2024年新高考数学一轮复习：第15讲 函数与方程（原卷版）

第15讲函数与方程1、函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使方程f(x)＝0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．(2)方程的根与函数零点的关系：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．所以函数y＝f(x)有零点等价于函数y＝f(x)的图像与x轴有交点，也等价于方程f(x)＝0有实根．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图像是一条连续的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时c就是方程f(x)＝0的根．但反之，不成立．2、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像交点零点个数3、有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．【2018年新课标1卷理科】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）1、.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)A.，0B.－2，0C.D.0 2、函数f(x)＝lnx－的零点所在的区间是(　　)A.(1，2)B.(2，3)C.(3，4)D.(4，5)3、若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内存在一个零点，则a的取值范围是（）A.B.C.(－∞，－1)D.(－∞，－1)∪4、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知函数，，若存在实数使在上有2个零点，则的取值范围为________．考向一　判断零点所在的区间例1、(多选)(1)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点(　　)A.(－2，－1)B.(－1，0)C.(0，1)D.(1，2)（2）.函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　)A.(1，3)B.(1，2)C.(0，3)D.(0，2)变式1、设函数f(x)＝x－lnx，则函数y＝f(x)(　　)A.在区间，(1，e)内均有零点B.在区间，(1，e)内均无零点C.在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D.在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点变式2、若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内方法总结：确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法： (1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.2.函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要综合函数性质进行分析判断.考向二判断零点的个数例2　(1)定义在R上的偶函数y＝f(x)，当x≥0时，f(x)＝lg(x2－3x＋3)，求f(x)在R上的零点个数；(2)试探讨函数f(x)＝ex＋x－2的零点个数．变式1、变式2、函数f(x)＝2x|log2x|－1的零点个数为(　　)A．0B．1C．2D．4变式2、（2022·山东省实验中学模拟预测）（多选题）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，那么函数在定义域内的零点个数可能是（       ）A．2B．4C．6D．8方法总结：函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.考向三与零点有关的参数的范围例3、(1)设函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝若函数y＝f(x)－m有4个不同的零点，求实数m的取值范围； (2)已知函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2＋bf(x)＋4b＋1＝0有4个不同的实数根，求实数b的取值范围．变式1、（1）已知函数f(x)＝若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围是________．（2）已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝．若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．变式2、（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数，若关于的方程有且只有三个不同的实数解，则正实数的取值范围为（       ）A．B．C．D．方法总结：函数零点求参数范围，其思路是把一个函数拆分为两个基本初等函数，将函数的零点问题转化为两函数图象问题，体现转化与化归思想及数形结合思想，从而体现核心素养中的直观想象1、函数的零点所在区间为（） A．B．C．D．2、（多选题）已知定义在R上的奇函数f(x)的图象连续不断，且满足f(x＋2)＝f(x)，则以下结论成立的是(　　)A.函数f(x)的周期T＝2B.f(2021)＝f(2022)＝0C.点(1，0)是函数y＝f(x)图象的一个对称中心D.f(x)在[－2，2]上有4个零点3、（2022·湖南衡阳·二模）已知定义在上的奇函数恒有，当时，，已知，则函数在上的零点个数为（       ）A．4个B．5个C．3个或4个D．4个或5个4、（2022·江苏泰州·模拟预测）已知定义在R上的奇函数满足，已知当时，，若恰有六个不相等的零点，则实数m的取值范围为（       ）A．B．C．D．5、（2022·广东广州·二模）函数的所有零点之和为__________．