2025年高考数学一轮讲义第8章 第7课时　双曲线

第7课时　双曲线[考试要求]　1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2．掌握其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3．了解双曲线的简单应用．1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的______等于非零常数(____|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的____，两焦点间的距离叫做双曲线的____．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2-x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质焦点________________________________________________________________焦距__________________范围________或______，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：______；对称中心：____顶点________________________________________________________________轴实轴：线段________，长：____；虚轴：线段________，长：____，9/9 实半轴长：__，虚半轴长：__离心率e＝ca∈____________渐近线y＝±baxy＝±abxa，b，c的关系c2＝__________(c>a>0，c>b>0)3．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为________，离心率为e＝__．[常用结论]1．双曲线x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b．(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a．(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a．(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为b2a2．(5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝b2tanθ2，其中θ为∠F1PF2.(6)P是双曲线上一点，F1，F2是左、右焦点，则|PF1|＋|PF2|≥2c.2．巧设双曲线方程(1)与双曲线x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2-y2b2＝t(t≠0)．9/9 (2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　)(2)方程x2m-y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)(3)双曲线x2m2-y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2-y2n2＝0，即xm±yn＝0．(　　)(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2T1改编)已知双曲线x2－y216＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．2．(人教A版选择性必修第一册P124例3改编)双曲线x224-y225＝－1的实轴长为________，离心率为________，渐近线方程为________．3．(人教A版选择性必修第一册P120例1改编)已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是________．4．(人教A版选择性必修第一册P121练习T3改编)若方程x22+m+y2m+1＝1表示双曲线，则m的取值范围是________．考点一　双曲线的定义及其应用[典例1]　(1)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为(　　)A．x24-y25＝1(x>2)B．x29-y25＝1(x>3)C．x29+y25＝1(0<x<2)D．x29+y24＝1(0<x<3)9/9 (2)(2023·湖北十堰二模)已知P(x0，y0)是双曲线E：x24－y2＝1上一点，F1，F2分别是双曲线E的左、右焦点，△PF1F2的周长为12＋25，则cos∠F1PF2＝________，△PF1F2的面积为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　双曲线定义的应用(1)利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．(2)在“焦点三角形”中，常利用正、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[跟进训练]1．(1)(2024·广东广州大湾区模拟)已知F为双曲线C：x24-y25＝1的左焦点，P为其右支上一点，点A(0，－6)，则△APF周长的最小值为(　　)A．4＋62　　　B．4＋65C．6＋62　D．6＋65(2)设F1，F2是双曲线C：x2－y23＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为________．考点二　双曲线的标准方程[典例2]　(1)(2024·山东济南模拟)已知双曲线C的渐近线方程为2x±3y＝0，且经过点(32，2)，则C的标准方程为(　　)A．x29-y24＝1　　B．x212-y28＝1C．y24-x29＝1　D．y22-x218＝1(2)(2024·广东海珠区模拟)已知双曲线Γ：x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)，四点A(6，3)，B4，555，C(5，2)，D(－5，－2)中恰有三点在Γ上，则双曲线Γ的标准方程为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　9/9 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x2m2-y2n2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．[跟进训练]2．(1)已知F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为22，则双曲线的标准方程为(　　)A．x24-y22＝1　B．x23-y22＝1C．x24-y28＝1　D．x2－y22＝1(2)(2024·北京海淀区模拟)与双曲线x216-y29＝1的渐近线相同，且一个焦点坐标是(0，5)的双曲线的标准方程是________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点三　双曲线的简单几何性质　双曲线的渐近线[典例3]　(2023·山东威海一模)已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F1，M为C上一点，M关于原点的对称点为N，若∠MF1N＝60°，且|F1N|＝2|F1M|，则C的渐近线方程为(　　)A．y＝±33x　B．y＝±3xC．y＝±66x　D．y＝±6x[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　9/9 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　双曲线的离心率[典例4]　(1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)A．72　　B．132C．7　D．13(2)若斜率为2的直线与双曲线x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是(　　)A．(1，2)　B．(2，＋∞)C．(1，3)　D．(3，＋∞)[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　双曲线几何性质的综合应用[典例5]　(1)已知M(x0，y0)是双曲线C：x22－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若MF1·MF2＜0，则y0的取值范围是(　　)A．-33，33　B．-36，36C．-223，223　D．-233，233(2)已知F1，F2是双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝2π3，则S△AF1F2S△ABF2＝(　　)A．1　B．12C．13　D．23[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　9/9 　1．求双曲线渐近线方程的方法求双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)或y2a2-x2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x2a2-y2b2＝0，得y＝±bax；或令y2a2-x2b2＝0，得y＝±abx.2．求双曲线的离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2+b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2-a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．[跟进训练]3．(1)(多选)(2024·山东潍坊模拟)已知双曲线M：x2a2-y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60°，则下列说法正确的是(　　)A．M的离心率为233B．M的标准方程为x2－y23＝1C．M的渐近线方程为y＝±33xD．直线x＋y－2＝0经过M的一个焦点(2)(2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线的渐近线方程为________．(3)已知点F是双曲线x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．考点四　直线与双曲线的位置关系[典例6]　(1)(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－y29＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(　　)A．(1，1)　B．(－1，2)C．(1，3)　D．(－1，－4)(2)(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－17，0)，F2(17，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2，记M的轨迹为C.①求C的方程；9/9 ②设点T在直线x＝12上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解决直线与双曲线的位置关系有关的问题时，有时利用数形结合思想，有时利用方程思想．根据直线的斜率k与渐近线的斜率或某切线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷．[跟进训练]4．(1)已知双曲线x216-y29＝1的左焦点为F1，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则直线l斜率的取值范围为(　　)A．-43，43B．-∞，-34∪34，+∞C．-34，34D．-∞，-43∪43，+∞(2)过双曲线x2－y23＝1的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，则满足|AB|＝6的直线l有(　　)A．4条　B．3条C．2条　D．1条(3)(多选)已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，其中|F1F2|＝2c，过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则下列说法正确的是(　　)A．弦AB的最小值为2b2aB．若AB＝m，则△F1AB的周长为2m＋4aC．若AB的中点为M，O为坐标原点且AB的斜率为k，则kOM·k＝b2a2D．若直线AB的斜率为3，则双曲线的离心率e∈[2，＋∞)9/9 9/9