2025年高考数学一轮复习教学课件第4章 第1课时　任意角和弧度制、三角函数的概念

必备知识·关键能力·学科素养·核心价值第四章三角函数与解三角形 【教师备选资源】新高考卷三年考情图解高考命题规律把握1．常考点：三角恒等变换、正、余弦定理．三角恒等变换与正、余弦定理交汇综合考查解三角形的解答题．2．轮考点：三角函数的概念、诱导公式、图象及其性质．命题主要以三角函数的化简求值、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象识别、性质的应用为主，试题侧重公式的变形和对图象性质的研究，难度中等． 第1课时　任意角和弧度制、三角函数的概念对应学生用书第82页 考试要求了解任意角的概念和弧度制.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性. 链接教材　夯基固本第1课时　任意角和弧度制、三角函数的概念1．角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的____旋转所成的图形．(2)分类：①按旋转方向不同分为____、____、____．②按终边位置不同分为______和轴线角．(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为____．(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝__________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．端点正角负角零角象限角－αα＋k·360°，k∈Z 2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于______的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．(2)公式提醒：在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．角α的弧度数公式|α|＝(l表示弧长，r表示半径)角度与弧度的换算1°＝rad；1rad＝______弧长公式弧长l＝__(R是圆的半径，α(0＜α＜2π)为圆心角)扇形面积公式S＝lR＝_____(R是圆的半径，α(0＜α＜2π)为圆心角，l是扇形弧长，S是扇形面积)半径长°αRαR2 3．任意角的三角函数(1)定义前提如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与______交于点P(x，y)定义正弦__叫做α的正弦函数，记作sinα余弦__叫做α的余弦函数，记作cosα正切叫做α的正切函数，记作tanα单位圆yx (2)定义的推广设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)．[常用结论]1．三角函数值在各象限的符号规律一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．象限角 3．轴线角4．若α∈，则tanα>α>sinα. 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．()(2)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是．()(3)若sinα>0，则α是第一或第二象限角．()(4)终边落在直线y＝x上的角可以表示为k·360°＋45°，k∈Z．()×××× √二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P175练习T1改编)660°等于()A．radB．radC．radD．radA[660°＝660×rad＝πrad.]2．(人教A版必修第一册P180例3改编)若sinα<0，且tanα>0，则角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角C[若sinα＜0，则角α在第三或第四象限或终边落在y轴负半轴上，若tanα＞0，则角α在第一或第三象限，所以当sinα＜0且tanα＞0时，角α在第三象限．故选C.]√ 3．(人教A版必修第一册P175练习T6改编)已知圆心角为的扇形所对的弧长为2π，则该扇形的面积为________．12π[∵α＝，l＝αr，∴r＝＝12，∴扇形面积S＝lr＝×2π×12＝12π.]4．(人教A版必修第一册P180练习T3改编)已知角α的终边经过点P(2，－3)，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________．－－[因为x＝2，y＝－3，所以点P到原点的距离r＝＝.于是sinα＝＝＝－，cosα＝＝＝，tanα＝＝－.]12π－－ 典例精研　核心考点第1课时　任意角和弧度制、三角函数的概念考点一　任意角[典例1](1)(多选)(2023·云南丽江一模)与－835°终边相同的角有()A．－245°B．245°C．－115°D．－475°(2)若α是第二象限角，则()A．－α是第一象限角B．是第三象限角C．＋α是第二象限角D．2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上√√√√ (1)BCD(2)D[(1)与－835°终边相同的角可表示为－835°＋k·360°，k∈Z，当k＝1时，为－475°；k＝2时，为－115°；k＝3时，为245°.故选BCD.(2)因为α是第二象限角，可得＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，对于A，可得－π－2kπ<－α<－－2kπ，k∈Z，此时－α位于第三象限，所以A错误；对于B，可得＋kπ<<＋kπ，k∈Z，当k为偶数时，位于第一象限；当k为奇数时，位于第三象限，所以B错误；对于C，可得2π＋2kπ<＋α<＋2kπ，k∈Z，即2(k＋1)π<＋α<＋2(k＋1)π，k∈Z，所以＋α位于第一象限，所以C错误；对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上，所以D正确．] 名师点评确定mα，(m∈N*)的终边位置的步骤(1)用终边相同的角的形式表示出角α的范围．(2)写出mα或的范围．(3)根据k的可能取值确定mα或的终边所在的位置．技巧：分母m是几，对k连取几个值判断，k＝0，1，2，…. [跟进训练]1．(1)终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为_______________________．(2)(2024·北师大二附中模拟)若点P(cosθ，sinθ)与点Q关于直线y＝－x对称，写出一个符合题意的θ值为____________________．(1)(2)(答案不唯一)[(1)如图，在平面直角坐标系中画出直线y＝x.易知直线y＝x与x轴的夹角是，在[0，2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个，即；在[－2π，0)内满足条件的角有两个，即－，－，故满足条件的角α构成的集合为.(2)由点P，Q关于直线y＝－x对称，且点Q是点P在单位圆上逆时针旋转得到，如图所示，∠POQ＝且被y＝－x平分，而OP为θ终边，故θ＝(答案不唯一)．](答案不唯一) 考点二　扇形的弧长及面积公式[典例2]已知一扇形的圆心角为α(α>0)，弧长为l，周长为C，面积为S，半径为r.(1)若α＝35°，r＝8cm，求扇形的弧长；(2)若C＝16cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角．[解](1)α＝35°＝35×rad＝rad，扇形的弧长l＝αr＝×8＝(cm)．(2)法一：由题意知2r＋l＝16，∴l＝16－2r(0<r<8)，则S＝lr＝(16－2r)r＝－r2＋8r＝－(r－4)2＋16，当r＝4cm时，Smax＝16cm2，l＝16－2×4＝8(cm)，α＝＝2rad，∴S的最大值是16cm2，此时扇形的半径是4cm，圆心角α＝2rad.法二：由题意知2r＋l＝16，∴S＝lr＝l·2r≤·＝16，当且仅当l＝2r，即r＝4cm时，S的最大值是16cm2.此时扇形的圆心角α＝2rad.名师点评应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为基本不等式或二次函数的最值问题． [跟进训练]2．(1)(2023·天津河东区一模)在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为()A．4B．2C．2D．1(2)“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的“宠物”，所以有“怀袖雅物”的别号．当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的弦AB的长与的长的比为()A．B．C．D．√√ (1)C(2)C[(1)设扇形的半径为R(R>0)，圆心角为α(α＞0)，则αR2＝4，所以α＝，则扇形的周长为2R＋αR＝2R＋2＝8，当且仅当2R＝，即R＝2时取等号，此时α＝2，所以周长最小时半径的值为2.故选C.(2)设扇形的弧长为l，半径为r，如图，取AB的中点D，因为圆心角α为，所以∠BOD＝，所以弦AB＝2BD＝2rsin＝r.又＝r，所以弦AB的长与的长的比为＝，故选C.] 【教师备选资源】(2024·山东潍坊模拟)屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代．某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为3.6m，内环弧长为1.2m，径长(外环半径与内环半径之差)为1.2m，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为()A．2.58m2B．2.68m2C．2.78m2D．2.88m2D[设扇形的圆心角为α，内环半径为rm，外环半径为Rm，则R－r＝1.2(m)，由题意可知，αr＝1.2，αR＝3.6，所以α(R＋r)＝4.8，所以扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为S＝α(R2－r2)＝α(R＋r)(R－r)＝×4.8×1.2＝2.88(m2)．]√ 考点三　三角函数的概念及应用[典例3](1)(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则()A．cos2α＞0B．cos2α＜0C．sin2α＞0D．sin2α＜0(2)(2023·陕西宝鸡二模)已知角α的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cosα＝－，则sin(2023π－2α)＝______．√(1)D(2)[(1)法一：由题意，知－＋2kπ<α<2kπ(k∈Z)，所以－π＋4kπ<2α<4kπ(k∈Z)，所以cos2α≤0或cos2α>0，sin2α<0，故选D.法二：当α＝－时，cos2α＝0，sin2α＝－1，排除A，B，C，故选D.(2)由题设可知，＝－且2a＋1<0，即a<－，所以＝，则11a2＋20a－4＝0，解得a＝－2或a＝，又a<－，所以a＝－2.所以角α的终边经过点(－3，－4)，所以sinα＝－，所以sin(2023π－2α)＝sin2α＝2sinαcosα＝2×＝.] 名师点评(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，可以求出角α终边的位置．(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况． [跟进训练]3．(1)(多选)在平面直角坐标系Oxy中，角α的顶点在原点O，以x轴正半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式的值恒大于0的是()A．B．cosα－sinαC．sinαcosαD．sinα＋cosα(2)(多选)(2024·江西吉安模拟)质点A和B在以坐标原点O为圆心、半径为1的⊙O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．A的角速度大小为3rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点；B的角速度大小为1rad/s，起点为射线y＝x(x≥0)与⊙O的交点．当A与B重合时，点A的坐标可以是()A．B．(0，1)C．(－1，0)D．(0，－1)√√√√ (1)AB(2)BD[(1)由题意知sinα<0，cosα>0，tanα<0.选项A，>0；选项B，cosα－sinα>0；选项C，sinαcosα<0；选项D，sinα＋cosα符号不确定．故选AB.(2)依题意，点A的起始位置A0(1，0)，点B的起始位置B0，则∠A0OB0＝，设当A与B重合时，用的时间为ts，于是3t－t＝＋2kπ，k∈N，即t＝＋kπ，k∈N，则3t＝＋3kπ，k∈N，当k为偶数时，A，即A(0，1)，B正确；当k为奇数时，A，即A(0，－1)，D正确．故选BD.] 点击页面进入…（WORD版）巩固课堂所学·激发学习思维夯实基础知识·熟悉命题方式自我检测提能·及时矫正不足本节课掌握了哪些考点？本节课还有什么疑问点？课后训练学习反思课时小结课时分层作业(二十三)任意角和弧度制、三角函数的概念 THANKS