2025年高考数学一轮讲义第3章 第3课时　导数与函数的极值、最值

第3课时　导数与函数的极值、最值[考试要求]　1．借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2．会用导数求函数的极大值、极小值.3．会求闭区间上函数的最大值、最小值．1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧______________，右侧______________．则__叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧______________，右侧______________．则__叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为______，极小值和极大值统称为____．提醒：①对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．例如：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，当x0＝0时，f′(x0)＝0，但x0＝0不是f(x)的极值点；②区分极值与极值点．2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的____；②将函数y＝f(x)的各极值与________________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[常用结论]5/5 1．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值．2．单调函数无极值，区间端点一定不是极值点．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值不一定比极小值大．(　　)(2)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．(　　)(3)函数的极大值一定是函数的最大值．(　　)(4)函数在某区间上的极大值是唯一的．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第二册P92练习T1改编)函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的极小值点的个数为(　　)A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．42．(人教A版选择性必修第二册P92练习T2改编)已知函数f(x)＝lnxx，则f(x)的极大值为(　　)A．－e　B．1eC．1　D．03．(人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T9改编)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为________．4．(人教A版选择性必修第二册P93例6改编)若函数f(x)＝13x3－4x＋m在[0，3]上的最大值为4，则m＝________．考点一　利用导数研究函数的极值　根据函数的图象判断函数的极值[典例1]　(2023·巴蜀中学一模)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x＋1)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　)5/5 A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3)B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3)C．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)D．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求已知函数的极值[典例2]　已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)当a＝12时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　已知函数的极值(点)求参数[典例3]　(1)(2023·贵州铜仁二模)已知函数f(x)＝xex和g(x)＝lnxx＋b有相同的极大值，则b＝(　　)A．0　　B．2　C．－1　　D．－3(2)(2024·河南信阳模拟)已知函数f(x)＝(lnx)2－ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5/5 　与函数极值相关的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤①确定函数的定义域．②求导数f′(x)．③解方程f′(x)＝0，求出方程f′(x)＝0在定义域内的所有根．④列表检验f′(x)在f′(x)＝0各个根的左、右两侧值的符号．(2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．②验证：求解后验证根的合理性．不满足题意可能有两种情况：一是函数在定义域内单调，二是函数在极值点左、右两侧的单调性相反，即极值相反．[跟进训练]1．(1)函数f(x)＝lnx＋12x2－ax(x>0)在12，3上有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是(　　)A．52，103　　　B．52，103C．52，103　D．2，103(2)设函数f(x)＝exx－a(x－1)，其中a∈R.若函数f(x)在(－2，－1)上有极大值，求实数a的取值范围．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点二　利用导数研究函数的最值[典例4]　已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a为常数．(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5/5 求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤[跟进训练]2．(1)(2022·全国乙卷)函数f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1在区间0，2π的最小值、最大值分别为(　　)A．－π2，π2　B．－3π2，π2C．－π2，π2＋2　D．－3π2，π2＋2(2)函数f(x)＝－13x3＋x在(a，10－a2)上有最大值，则实数a的取值范围是________．3．设实数a>0，求函数f(x)＝alnxx在[a，2a]上的最小值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5/5