2025年高考数学一轮复习教学课件第3章 第3课时　导数与函数的极值、最值

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第三章一元函数的导数及其应用 第3课时　导数与函数的极值、最值对应学生用书第67页 考试要求借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.会求闭区间上函数的最大值、最小值．会用导数求函数的极大值、极小值. 链接教材　夯基固本第3课时　导数与函数的极值、最值1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧___________，右侧___________．则_叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．f′(x)<0f′(x)>0a (2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧___________，右侧___________．则_叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为______，极小值和极大值统称为____．提醒：①对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．例如：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，当x0＝0时，f′(x0)＝0，但x0＝0不是f(x)的极值点；②区分极值与极值点．f′(x)>0f′(x)<0b极值点极值 2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的____；②将函数y＝f(x)的各极值与____________________________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[常用结论]1．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值．2．单调函数无极值，区间端点一定不是极值点．连续不断极值端点处的函数值f(a)，f(b) 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值不一定比极小值大．()(2)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．()(3)函数的极大值一定是函数的最大值．()(4)函数在某区间上的极大值是唯一的．()√××× √二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第二册P92练习T1改编)函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的极小值点的个数为()A．1B．2C．3D．4A[由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，f(x)在x＝－1左减右增，函数f(x)在x＝－1处取得极小值．故选A.]243题号1 √2．(人教A版选择性必修第二册P92练习T2改编)已知函数f(x)＝，则f(x)的极大值为()A．－eB．C．1D．0243题号1B[函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝，令f′(x)＝0，解得x＝e，f′(x)，f(x)在(0，＋∞)上的变化情况列表如下：所以函数f(x)的极大值为f(e)＝.]x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值单调递减 3．(人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T9改编)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为________．2[函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2.由题意知，f(x)在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6.当c＝6时，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x－2)(x－6)，易得f(x)在x＝2处有极大值．当c＝2时，f′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)，易得f(x)在x＝2处有极小值．故c＝2．]243题号12 4．(人教A版选择性必修第二册P93例6改编)若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0，3]上的最大值为4，则m＝________．243题号14[f′(x)＝x2－4，x∈[0，3]，当x∈[0，2)时，f′(x)<0，当x∈(2，3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0，3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4．]4 典例精研　核心考点第3课时　导数与函数的极值、最值考点一　利用导数研究函数的极值考向1根据函数的图象判断函数的极值[典例1](2023·巴蜀中学一模)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x＋1)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是()A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3)B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3)C．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)D．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)C[由题图可知，当x＜－3时，x＋1＜0，则f′(x)＜0，当－3＜x＜－1时，x＋1＜0，则f′(x)＞0，当－1＜x＜3时，x＋1＞0，则f′(x)＞0，当x＞3时，x＋1＞0，则f′(x)＜0，所以函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)．故选C.]√ 考向2求已知函数的极值[典例2]已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)当a＝时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．[解](1)当a＝时，f(x)＝lnx－x，定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝＝.令f′(x)＝0，解得x＝2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表．故f(x)在定义域上的极大值为f(2)＝ln2－1，无极小值．x(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)单调递增ln2－1单调递减 (2)函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝.当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)在定义域上无极值点；当a>0，x∈时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0，故函数f(x)在x＝处有极大值．综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点；当a>0时，函数f(x)有一个极大值点，且极大值点为x＝. 考向3已知函数的极值(点)求参数[典例3](1)(2023·贵州铜仁二模)已知函数f(x)＝和g(x)＝＋b有相同的极大值，则b＝()A．0B．2C．－1D．－3(2)(2024·河南信阳模拟)已知函数f(x)＝(lnx)2－ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是________．√(1)A(2)[(1)f′(x)＝，x∈R，令f′(x)>0，解得x<1，令f′(x)<0，解得x>1，∴f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴f(x)在x＝1处取得极大值，为f(1)＝.g′(x)＝，x＞0，令g′(x)<0，解得x>e，令g′(x)>0，解得0<x<e，∴g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∴g(x)在x＝e处取得极大值，为g(e)＝＋b，依据题意，f(x)和g(x)有相同的极大值，故f(1)＝g(e)，解得b＝0.故选A. (2)函数f(x)＝(lnx)2－ax2的定义域为(0，＋∞)，导函数f′(x)＝－2ax，由已知－2ax＝0有两个不相等的正实数根，∴a＝有两个不相等正实数根，令g(x)＝，则g′(x)＝，由g′(x)＝0，得x＝.当x∈(0，)时，g′(x)>0，函数g(x)在(0，)上单调递增；当x∈(，＋∞)时，g′(x)<0，函数g(x)在(，＋∞)上单调递减．又g(1)＝0，g()＝，当x>1时，g(x)>0，当0<x<1时，g(x)<0，当x→＋∞时，g(x)→0，∴函数g(x)的图象如图，所以实数a的取值范围是.] 【教师备选资源】已知函数f(x)＝x3－ax2＋x在区间上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞)B．C．D．√C[函数f(x)＝x3－ax2＋x，导函数f′(x)＝x2－ax＋1．因为f(x)在上既有极大值又有极小值，所以f′(x)＝0在内应有两个不同的实数根．所以解得2<a<，所以实数a的取值范围为.故选C.] 名师点评与函数极值相关的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤①确定函数的定义域．②求导数f′(x)．③解方程f′(x)＝0，求出方程f′(x)＝0在定义域内的所有根．④列表检验f′(x)在f′(x)＝0各个根的左、右两侧值的符号．(2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．②验证：求解后验证根的合理性．不满足题意可能有两种情况：一是函数在定义域内单调，二是函数在极值点左、右两侧的单调性相反，即极值相反． [跟进训练]1．(1)函数f(x)＝lnx＋x2－ax(x>0)在上有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是()A．B．C．D．(2)设函数f(x)＝－a(x－1)，其中a∈R.若函数f(x)在(－2，－1)上有极大值，求实数a的取值范围．√ (1)B[∵f(x)＝lnx＋x2－ax(x>0)，∴f′(x)＝＋x－a，∵函数f(x)＝lnx＋x2－ax(x>0)在上有且仅有一个极值点，∴y＝f′(x)在上只有一个变号零点．令f′(x)＝＋x－a＝0，得a＝＋x.设g(x)＝＋x，则g(x)在上单调递减，在[1，3]上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝2，又g＝，g(3)＝，结合函数g(x)＝＋x，x∈的图象(图略)可得，当≤a<时，y＝f′(x)在上只有一个变号零点．∴实数a的取值范围为.] (2)[解]f′(x)＝－a，令g(x)＝－a，则g′(x)＝.因为对于任意x∈(－2，－1)，g′(x)＝<0恒成立，所以g(x)在(－2，－1)上单调递减，即f′(x)在(－2，－1)上单调递减，因为f(x)在(－2，－1)上有极大值，所以y＝f′(x)在(－2，－1)上存在“左正右负”变号零点．由零点存在定理只需即所以－<a<－.所以函数f(x)在(－2，－1)上有极大值时，实数a的取值范围为. 考点二　利用导数研究函数的最值[典例4]已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a为常数．(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．[解](1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时，f(x)＝－x＋lnx，f′(x)＝－1＋＝，令f′(x)＝0，得x＝1.当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0.∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∴f(x)max＝f(1)＝－1.∴当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1. (2)f′(x)＝a＋，x∈(0，e]，∈.①若a≥－，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上单调递增，∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不符合题意．②若a<－，令f′(x)>0，得a＋>0，结合x∈(0，e]，解得0<x<－；令f′(x)<0，得a＋<0，结合x∈(0，e]，解得－<x≤e.从而f(x)在上单调递增，在上单调递减，∴f(x)max＝f＝－1＋ln.令－1＋ln＝－3，得a＝－e2.∵－e2<－，∴a＝－e2. 【教师备选资源】已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当0＜a＜3时，记f(x)在区间[0，1]上的最大值为M，最小值为m，求M－m的取值范围．[解](1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.若a＞0，则当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，当x∈时，f′(x)＜0，故f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减； 若a＝0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；若a＜0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，当x∈时，f′(x)＜0，故f(x)在，(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减．综上，当a＞0时，f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减；当a＝0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a＜0时，f(x)在，(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减． (2)当0＜a＜3时，由(1)知，f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)在[0，1]上的最小值为f＝－＋2，最大值为f(0)＝2或f(1)＝4－a.于是m＝－＋2，M＝所以M－m＝当0＜a＜2时，可知y＝2－a＋单调递减，所以M－m的取值范围是；当2≤a＜3时，y＝单调递增，所以M－m的取值范围是.综上，M－m的取值范围是. 名师点评求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤 [跟进训练]2．(1)(2022·全国乙卷)函数f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1在区间的最小值、最大值分别为()A．－B．－C．－＋2D．－＋2(2)函数f(x)＝－x3＋x在(a，10－a2)上有最大值，则实数a的取值范围是________．(1)D(2)[－2，1)[(1)f′(x)＝－sinx＋sinx＋(x＋1)cosx＝(x＋1)cosx，所以在区间和上f′(x)>0，即f(x)单调递增；在区间上f′(x)<0，即f(x)单调递减．又f(0)＝f(2π)＝2，f＝＋2，f＝－，所以f(x)在区间上的最小值为－，最大值为＋2.故选D.(2)由于f′(x)＝－x2＋1，易知f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1，1)上单调递增，故若函数f(x)在(a，10－a2)上存在最大值，则即－2≤a＜1．]√[－2，1) 3．设实数a>0，求函数f(x)＝在[a，2a]上的最小值．[解]因为f(x)＝，所以f′(x)＝(a>0，x>0)，令f′(x)>0，得0<x<e；令f′(x)<0，得x>e，所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以f(x)在[a，2a]上的最小值f(x)min＝min{f(a)，f(2a)}．因为f(a)－f(2a)＝lna－ln(2a)＝ln，所以当0<a≤2时，f(a)－f(2a)≤0，f(x)min＝f(a)＝lna.当a>2时，f(a)－f(2a)>0，f(x)min＝f(2a)＝ln(2a)．综上所述，当0<a≤2时，f(x)在[a，2a]上的最小值为lna；当a>2时，f(x)在[a，2a]上的最小值为ln(2a)． 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(十九)导数与函数的极值、最值 THANKS