2，a8＝165/5 ，则a10＝(　　)A．30　B．±30C．40　D．±40(2)(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　等比数列基本量的运算的解题策略(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．提醒：运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意公比q的讨论(q＝1或q≠1)，否则会漏解或增解．[跟进训练]1．(1)(2024·山东淄博实验中学模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5S10＝133，a4＝8，则S8＝(　　)A．127　B．254C．510　D．255(2)(2023·北京高考)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1＝1，a5＝12，a9＝192，则a7＝________，数列{an}所有项的和为________．考点二　等比数列的判定与证明[典例2]　已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{an}是等比数列；②数列{Sn＋a1}是等比数列；③a2＝2a1.[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5/5 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　判定一个数列为等比数列的常见方法[跟进训练]2．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.(1)求an及Sn；(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点三　等比数列性质的应用[典例3]　(1)(2023·福建漳州三模)已知数列{an}为递减的等比数列，n∈N*，且a2a7＝32，a3＋a6＝18，则an的公比为(　　)A．12　　　B．1235　　　C．235　　　D．2(2)记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S3＝1，S6＝5，则S9-S6S6-S3＝________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　应用等比数列性质的两个关注点5/5 [跟进训练]3．(1)在等比数列{an}中，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，则a7＋a8等于(　　)A．40　B．36C．54　D．81(2)(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________．(3)已知正项等比数列{an}共有2n项，它的所有项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________．5/5