2025年高考数学一轮讲义第7章 第2课时　球的切、接与截面问题

第2课时　球的切、接与截面问题考点一　简单几何体的外接球　柱体的外接球问题[典例1]　(1)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在以O为球心的球面上，且∠BAC＝3π4，AA1＝BC＝2，则球O的体积为(　　)A．43π　　B．8π　C．12π　　D．20π(2)一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[拓展变式]　若将本例(1)的条件“∠BAC＝3π4，AA1＝BC＝2”换为“AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12”，则球O的半径为________．　台体的外接球问题[典例2]　(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面的边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)A．100π　B．128πC．144π　D．192π[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　锥体的外接球问题[典例3]　(1)已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB＝5，BC＝7，AC＝2，则此三棱锥的外接球的体积为(　　)7/7 A．83π　B．823πC．163π　D．323π(2)(2021·天津高考)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为32π3，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为(　　)A．3π　B．4πC．9π　D．12π(3)(2023·全国乙卷)已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[拓展变式]　若将本例(1)的条件改为“侧棱和底面边长都是32的正四棱锥的各顶点都在以O为球心的球面上”，则其外接球的半径为________．　求解外接球问题的方法(1)解决多面体外接球问题的关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面多边形外接圆的圆心，再过此圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点的情况确定球心的准确位置．(2)对于特殊的多面体还可通过补成正方体或长方体、直棱柱的方法找到球心的位置．[跟进训练]1．(1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)A．81π4　B．16πC．9π　D．27π4(2)(2023·江苏盐城一模)三星堆古遗址作为“长江文明之源”，被誉为人类最伟大的考古发现之一.37/7 号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据．玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现．假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12cm，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为(　　)A．72πcm2　B．162πcm2C．216πcm2　D．288πcm2(3)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为________．考点二　简单几何体的内切球[典例4]　(1)(2023·河北邢台一模)已知圆台的上、下底面圆的半径之比为12，侧面积为9π，在圆台的内部有一球O，该球与圆台的上、下底面及母线均相切，则球O的表面积为(　　)A．3π　B．5πC．8π　D．9π(2)(2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　“切”的问题处理规律(1)找准切点，通过作过球心的截面来解决．(2)体积分割是求内切球半径的通用方法．(3)正四面体的外接球的半径R＝64a，内切球的半径r＝612a，其半径R∶r＝3∶1(a为该正四面体的棱长)．(4)等体积法求内切球半径．[跟进训练]2．(1)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　)A．4π　B．9π27/7 C．6π　D．32π3(2)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则S1S2＝________．考点三　与球有关的截面问题[典例5]　(2020·全国Ⅱ卷)已知△ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为(　　)A．3　B．32C．1　D．32[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　巧用直角三角形解决截面圆问题的步骤(1)确定球心O和截面圆的圆心O′.(2)探求球的半径R和截面圆的半径r.(3)利用OO′2＋r2＝R2计算相关量．[跟进训练]3．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高是8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　)A．500π3cm3　B．866π3cm3C．1372π3cm3　D．2048π3cm37/7 简单几何体的外接球与内切球问题是立体几何的重点，也是历年高考考查的一个热点，研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何关系与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用．一、定义法确定球心[典例1]　已知∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，若PA＝AB＝BC＝1，则四面体P-ABC的外接球(顶点都在球面上)的体积为(　　)A．π　　B．3π　C．2π　　D．3π2[赏析]　突破点1：发现垂直关系，如下①②处如图，取PC的中点O，连接OA，OB，由题意得PA⊥BC①，又因为AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB②.在Rt△PBC中，OB＝12PC，同理OA＝12PC，突破点2：得出四点共圆所以OA＝OB＝OC＝12PC，因此P，A，B，C四点在以O为球心的球面上，在Rt△ABC中，AC＝AB2+BC2＝2.在Rt△PAC中，PC＝PA2+AC2＝3，球O的半径R＝12PC＝32，所以球的体积为43π×323＝3π2.7/7 [答案]　D　到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可．[跟进训练]1．(2023·广东茂名一模)已知菱形ABCD的各边长为2，∠B＝60°.将△ABC沿AC折起，折起后记点B为P，连接PD，得到三棱锥P-ACD，如图所示，当三棱锥P-ACD的表面积最大时，三棱锥P-ACD的外接球体积为(　　)A．523π　B．433πC．23π　D．823π二、交轨法确定球心[典例2]　已知△ABC是以BC为斜边的直角三角形，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝22，PC＝5，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为________．[赏析]　突破点1：找过△ABC外接圆圆心的垂线如图所示，设M为BC的中点，在平面PBC内过点M作MN⊥BC，因为平面PBC⊥平面ABC，所以MN⊥平面ABC.突破点2：寻找△PBC的外心，交轨法得球心又△ABC是以BC为斜边的直角三角形，所以直线MN上任意一点到A，B，C的距离相等．在平面PBC内作线段PB的垂直平分线DE，设DE与MN的交点为O，则点O到P，A，B，C的距离都相等，即点O为三棱锥P-ABC外接球的球心，并且O也是△PBC的外心．7/7 因此三棱锥P-ABC外接球的半径与△PBC的外接圆半径相等．又PB＝22，BC＝3，PC＝5，所以cos∠PBC＝8+9-52×22×3＝22，则sin∠PBC＝22.设三棱锥P-ABC外接球的半径为R，则2R＝522＝10，即R＝102，则外接球的表面积S＝4πR2＝10π.[答案]　10π　分别过几何体的两个相交平面的外接圆的圆心作各自所在平面的垂线，垂线的交点就是球心．[跟进训练]2．已知A，B是球O的球面上两点，AB＝2，过AB作互相垂直的两个平面截球得到圆O1和圆O2，若∠AO1B＝90°，∠AO2B＝60°，则球O的表面积为(　　)A．5π　B．10πC．15π　D．20π7/7