2025年高考数学一轮讲义第7章 第6课时　空间向量的运算及其应用

第6课时　空间向量的运算及其应用[考试要求]　1．了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3．理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．1．空间向量及其有关定理概念语言描述共线向量(平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线______________共面向量平行于__________的向量共线向量定理对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在实数λ，使_________共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使__________________空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得____________________．2．空间向量的数量积非零向量a，b的数量积a·b＝______________________________．3．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘向量λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·b＝____________________________共线a∥b⇔a1＝______，a2＝______，a3＝______(λ∈R，b≠0)7/7 垂直a⊥b⇔a·b＝0⇔___________________________＝0模|a|＝a·a＝a12+a22+a32夹角公式cos〈a，b〉＝a·bab＝a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32b12+b22+b324．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，把与向量a____的非零向量称为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．5．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0[常用结论]1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔OA＝xOB＋yOC(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．三点共线AB＝λBC(λ≠0)．2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面．(　　)(2)在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)．(　　)(3)对于非零向量b，若a·b＝b·c，则a＝c．(　　)(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第一册P33练习T1改编)已知平面α，β的法向量分别为7/7 n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则(　　)A．α∥β　　　　　　B．α⊥βC．α，β相交但不垂直　D．以上均不对2．(人教A版选择性必修第一册P10习题1.1T5改编)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若AC1＝xAB1＋yAC＋zAD1，则x＋y＋z＝(　　)A．3　　B．2　　　C．32　　D．13．(多选)(人教A版选择性必修第一册P22练习T3改编)已知点A(1，2，2)，B(1，－3，1)，点C在Oyz平面上，且点C到点A，B的距离相等，则点C的坐标可以为(　　)A．(0，1，－1)　B．(0，－1，4)C．(0，1，－6)　D．(0，2，10)4．(人教A版选择性必修第一册P27思考改编)O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且OP＝34OA＋18OB＋tOC，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝________．考点一　空间向量的线性运算[典例1]　(1)(2023·辽宁大连双基测试)已知向量a＝(－2，1，4)，b＝x，-12x，3+x，若a∥b，则|b|＝(　　)A．5　　　B．21　　　C．4　　　D．212(2)(2024·山东济南模拟)如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，ON＝23OM，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，则下列等式成立的是(　　)A．OP＝14a＋14b＋14cB．AN＝a＋13b＋13cC．AP＝－34a＋14b－14c7/7 D．OM＝12b－12c[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　空间向量线性运算中的三个关键点[跟进训练]1．(1)在空间四边形ABCD中，AB＝a，BC＝b，AD＝c，则CD＝(　　)A．a＋b－c　　　B．c－a－bC．a－b－c　D．b－a＋c(2)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．①化简A1O-12AB-12AD＝________；②用AB，AD，AA1表示OC1，则OC1＝________．考点二　空间向量数量积的应用[典例2]　如图所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求证：AC1⊥BD；7/7 (3)求BD1与AC夹角的余弦值．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　空间向量数量积的应用[跟进训练]2．(1)(多选)空间直角坐标系中，已知O(0，0，0)，OA＝(－1，2，1)，OB＝(－1，2，－1)，OC＝(2，3，－1)，则(　　)A．|AB|＝2B．△ABC是等腰直角三角形C．与OA平行的单位向量的坐标为66，-63，-66或-66，63，66D．OA在OB方向上的投影向量的坐标为-23，43，23(2)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则DC·AP的取值范围是________．考点三　利用向量证明平行与垂直[典例3]　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝27/7 ，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角，求证：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．利用向量法证明平行问题(1)线线平行：方向向量平行．(2)线面平行：平面外的直线的方向向量与平面的法向量垂直．(3)面面平行：两平面的法向量平行．2．利用向量法证垂直问题(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．(2)线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直．(3)面面垂直：两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直．[跟进训练]3．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．7/7 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7/7