2025年高考数学一轮讲义第7章 第7课时　向量法求空间角

第7课时　向量法求空间角[考试要求]　1．能用空间向量的方法解简单的线线、线面、面面的夹角问题.2．体会向量方法在研究几何问题中的作用．1．异面直线所成的角若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝．2．直线与平面所成的角如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝．3．平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝．[常用结论]最小角定理如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成8/8 的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cosθ＝cosθ1cosθ2．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．(　　)(2)直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面α所成的角．(　　)(3)二面角的平面角为θ，则两个面的法向量的夹角也是θ．(　　)(4)两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2，二面角的范围是[0，π]．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第一册P36例7改编)已知直线l1的方向向量s1＝(1，0，1)与直线l2的方向向量s2＝(－1，2，－2)，则l1和l2夹角的余弦值为(　　)A．24　　B．12　C．22　　D．322．(人教A版选择性必修第一册P37例8改编)已知两平面的法向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这两个平面夹角的余弦值为________．3．(人教A版选择性必修第一册P41练习T1改编)二面角α-l-β的棱上有A，B两点，线段AC，BD分别在这个二面角的两个平面内，且都垂直于棱l.已知AB＝1，AC＝2，BD＝3，CD＝22，则平面α与平面β的夹角为________．4．(人教A版选择性必修第一册P38练习T2改编)PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，其中∠APC＝∠BPC＝45°，∠APB＝60°，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为________．考点一　异面直线所成的角[典例1]　(1)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，BC＝2，点D为BC8/8 的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为(　　)A．π2　　　　B．π3C．π4　　　　D．π6(2)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，AF＝λAD(0＜λ＜1)，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为3210，则λ的值为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　用坐标法求异面直线所成角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)注意两异面直线所成角的范围是0，π2，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．[跟进训练]1．(2024·浙江绍兴模拟)“曲池”是《九章算术》记载的一种几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分)．现有一个如图所示的曲池，AA1⊥平面ABCD，AA1＝4，底面扇环所对的圆心角为π2，AD8/8 的长度是BC长度的2倍，CD＝1，则异面直线A1D1与BC1所成角的正弦值为(　　)A．23　　B．13　C．223　　D．24考点二　直线与平面所成的角[典例2]　(2022·北京高考)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分别为A1B1，AC的中点．(1)求证：MN∥平面BCC1B1；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①：AB⊥MN；条件②：BM＝MN.[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　利用空间向量求线面角的解题步骤8/8 [跟进训练]2．(2022·浙江高考)如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F-DC-B的平面角为60°.设M，N分别为AE，BC的中点．(1)证明：FN⊥AD；(2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点三　平面与平面的夹角[典例3]　(12分)(2023·新高考Ⅰ卷)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.8/8 (1)证明：B2C2∥A2D2；(2)点P在棱BB1上，当二面角P-A2C2-D2为150°时，求B2P.[规范解答]　(1)证明：以点C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，0，0)，C2(0，0，3)，B2(0，2，2)，D2(2，0，2)，A2(2，2，1)．·2分∴B2C2＝(0，－2，1)，A2D2＝(0，－2，1)．·············3分∴B2C2∥A2D2.··························4分又B2C2，A2D2不在同一条直线上，→失分点············5分∴B2C2∥A2D2.··························6分(2)设P(0，2，λ)(0≤λ≤4)，→巧设元则A2C2＝(－2，－2，2)，PC2＝(0，－2，3－λ)，D2C2＝(－2，0，1)，·7分设平面PA2C2的法向量n＝(x，y，z)，则n·A2C2=-2x-2y+2z=0，n·PC2=-2y+3-λz=0，令z＝2，得y＝3－λ，x＝λ－1，→关键点，赋值求值∴n＝(λ－1，3－λ，2)为平面PA2C2的一个法向量．··········8分设平面A2C2D2的法向量m＝(a，b，c)，则m·A2C2=-2a-2b+2c=0，m·D2C2=-2a+c=0，8/8 令a＝1，得b＝1，c＝2，∴m＝(1，1，2)为平面A2C2D2的一个法向量，············9分|cos〈n，m〉|＝n·mnm→关键点，用对公式＝66×4+λ-12+3-λ2＝|cos150°|＝32，化简可得λ2－4λ＋3＝0，·····················10分解得λ＝1或λ＝3，∴P(0，2，1)或P(0，2，3)，···················11分∴B2P＝1.···························12分　利用空间向量求平面与平面夹角的解题步骤[跟进训练]3．(2023·新高考Ⅱ卷)如图，三棱锥A-BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点．(1)证明：BC⊥DA；(2)点F满足EF＝DA，求二面角D-AB-F的正弦值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8/8 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8/8