2023年新高考一轮复习讲义第43讲 空间向量及其运算（解析版）

第43讲　空间向量及其运算学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·福建·莆田锦江中学高三阶段练习）已知是直线l的方向向量，为平面的法向量，若，则y的值为（      ）A．B．C．D．4【答案】D【分析】根据得，计算得解.【详解】因为，所以，所以，计算得.故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，，且与互相垂直，则的值是（    ）A．－1B．C．D．【答案】D【分析】先求出与的坐标，再由与互相垂直，可得，从而可求出的值.【详解】因为，，所以，，因为与互相垂直，所以，解得，故选：D3．（2022·浙江·高三开学考试）在平行六面体中，为的中点，为的中点，试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】设，根据空间向量的线性运算表达，再联立求解即可.【详解】设则.所以，，所以.故选：C4．（2022·全国·高三专题练习），若三向量共面，则实数（    ）A．3B．2C．15D．5【答案】D【分析】利用向量共面的坐标运算进行求解即可.【详解】∵，∴与不共线，又∵三向量共面，则存在实数m，n使即，解得．故选：D．5．（2022·全国·高三专题练习）如图，空间四边形中，，，试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，点，分别在，上，且，，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】首先根据空间向量线性运算法则用，，表示出，再根据数量积的运算律计算可得.【详解】解：，，．又，，，所以，，，所以，所以.故选：A．6．（2022·湖南·高三开学考试）两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知则线段的长为（    ）A．8B．C．D．【答案】B【分析】利用空间向量，结合模长运算处理，重点注意、的夹角与异面直线的夹角之间的关系．【详解】由题意知：，所以，又异面直线所成的角为，则试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 所以，则或（舍去）故选：B.7．（2022·湖南益阳·模拟预测）在正三棱锥中，是的中心，，则(    )A．B．C．D．【答案】D【分析】将转化为，由三棱锥是正三棱锥可知PO⊥OA，即可将转化为，结合勾股定理即可求解．【详解】为正三棱椎，为的中心，∴平面，△ABC是等边三角形，∴PO⊥AO，∴，故．故选：D.8．（2022·北京·高三开学考试）在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱AB，的中点.点P为线段EF上的动点.则下面结论中错误的是（    ）试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 A．B．平面C．D．是锐角【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量解决问题.【详解】以D为坐标原点，分别以DA，DC，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，则，，，，所以，A正确；因为，平面，平面，所以平面，B正确；，所以，所以，C正确；，当时，，试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 此时为钝角，故D错误.故选：D9．（多选）（2022·江苏镇江·高三开学考试）已知空间向量，，则下列选项正确的为（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】BCD【分析】对于A、B分别根据向量平行和垂直的等价条件转换计算；对于C、D分别代向量的模的公式及夹角公式计算可得.【详解】向量，对于A.若，则，所以，故此选项错误；对于B.若，，则，故此选项正确；对于C.若，则，则，故此选项正确；对于D.若，则，所以，故此选项正确；故答案为：BCD10．（多选）（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行六面体中，以顶点A试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（    ）A．B．C．的长为D．【答案】BD【分析】AB选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C选项，在B选项的基础上，平方后计算出，从而求出；D选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算.【详解】根据题意，依次分析选项：对于A选项，，A错误，对于B选项，，B正确：对于C选项，，则，则，C错误：对于，则，D正确.故选：BD.11．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（    ）A．两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是，则B．直线l的方向向量，平面的法向量是，则试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 C．两个不同的平面的法向量分别是，则D．直线的方向向量，平面的法向量是，则【答案】AC【分析】根据条件结合空间向量的平行和垂直，对各选项逐项判断即可．【详解】对于A，两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是，且，所以，选项A正确∶对于B，直线l的方向向量，平面的法向量是且，所以或，选项B错误；对于C，两个不同的平面的法向量分别是，且，所以，选项C正确；对于D，直线l的方向向量，平面a的法向量是且，所以，选项D错误．故选∶AC12．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知点P是平行四边形所在的平面外一点，如果，下列结论正确的有（    ）A．B．C．是平面的一个法向量D．【答案】ABC【分析】由，可判定A正确；由，可判定B正确；由且，可判定C正确；由是平面的一个法向量，得到，可判定D不正确.【详解】由题意，向量，对于A中，由，可得，所以A正确；对于B中，由，所以，所以B正确；对于C中，由且，可得向量是平面的一个法向量，所以C正确；对于D中，由是平面的一个法向量，可得，所以D不正确.故选：ABC试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 13．（2022·湖南·高三阶段练习）若直线的方向向量，平面的法向量，且直线平面，则实数的值是______.【答案】-1【分析】利用法向量的定义和向量共线的定理即可.【详解】直线的方向向量，平面的法向量，直线平面，必有，即向量与向量共线，，∴，解得；故答案为：-1.14．（2022·全国·高三专题练习）若四点，，，共面，则可以为______．（写出一个符合题意的即可）【答案】（答案不唯一，满足即可）【分析】根据共面定理列方程组求解可得m和n的关系，然后可得.【详解】因为四点，，，共面，所以向量，，共面，所以存在实数，，使得，即，所以，解得，令，得，则可以为．故答案为：（答案不唯一，满足即可）15．（2022·江苏·句容碧桂园学校高三开学考试）已知=(3，2，－1)，(2，1，2)，则=___________．【答案】2【分析】根据空间向量的坐标运算与数量积公式求解即可【详解】因为，试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 故答案为：216．（2022·全国·高三专题练习）棱长为1的正方体，在正方体的12条棱上运动，则的取值范围是___________.【答案】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得的表达式，进而求得的取值范围.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，，，设（且只在正方体的条棱上运动），则，，由于，所以.当时，取最小值；当时，取最大值.故答案为：17．（2022·福建省福安市第一中学高三阶段练习）已知正四面体的棱长均为2，则___________.【答案】【分析】中点为，由向量的加法法则可知，在正三角形中即可求出答案.试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【详解】如图所示：取中点为，连接、，在中：，所以，在正三角形中，为中点，所以.故答案为：.18．（2022·江苏镇江·高三开学考试）已知四棱锥的底面是平行四边形，侧棱、、上分别有一点、、，且满足，，，若、、、四点共面，则实数__________．【答案】【分析】根据四点共面的等价条件以及，可得出关于的两个表达式，可得出关于的方程组，即可解得实数的值.【详解】因为、、、四点共面，则存在、使得，所以，，所以，，因为，即，所以，，因为，即，试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 所以，，可得，解得.故答案为：.19．（2022·全国·高三专题练习）如图，在棱长为a的正方体中，M为的中点，E为与的交点，F为与的交点．(1)求证：，．(2)求证：是异面直线与的公垂线段．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，写出图形中各点的坐标，用向量法证明直线垂直；（2）用空间向量法证明直线垂直．（1）以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系．正方体中，，则，，，，，，，，，，．所以，，．因为，所以，即；试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 因为，所以，即；（2）由（1），，．所以，所以，即；，所以，即．又，所以是异面直线与的公垂线段．20．（2022·全国·高三专题练习）如图，在几何体ABCDE中，ABC，BCD，CDE均为边长为2的等边三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面DCE⊥平面BCD．求证：A，B，D，E四点共面；【答案】证明见解析【分析】取的中点，连接，取的中点，连接，证明平面，平面，得两两垂直，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点坐标，设，由求得点坐标，证明向量共面，得证四点共面．试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【详解】取的中点，连接，取的中点，连接，因为平面平面，且平面平面，而为等边三角形，所以，因此平面，因为平面平面，且平面平面，又因为为等边三角形，所以，因此平面，又因为平面，因此，又因为为等边三角形，所以，因此两两垂直，从而以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，又因为均为边长为2的等边三角形，所以，，，设，则，，，由于，所以，解得，因此，所以，，，所以，由空间向量基本定理可知：共面，所以四点共面；试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【素养提升】1．（2022·全国·高三专题练习）在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】先利用基底表示向量，再利用向量的夹角公式求解.【详解】解：，则，，，，，，所以，故选：D2．（2022·江苏镇江·高三开学考试）四棱柱的底面是边长为1的菱形，侧棱长为2，且，则线段的长度是（    ）A．B．C．3D．【答案】D【分析】根据向量运算法则表示，平方化简计算得解.【详解】因为，且所以试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 所以，即线段的长度是.故选：D.3．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）如图，已知矩形的对角线交于点，将沿翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，表示出翻折后的位置，利用向量垂直，数量积为零，找出关系式，进而求得，再利用极限位置求得a的最小值，即可求得答案。【详解】如图示,设处为沿翻折后的位置，以D为坐标原点，DA,DC分别为x,y轴，过点D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则，设，由于,故，试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 而，由于,故，则，即；又由在翻折过程中存在某个位置，便得，不妨假设,则，即，即，当将翻折到如图位置时，位于平面ABCD内，不妨假设此时，设垂足为G,作AD的延长线，垂足为F,此时在x轴负半轴上方向上，DF的长最大，a取最小值，由于，故,所以,而,故，又,故为正三角形，则,而,故,则，故，，则，故的取值范围是，故选：A【点睛】本题考查了空间的垂直关系，综合性较强，解答时要充分发挥空间想象力，明确空间的点线面的位置关系，解答时涉及到空间坐标系的建立以及空间向量的应用，还要注意极限位置的利用，有较大难度.4．（2022·江苏·华罗庚中学三模）如图，在平行六面体中，AB＝AD＝2，，，点E是AB中点，则异面直线与DE所成角余弦值是______．试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【答案】【分析】以为空间向量的一组基底，用基底表示向量，根据向量间的夹角公式计算即可求解.【详解】由题意，AB＝AD＝2，，且,,，又,,,设异面直线与DE所成角为，则.故答案为：5．（2022·浙江·模拟预测）若、、是棱长为的正四面体棱上互不相同的三点，则的取值范围是_______.【答案】【分析】设点、、分别棱长为的正三棱锥的棱、、上的动点，设，其中，利用三角不等式推导出，利用平面向量数量积的性质可求得，取的中点，可得出，即可得出的取值范围.试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【详解】如下图所示，由任意性，设点、、分别棱长为的正三棱锥的棱、、上的动点，设，其中，则，所以，，所以，，当且仅当线段与棱或重合时，等号成立，即的最大值为，，当且仅当与点或重合，、重合于点或点时，等号成立，但、、为不同的三点，则，由上可知的最大值为，取线段的中点，则，当且仅当线段与棱重合且为棱的中点时，等号成立，则.综上所述，.故答案为：.6．（2022·浙江省富阳中学高三阶段练习）空间两两垂直的单位向量，，，其中为坐标原点，空间一点满足，则的最大值_____________.【答案】【分析】由题可分别设，，三点坐标，考虑有，可设，点试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 在过点的平行于平面的平面上，则可得在时成立，则成立，设为点到平面的距离，，可得，整理可得，再由，结合柯西不等式即可求解.【详解】由题，在空间直角坐标系中，设，，，，则点在过点的平行于平面的平面上，因为点满足，则，即，设为点到平面的距离，则，设点，所以，则，因为，，，则，当且仅当，时等号成立，所以的最大值为，故答案为：7．（2022·江苏·泰州中学高三开学考试）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点．试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 (1)求证：平面；(2)若线段上总存在一点，使得，求的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）设，连接，通过证明即可得出；（2）设，求出，利用求出，即可得出的最大值.（1）设，连接，因为是正方形，所以是中点，又因为是矩形，是线段的中点，所以,,所以四边形为平行四边形，所以,又平面，平面，所以平面；（2）正方形和矩形所在的平面互相垂直，则可得两两垂直，则可以C为原点建立如图所示空间直角坐标系，，则，因为点在线段上，设，其中，则，从而点坐标为，试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 于是，而，则由可知，即，所以，解得，故的最大值为.试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司