2025年高考数学一轮复习教学课件第4章 第7课时　正弦定理、余弦定理

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第四章三角函数与解三角形 第7课时　正弦定理、余弦定理对应学生用书第103页 考试要求掌握正弦定理、余弦定理及其变形.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题． 链接教材　夯基固本第7课时　正弦定理、余弦定理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2Ra2＝___________________；b2＝___________________；c2＝___________________变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(3)＝＝2RcosA＝；cosB＝；cosC＝b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC 2．三角形常用面积公式(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝absinC＝acsinB＝________；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)；(4)S＝.bcsinA [常用结论]1．三角形中的边角关系在△ABC中，大边对大角，大角对大边，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB⇔cosA＜cosB.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB. 4．数量积的余弦定理式在△ABC中，·＝.5．角平分线定理＝(在△ABC中，AD是∠BAC的平分线)．6．在△ABC中，sin2A＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝.7．在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成等差(等比)数列，则0＜B≤. 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，一定有a＋b＋c＝sinA＋sinB＋sinC．()(2)在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则必有A＝B．()(3)当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形．()××× 二、教材经典衍生1．(人教A版必修第二册P47例7改编)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝()A．2B．1C．D．D[由＝得b＝＝＝×2＝.]2．(人教A版必修第二册P44练习T1(2)改编)在△ABC中，若a＝2，c＝4，B＝60°，则b等于()A．2B．12C．2D．28A[由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝4＋16－8＝12，所以b＝2.]√√ 3．(人教A版必修第二册P47例8改编)在△ABC中，已知B＝45°，b＝2，c＝，则C＝________．30°[由正弦定理得sinC＝＝＝，因为b＞c，B＝45°，所以C＝30°.]4．(人教A版必修第二册P44练习T2改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，则cosA＝________，△ABC的面积为________．[依题意得cosA＝＝，所以sinA＝＝，所以△ABC的面积为bcsinA＝.]30° 典例精研　核心考点第7课时　正弦定理、余弦定理考点一　解三角形[典例1](2023·北京房山区二模)在△ABC中，cos2B＝－，c＝8，b＝7.(1)求sinC；(2)若角C为钝角，求△ABC的周长．[解](1)因为cos2B＝2cos2B－1＝－，所以cos2B＝，可得sinB＝＝，又c＝8，b＝7，所以由正弦定理，得sinC＝＝＝. (2)因为角C为钝角，所以cosC＝－＝－，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，可得82＝a2＋72－2×a×7×，整理可得a2＋2a－15＝0，解得a＝3或－5(舍去)，所以△ABC的周长a＋b＋c＝18.名师点评解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，要考虑用正弦定理．以上特征都不明显时，要考虑两个定理都有可能用到． [跟进训练]1．(1)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsin2A＝asinB，且c＝2b，则等于()A．2B．3C．D．(2)(2024·重庆模拟)在△ABC中，若2cos2A－cosA＝2cos2B＋2cos2C－2＋cos(B－C)，则A＝()A．B．C．D．√√ (1)D(2)B[(1)由正弦定理及bsin2A＝asinB，得2sinB·sinAcosA＝sinAsinB，又sinA≠0，sinB≠0，则cosA＝.又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋4b2－4b2×＝3b2，得＝.故选D.(2)因为2cos2A－cosA＝2cos2B＋2cos2C－2＋cos(B－C)，所以2(1－sin2A)－cos[π－(B＋C)]＝2(1－sin2B)＋2(1－sin2C)－2＋cos(B－C)，则2－2sin2A＋cosBcosC－sinBsinC＝2－2sin2B－2sin2C＋cosBcosC＋sinBsinC，整理得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC.所以b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理的推论得cosA＝＝＝，因为A∈(0，π)，故A＝.故选B.] 【教师备选资源】1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝，c＝2，则()A．C＝45°B．A＝15°C．a＝－1D．△ABC为钝角三角形D[由正弦定理＝，得＝，所以sinC＝，因为0°＜C＜180°，所以C＝45°或C＝135°，故ABC均错误，当C＝45°时，A＝180°－45°－30°＝105°，△ABC为钝角三角形，当C＝135°时，△ABC为钝角三角形，故D正确．故选D.]√ 2．(2024·山东济南期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2C－cos2B＋sin2A＝sinAsinB＝，且△ABC的面积为，则边c的值为________．[∵cos2C－cos2B＋sin2A＝sinAsinB，∴1－sin2C－(1－sin2B)＋sin2A＝sinAsinB，即sin2B＋sin2A－sin2C＝sinAsinB，由正弦定理角化边得b2＋a2－c2＝ab，∴cosC＝＝＝，C＝，由正弦定理＝＝，∴＝，即2ab＝，化简得c2＝ab，又△ABC的面积S△ABC＝absinC＝，∴ab＝4，∴c2＝6，解得c＝.] 3．(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinB·sin(C－A)．(1)证明：2a2＝b2＋c2；(2)若a＝5，cosA＝，求△ABC的周长．[解](1)证明：因为sinCsin(A－B)＝sinB·sin(C－A)，所以sinCsinAcosB－sinCsinBcosA＝sinB·sinCcosA－sinBsinAcosC，所以ac·－2bc·＝－ab·，即－(b2＋c2－a2)＝－，所以2a2＝b2＋c2. (2)因为a＝5，cosA＝，由(1)得b2＋c2＝50，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得50－bc＝25，所以bc＝，故(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝50＋31＝81，所以b＋c＝9，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝14. 考点二　判断三角形的形状[典例2]设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定A[法一(化角为边)：因为bcosC＋ccosB＝b·＋c·＝＝a，所以asinA＝a，即sinA＝1，故A＝，因此△ABC是直角三角形．法二(化边为角)：因为bcosC＋ccosB＝asinA，所以sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，所以sinA＝sin2A，故sinA＝1，即A＝，因此△ABC是直角三角形．法三(射影定理)：bcosC＋ccosB＝a＝asinA，所以sinA＝1，故A＝，因此△ABC是直角三角形．]√ [拓展变式]若本例条件变为＝，判断△ABC的形状．[解]由＝，得＝，所以sinAcosA＝cosBsinB，所以sin2A＝sin2B.因为A，B为△ABC的内角，所以2A＝2B或2A＝π－2B，所以A＝B或A＋B＝，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形． 名师点评判定三角形形状的两种常用途径 [跟进训练]2．在△ABC中，＝sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形A[因为sin2＝，所以＝，即cosB＝.法一：由余弦定理得＝，即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．法二：由正弦定理得cosB＝，又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，所以cosBsinC＝sinBcosC＋cosBsinC，即sinBcosC＝0，又sinB≠0，所以cosC＝0，又角C为三角形的内角，所以C＝，所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．]√ 考点三　三角形面积的计算[典例3](2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1．(1)求sin∠ABC；(2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积．[解](1)如图，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝22＋12＋2×2×1×＝7，得BC＝.法一：由正弦定理＝，得sin∠ABC＝＝.法二：由余弦定理的推论得cos∠ABC＝＝＝，所以sin∠ABC＝＝. (2)法一：由sin∠ABC＝，得tan∠ABC＝，又tan∠ABC＝＝，所以DA＝，故△ADC的面积为DA·AC·sin(120°－90°)＝×1×＝.法二：△ABC的面积为AC·AB·sin∠BAC＝×1×2×＝，＝＝＝，故△ADC的面积为S△ABC＝＝.名师点评三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． [跟进训练]3．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AD＝，BC＝.(1)若CD＝2，求sin∠ADC；(2)若∠C＝，求四边形ABCD的面积．[解](1)连接BD，在Rt△ABD中，BD＝＝2，且tan∠ADB＝＝，∠ADB∈，所以∠ADB＝.在△BCD中，由余弦定理的推论得cos∠BDC＝＝＝，所以sin∠BDC＝＝.所以sin∠ADC＝sin＝sin∠BDCcos＋cos∠BDCsin＝＝.(2)在△BCD中，由余弦定理得BD2＝CD2＋BC2－2CD·BC·cos，即CD2－2CD－2＝0，解得CD＝1＋或CD＝1－(舍去)，所以四边形ABCD的面积为S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝AB·AD＋BC·CD·sin＝. 【教师备选资源】1．(2023·福建厦门一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3＋4＝.(1)求；(2)已知B＝3C，c＝1，求△ABC的面积．[解](1)由已知得3bccosA＋4accosB＝abcosC，由余弦定理，得3(b2＋c2－a2)＋4(a2＋c2－b2)＝a2＋b2－c2，化简得4c2＝b2，所以＝2.(2)由正弦定理知＝，即sinB＝2sinC，又B＝3C，故sinB＝sin3C＝sin(2C＋C)＝sin2C·cosC＋cos2C·sinC＝2sinC(1－sin2C)＋(1－2sin2C)sinC＝3sinC－4sin3C＝2sinC，即3－4sin2C＝2，得sinC＝，故C＝(C＝舍)，此时，B＝3C＝，b＝2c＝2AB＝2，BC＝，则S△ABC＝×1×＝. 2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC.(1)求A；(2)若a＝4，△ABC的面积为4，求b＋c.[解](1)因为sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，所以b2＋c2－a2＝bc，则cosA＝＝＝，因为0＜A＜π，所以A＝.(2)因为△ABC的面积为4，所以bcsinA＝bc＝4，即bc＝16.因为b2＋c2－a2＝bc，a＝4，所以b2＋c2＝32，所以b＋c＝＝＝8. 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(二十九)正弦定理、余弦定理 THANKS