2025年高考数学一轮讲义第1章 第1课时　集合

第1课时　集合[考试要求]　1．了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2．理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3．会求两个集合的并集、交集与补集.4．能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的两种关系：属于和不属于，分别用符号____和____表示．(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法和图示法．(4)五个特定的数集的表示集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法N__________________2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中____________都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B或(B⊇A)．(2)真子集：如果集合A⊆B，但____元素x∈B，且______，就称集合A是集合B的真子集，记作AB或(BA)．(3)相等：若A⊆B，且______，则A＝B.提醒：(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．3．集合的基本运算并集交集补集6/6 图形表示集合表示A∪B＝________________________A∩B＝________________________∁UA＝________________________[常用结论]1．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A．2．card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．3．(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)；(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}．(　　)(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．(　　)(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1．(　　)(4)直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{1，4}．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P8例1改编)集合A＝{2，3，4}的子集有(　　)A．4个　　B．6个　　C．8个　　D．9个2．(多选)(人教A版必修第一册P5习题1.1T1改编)若集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列结论正确的是(　　)A．1∈A　B．{－1}⊆AC．∅⊆A　D．{－1，1}∉A3．(人教A版必修第一册P35T9改编)(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　)A．2　　　　B．1　　　C．23　　　　D．－14．(人教A版必修第一册P14T4改编)设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜9}，B＝{x|(x－2)(x－10)＜0}，则∁R(A∪B)＝________，(∁RA)∩B＝________．6/6 考点一　集合的概念[典例1]　(1)已知集合A＝{1，2，3}，则B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，|x－y|∈A}中所含元素的个数为(　　)A．2　　B．4　C．6　　D．8(2)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解决集合含义问题的注意点一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．[跟进训练]1．(1)(2023·上海高考)已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P且x∉Q}，则M＝(　　)A．{1}　　　　　　B．{2}C．{1，2}　D．{1，2，3}(2)已知集合A＝x∈N4x-2∈Z，则集合A中的元素个数为(　　)A．3　　B．4　C．5　　D．6考点二　集合间的基本关系[典例2]　(1)(2023·江苏南京、盐城一模)设M＝xx=k2，k∈Z，N＝xx=k+12，k∈Z，则(　　)A．MN　B．NMC．M＝N　D．M∩N＝∅(2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6/6 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等直观表示解决这类问题的过程，特别注意端点值的取舍，“＝”加不加．提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．[跟进训练]2．(1)(2024·广东肇庆期中)设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，集合B＝{x|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a取值集合的真子集的个数为(　　)A．2　B．3C．7　D．8(2)(2024·福建厦门模拟)设集合A＝{x|1≤x≤3}，集合B＝{x|y＝x-1}，若ACB，写出一个符合条件的集合C，则C＝________．(写出一个即可)考点三　集合的基本运算　集合的运算[典例3]　(1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　)A．{－2，－1，0，1}　B．{0，1，2}C．{－2}　D．{2}(2)全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4，6，7}，则A∪B＝________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　利用集合的运算求参数[典例4]　已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，－2)　B．(－∞，－2]6/6 C．(－4，＋∞)　D．(－∞，－4][听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解决集合运算问题的注意点(1)看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值．(2)对集合进行化简，即解不等式，解方程，求定义域、值域等，通过化简可以使问题变得简单明了．(3)注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图．(4)端点值验证．[跟进训练]3．(1)(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝(　　)A．∁U(M∪N)　B．N∪∁UMC．∁U(M∩N)　D．M∪∁UN(2)(2024年1月九省联考卷)已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为________．考点四　Venn图的应用及创新性问题[典例5]　(1)如图所示，A，B是非空集合，定义集合A⊕B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＝3x，x＞0}，则A⊕B＝________．(2)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Venn图具有形象直观的特征，应用Venn图可以解决两大类问题：6/6 一是处理部分有限集合的元素个数的计数问题；二是解决抽象集合的运算问题或判断集合间的关系问题．[跟进训练]4．(1)已知集合P，Q均为R的子集，且(∁RQ)∪P＝R，则(　　)A．P∩Q＝R　B．P⊆QC．Q⊆P　D．P∪Q＝R(2)某中学为了解本校学生阅读《西游记》和《红楼梦》的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则阅读过《西游记》的学生人数为(　　)A．60　　　B．70　　C．80　　　D．906/6