2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第3章　§3.3　导数与函数的极值、最值

§3.3导数与函数的极值、最值第三章一元函数的导数及其应用 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 1.函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.f′(x)<0f′(x)>0 (2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧，右侧，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.(3)极小值点、极大值点统称为，极小值和极大值统称为.f′(x)>0f′(x)<0极值点极值 2.函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的；②将函数y＝f(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.连续不断极值端点处的函数值f(a)，f(b) 对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件. 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有.()(2)函数的极小值一定小于函数的极大值.()(3)函数的极小值一定是函数的最小值.()(4)函数的极大值一定不是函数的最小值.()√××√ 1.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为A.1B.2C.3D.4√由题意知，只有在x＝－1处，f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，故f(x)的极小值点只有1个. 2.函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是__________________________.f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0， 3.若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝____.4f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增.又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4. 探究核心题型第二部分 题型一利用导数求解函数的极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1(多选)(2023·华南师大附中模拟)如图是y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是A.当x＝－1时，f(x)取得极小值B.f(x)在[－2,1]上单调递增C.当x＝2时，f(x)取得极大值D.f(x)在[－1,2]上不具备单调性√√ 由导函数f′(x)的图象可知，当－2<x<－1时，f′(x)<0，则f(x)单调递减；当x＝－1时，f′(x)＝0；当－1<x<2时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；当x＝2时，f′(x)＝0；当2<x<4时，f′(x)<0，则f(x)单调递减；当x＝4时，f′(x)＝0，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值，故选项A正确； f(x)在[－2,1]上有减有增，故选项B错误；当x＝2时，f(x)取得极大值，故选项C正确；f(x)在[－1,2]上单调递增，故选项D错误. 命题点2求已知函数的极值例2(2022·西南大学附中模拟)已知函数f(x)＝lnx＋2ax2＋2(a＋1)x(a≠0)，讨论函数f(x)的极值. 因为f(x)＝lnx＋2ax2＋2(a＋1)x， 若a>0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0恒成立，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值.当a>0时，f(x)无极值. 命题点3已知极值(点)求参数例3(1)(2023·福州质检)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则c的值为A.2B.4C.6D.2或6√ 由题意，f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)·(3x－c)，则f′(2)＝(2－c)(6－c)＝0，所以c＝2或c＝6.若c＝2，则f′(x)＝(x－2)(3x－2)，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，函数f(x)在x＝2处有极小值，满足题意； 若c＝6，则f′(x)＝(x－6)(3x－6)，当x∈(－∞，2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(2,6)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，函数f(x)在x＝2处有极大值，不符合题意.综上，c＝2. (2)(2023·威海模拟)若函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为√ 由f(x)＝ex－ax2－2ax，得f′(x)＝ex－2ax－2a.因为函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，所以f′(x)＝ex－2ax－2a有两个变号零点， 当x>0时，g′(x)<0；当x<0时，g′(x)>0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减. 根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)验证：求解后验证根的合理性.思维升华 跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则a＋b的值为A.－1或3B.1或－3C.3D.－1√ 因为f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b，因为函数f(x)在x＝1处取得极大值10，所以f′(1)＝3＋2a＋b＝0，①f(1)＝1＋a＋b－a2－7a＝10，②联立①②，解得a＝－2，b＝1或a＝－6，b＝9. 当a＝－6，b＝9时，f′(x)＝3x2－12x＋9＝(x－1)(3x－9)，f(x)在(－∞，1)和(3，＋∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，故f(x)在x＝1处取得极大值10，符合题意.综上可得，a＝－6，b＝9.则a＋b＝3. √ ∴φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， 又当x→＋∞时，φ(x)→＋∞， 命题点1不含参函数的最值例4(2022·全国乙卷)函数f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为题型二利用导数求函数最值√ f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1，x∈[0,2π]，则f′(x)＝－sinx＋sinx＋(x＋1)·cosx＝(x＋1)cosx，x∈[0,2π].又f(0)＝cos0＋(0＋1)sin0＋1＝2，f(2π)＝cos2π＋(2π＋1)sin2π＋1＝2， 命题点2含参函数的最值例5已知函数f(x)＝－lnx(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性；①若a≤0，则f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减；②若a>0，则当x>a时，f′(x)<0；当0<x<a时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减. 所以f(x)max＝f(a)＝－lna； 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 跟踪训练2(1)(2021·新高考全国Ⅰ)函数f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值为_____.1 函数f(x)＝|2x－1|－2lnx的定义域为(0，＋∞).当x>1时，f′(x)>0，所以f(x)min＝f(1)＝2－1－2ln1＝1； 综上，f(x)min＝1. (2)已知函数h(x)＝x－alnx＋(a∈R)在区间[1，e]上的最小值小于零，求a的取值范围. ①当a＋1≤0，即a≤－1时，h′(x)>0恒成立，即h(x)在(0，＋∞)上单调递增，则h(x)在[1，e]上单调递增，故h(x)min＝h(1)＝2＋a<0，解得a<－2；②当a＋1>0，即a>－1时，在(0，a＋1)上，h′(x)<0，在(a＋1，＋∞)上，h′(x)>0，所以h(x)在(0，a＋1)上单调递减，在(a＋1，＋∞)上单调递增， 若a＋1≤1，求得h(x)min>1，不合题意；若1<a＋1<e，即0<a<e－1，则h(x)在(1，a＋1)上单调递减，在(a＋1，e)上单调递增，故h(x)min＝h(a＋1)＝2＋a[1－ln(a＋1)]>2，不合题意；若a＋1≥e，即a≥e－1，则h(x)在[1，e]上单调递减， 课时精练第三部分 基础保分练12345678910111213141.(多选)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是A.f(x)在区间(－2,3)上有2个极值点B.f′(x)在x＝－1处取得极小值C.f(x)在区间(－2,3)上单调递减D.f(x)在x＝0处的切线斜率小于0√√√ 根据f′(x)的图象可得，在(－2,3)上，f′(x)≤0，∴f(x)在(－2,3)上单调递减，∴f(x)在区间(－2,3)上没有极值点，故A错误，C正确；由f′(x)的图象易知B正确；根据f′(x)的图象可得f′(0)<0，即f(x)在x＝0处的切线斜率小于0，故D正确.1234567891011121314 1234567891011121314√ 1234567891011121314 1234567891011121314√ 由函数f(x)＝2lnx＋ax2－3x，因为x＝2是f(x)的极值点，可得f′(2)＝1＋4a－3＝0，1234567891011121314 当1<x<2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当2<x≤3时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以f(1)<f(3)，1234567891011121314 1234567891011121314√ 因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，1234567891011121314 1234567891011121314因此函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，当x＝1时取最大值，满足题意. 12345678910111213145.已知函数f(x)＝ax2－2x＋lnx有两个不同的极值点x1，x2，则实数a的取值范围为√ 由f(x)＝ax2－2x＋lnx(x>0)，若函数f(x)＝ax2－2x＋lnx有两个不同的极值点x1，x2，则方程2ax2－2x＋1＝0有两个不相等的正实根，1234567891011121314 12345678910111213146.(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则A.f(x)有两个极值点B.f(x)有三个零点C.点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心D.直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线√√ 因为f(x)＝x3－x＋1，所以f′(x)＝3x2－1.1234567891011121314 因为函数g(x)＝x3－x的图象向上平移一个单位长度得函数f(x)＝x3－x＋1的图象，函数g(x)＝x3－x的图象关于原点(0,0)中心对称且g(0)＝0，所以点(0,1)是曲线f(x)＝x3－x＋1的对称中心，故C正确；1234567891011121314 1234567891011121314若x0＝1，则切点坐标为(1,1)，但点(1,1)不在直线y＝2x上；若x0＝－1，则切点坐标为(－1,1)，但点(－1,1)不在直线y＝2x上，所以假设不成立，故D错误.故选AC. 12345678910111213147.(2023·潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数f(x)＝_________________.sinx(答案不唯一)正弦函数f(x)＝sinx为奇函数，且存在极值. 12345678910111213148.甲、乙两地相距240km，汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为元.为使全程运输成本最小，汽车应以____km/h的速度行驶.80 1234567891011121314设全程运输成本为y元，令y′＝0，得v＝80.当v>80时，y′>0；当0<v<80时，y′<0. 1234567891011121314所以当v＝80时，全程运输成本最小. 12345678910111213149.设函数f(x)＝alnx＋＋2a2x－4a，其中a>0.(1)讨论f(x)的单调性； ∵a>0，1234567891011121314 1234567891011121314 1234567891011121314(2)若y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围.∵y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，∴1－lna>0，∴0<a<e.∴a的取值范围为(0，e). 10.(2023·张家口质检)已知函数f(x)＝ex＋e－x－ax2－2.(1)当a＝1时，证明：函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；当a＝1时，f(x)＝ex＋e－x－x2－2，f′(x)＝ex－e－x－2x.令φ(x)＝ex－e－x－2x，当x>0时，φ′(x)＝ex＋e－x－2>0，所以函数f′(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，故f′(x)>f′(0)＝0，故函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增.1234567891011121314 1234567891011121314(2)若g(x)＝f(x)－e－x，讨论函数g(x)的极值点的个数. 由题意知，g(x)＝ex－ax2－2，当a＝0时，g(x)＝ex－2单调递增，无极值点，当a≠0时，g′(x)＝ex－2ax，由g′(0)＝1，得x＝0不是极值点.1234567891011121314 1234567891011121314当x<0时，h(x)<0，且h′(x)<0，故函数g(x)存在一个极值点；当0<x<1时，h′(x)<0，当x>1时，h′(x)>0，故函数h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，h(1)＝e为函数h(x)的极小值， 故函数g(x)无极值点.1234567891011121314 综上，当a<0时，函数g(x)存在一个极值点，1234567891011121314 11.(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2综合提升练1234567891011121314√ 1234567891011121314当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图1所示，观察可知b>a.当a<0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图2所示，观察可知a>b.综上，可知必有ab>a2成立.图2图1 1234567891011121314√ 1234567891011121314当t∈(0,1)时，f′(t)<0，f(t)单调递减； 1234567891011121314当t∈(1，＋∞)时，f′(t)>0，f(t)单调递增，因此b－a的最小值为2. 拓展冲刺练123456789101112131413.如图所示，已知直线y＝kx与曲线y＝f(x)相切于两点，函数g(x)＝kx＋m(m>0)，则对函数F(x)＝g(x)－f(x)描述正确的是A.有极小值点，没有极大值点B.有极大值点，没有极小值点C.至少有两个极小值点和一个极大值点D.至少有一个极小值点和两个极大值点√ 1234567891011121314由题意得，F(x)＝kx＋m－f(x)，则F′(x)＝k－f′(x)，设直线y＝kx与曲线y＝f(x)的两个切点的横坐标分别为x1，x2且x1<x2，所以F′(x)＝0的两个零点为x1，x2，由图知，存在x0∈(x1，x2)使F′(x0)＝0，综上，F′(x)有三个不同零点x1<x0<x2， 1234567891011121314由图可得在(0，x1)上F′(x)<0，在(x1，x0)上F′(x)>0，在(x0，x2)上F′(x)<0，在(x2，＋∞)上F′(x)>0，所以F(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1，x0)上单调递增，在(x0，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增.故F(x)至少有两个极小值点和一个极大值点. 14.设函数f(x)＝mx2ex＋1，若对任意a，b，c∈[－3,1]，f(a)，f(b)，f(c)都可以作为一个三角形的三边长，则m的取值范围为__________.1234567891011121314 1234567891011121314设函数g(x)＝x2ex，x∈[－3,1]，则g′(x)＝x(x＋2)ex.当－3≤x<－2或0<x≤1时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当－2<x<0时，g′(x)<0，g(x)单调递减.所以g(x)的值域为[0，e]. 1234567891011121314