2024年新高考数学一轮复习：第13讲 对数与对数函数（原卷版）

第13讲对数与对数函数1、对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与性质底数a>10<a<1图象性质定义域：值域：图象过定点，即恒有loga1＝0当x>1时，恒有当0<x<1时，恒有当x>1时，恒有；当0<x<1时，恒有在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数注意当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论2、反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线对称．对数函数的图象与底数大小的比较3、如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．1、【2021年甲卷文科】青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同 学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（       ）（）A．1.5B．1.2C．0.8D．0.62、【2021年新高考2卷】已知，，，则下列判断正确的是（       ）A．B．C．D．3、【2022年全国甲卷】已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9，则（       ）A．a>0>bB．a>b>0C．b>a>0D．b>0>a4、【2021年乙卷理科】设，，．则（       ）A．B．C．D．5、【2020年新课标3卷理科】已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（       ）A．a<b<cB．b<a<cC．b<c<aD．c<a<b6、【2020年新高考2卷（海南卷）】已知函数在上单调递增，则的取值范围是（       ）A．B．C．D．1、函数f(x)＝log2(－x2＋2)的值域为()A.　　　B.C.　　　　D.2、当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)3、函数y＝loga(x－2)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点．4、已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　)A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a5、函数f(x)＝log2(2x＋1)的单调增区间为________． 考向一　对数函数的运算例1　化简下列各式：(1)÷；(2)log225×log34×log59；(3)lg－lg＋lg.变式1、（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则密码一共有种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行次运算.现在有一台计算机，每秒能进行次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约为（       ）（参考数据：，）A．B．C．D．方法总结：对数式的运算化简要注意变成同底的对数式来进行．考向二　对数函数的性质及其应用例1、（1）函数的定义域为（）A．B．C．D．（2）设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________．（3）若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为________．变式1、（1）（2022·湖北·黄冈中学二模）已知函数，，则的值为（       ）A．1B．0C．D．（2）（2022·湖南湖南·二模）已知函数是R上的奇函数，当时，，若，是自然对数的底数，则（       ） A．B．C．D．变式2、（1）（2022·湖南·岳阳一中一模）设，，，则（       ）A．B．C．D．（2）（2022·湖南·长郡中学一模）已知，，，则下列关系正确的是（       ）A．B．C．D．方法总结：对数函数的性质有着十分广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等．(1)对数值大小比较的主要方法：①化为同底数后利用函数的单调性；②化为同真数后利用图像比较；③借用中间量(0或1等)进行估值比较．(2)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时须分底数0<a<1和a>1两种情形进行分类讨论，防止错解．考向三对数函数的图像及其应用例2、已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.变式1、　(1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)A．0<a－1<b<1B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1D．0<a－1<b－1<1(2)若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为．变式2、（2022·湖北·蕲春县第一高级中学模拟预测）已知，，为正实数，满足，，，则，，的大小关系为（       ）A．B．C．D． 方法总结：(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．考向三对数函数的综合及应用例3、已知函数．（1）当时，求该函数的值域；（2）求不等式的解集；变式1、(多选)已知函数f (x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，令h(x)＝f (1－|x|)，则关于函数h(x)有下列说法，其中正确的说法为(　　)A．h(x)的图象关于原点对称B．h(x)的图象关于y轴对称C．h(x)的最大值为0D．h(x)在区间(－1,1)上单调递增变式2、已知函数f(x)＝lg(k∈R).(1)当k＝0时，求函数f(x)的值域；(2)当k＞0时，求函数f(x)的定义域；(3)若函数f(x)在区间[10，＋∞)上是单调增函数，求实数k的取值范围．方法总结：高考对对数函数的考查多以对数与对数函数为载体，考查对数的运算和对数函数的图像和性质的应用，且常与二次函数、方程、不等式等内容交汇命题．解决此类问题的关键是根据已知条件，将问题转化为(或构造)对数函数或对数型函数，再利用图像或性质求解． 1、（2022·湖北·黄冈中学二模）已知，，，则（       ）．A．B．C．D．2、设函数，则（）A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减3、（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在如今这个5G时代，6G研究已方兴未艾．2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办．会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．若不改变带宽W，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递率C会提升到原来的（       ）参考数据：．A．2.4倍B．2.5倍C．2.6倍D．2.7倍4、（2022·广东佛山·三模）（多选题）已知，则下列不等式成立的是（       ）A．B．C．D．5、（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）若函数满足：（1）对于任意实数，当时，都有；（2），则___________.(答案不唯一，写出满足这些条件的一个函数即可)6、已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________；7、已知函数f(x)＝|log2x|，实数a，b满足0<a<b，且f(a)＝f(b).若f(x)在[a2，b]上的最大值为2，则＋b＝________．