2024年新高考数学一轮复习：第12讲 指数与指数函数（原卷版）

第12讲指数与指数函数一、指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数．(2)指数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象定义域值域性质[常用结论]二、指数函数图象的画法1.画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究． 1、【2020年新课标2卷理科】若，则（       ）A．B．C．D．2、【2020年新课标3卷理科】Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（       ）（ln19≈3）A．60B．63C．66D．693、【2020年新高考1卷（山东卷）】基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（       ）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天4、【2018年新课标1卷文科】设函数，则满足的x的取值范围是A．B．C．D．5、【2022年全国甲卷】函数y=3x-3-xcosx在区间-π2,π2的图象大致为（       ）A．B． C．D．1、已知a＝，b＝，c＝，则(　　)A．c<b<aB．a<b<cC．b<a<cD．c<a<b2、若函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，则(　　)A．a>1，b>1B．a>1,0<b<1C．0<a<1，b>1D．0<a<1,0<b<13、函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍，则a的值是(　　)A.或B.或2C.D．24、(多选)下列结论中，正确的是(　　)A.函数y＝2x-1是指数函数B.函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是[1，＋∞)C.若am>an(a>0，a≠1)，则m>nD.函数f(x)＝ax-2－3(a>0，a≠1)的图象必过点(2，－2)4.化简的结果是________.考向一化简下列各式： (1)；(2)；(3).考向二指数函数的性质与应用例2、（1）．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0．53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜cB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．a＜b＜c．（2）．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0，a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为（）A．3B．C．-5D．3或．（3）．已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．变式1、过原点O的直线与函数y＝2x的图像交于A，B两点，过点B作y轴的垂线交函数y＝4x的图像于点C，若AC平行于y轴，则点A的坐标是________．变式2、（2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟）已知过点的直线与函数的图象交于、两点，点在线段上，过作轴的平行线交函数的图象于点，当∥轴，点的横坐标是变式3、已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3，0]上的值域；(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求实数a的取值范围． 考向三指数函数的综合运用例3、已知函数f(x)＝3x＋λ·3－x(λ∈R).(1)若f(x)为奇函数，求λ的值和此时不等式f(x)＞1的解集；(2)若不等式f(x)≤6对x∈[0，2]恒成立，求实数λ的取值范围．变式1、关于函数f(x)＝的性质，下列说法中正确的是(　　)A．函数f(x)的定义域为RB．函数f(x)的值域为(0，＋∞)C．方程f(x)＝x有且只有一个实根D．函数f(x)的图象是中心对称图形变式2、(2022·江苏南通市区期中)设函数f(x)的定义域为R，f(x)为偶函数，f(x＋1)为奇函数，当x∈[1，2]时，，若f(0)＋f(1)＝－4，则．变式3、已知函数，则（）．A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．在上单调递增D．在上单调递减1、已知指数函数，将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则a的值是（）A．B．C．D． 2、(2022·江苏省第一次大联考)航天之父、俄罗斯科学家齐奥科夫斯基(K．E．Tsiolkovsky)于1903年给出火箭最大速度的计算公式v＝V0ln(1＋)．其中，V0是燃料相对于火箭的喷射速度，M是燃料的质量，m0是火箭(除去燃料)的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度．已知V0＝2km/s，则当火箭的最大速度v可达到10km/s时，火箭的总质量(含燃料)至少是火箭(除去燃料)的质量的()倍A．e5B．e5－1C．e6D．e6－13、(2022·江苏淮安市六校第一次联考)(多选题)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋3)＝f(x－1)，若当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－1，则下列结论正确的是()A．当x∈[－2，0]时，B．f(2019)＝1C．y＝f(x)的图像关于点(2，0)对称D．函数g(x)＝f(x)－log2x有3个零点4、（2022·广东汕头·二模）（多选题）设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是（       ）A．B．C．D．