2024年新高考数学一轮复习：第12讲 指数与指数函数（解析版）

第12讲指数与指数函数一、指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数．(2)指数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象定义域(1)R值域(2)(0，＋∞)性质(3)过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1(4)当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1(5)当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数[常用结论]二、指数函数图象的画法1.画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究． 1、【2020年新课标2卷理科】若，则（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.2、【2020年新课标3卷理科】Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（       ）（ln19≈3）A．60B．63C．66D．69【答案】C【解析】，所以，则，所以，，解得.故选：C.3、【2020年新高考1卷（山东卷）】基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（       ）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天 【答案】B【解析】因为，，，所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，则，所以，所以，所以天.故选：B.4、【2018年新课标1卷文科】设函数，则满足的x的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.5、【2022年全国甲卷】函数y=3x-3-xcosx在区间-π2,π2的图象大致为（       ）A．B． C．D．【答案】A【解析】令f(x)=(3x-3-x)cosx,x∈[-π2,π2]，则f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-(3x-3-x)cosx=-f(x)，所以f(x)为奇函数，排除BD；又当x∈(0,π2)时，3x-3-x>0,cosx>0，所以f(x)>0，排除C.故选：A.1、已知a＝，b＝，c＝，则(　　)A．c<b<aB．a<b<cC．b<a<cD．c<a<b【答案】　A【解析】因为a＝＝，b＝，所以a＝>＝b，因为b＝＝＝，c＝＝＝，则b>c.综上所述，a>b>c.2、若函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，则(　　)A．a>1，b>1B．a>1,0<b<1C．0<a<1，b>1D．0<a<1,0<b<1 【答案】　D【解析】根据图象，函数f(x)＝ax－b是单调递减的，所以指数函数的底数a∈(0,1)，根据图象的纵截距，令x＝0，y＝1－b∈(0,1)，解得b∈(0,1)，即a∈(0,1)，b∈(0,1)．3、函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍，则a的值是(　　)A.或B.或2C.D．2【答案】　B【解析】当a>1时，函数单调递增，f(x)max＝2f(x)min，∴f(2)＝2f(1)，∴a2＝2a，∴a＝2；当0<a<1时，函数单调递减，f(x)max＝2f(x)min，∴f(1)＝2f(2)，∴a＝2a2，∴a＝，综上所述，a＝2或a＝.4、(多选)下列结论中，正确的是(　　)A.函数y＝2x-1是指数函数B.函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是[1，＋∞)C.若am>an(a>0，a≠1)，则m>nD.函数f(x)＝ax-2－3(a>0，a≠1)的图象必过点(2，－2)【答案】BD【解析】对于A，根据指数函数的定义可得y＝2x-1不是指数函数，故A错误；对于B，当a>1时，y＝ax2＋1≥1，故B正确；对于C，当0<a<1时，函数y＝ax单调递减，由am>an，得m<n，故C错误；对于D，由f(2)＝a2-2－3＝－2，得f(x)的图象恒过点(2，－2)，故D正确．故选BD.4.化简的结果是________.【答案】 【解析】原式＝＋1＋＝＋1＋＝.　考向一化简下列各式：(1)；(2)；(3).【解析】(1)原式＝＝＝ab-1＝.(2)原式＝×(－3)÷2×＝(3)原式＝＝.考向二指数函数的性质与应用例2、（1）．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0．53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜cB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．a＜b＜c．（2）．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0，a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为（）A．3B．C．-5D．3或．（3）．已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．【解析】（1）．B由函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，得m＝0，即f(x)＝2|x|－1，其图象过原点，且关于y轴对称， 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．又a＝f(log0．53)＝f(－log23)＝f(log23)，b＝f(log25)，c＝f(0)，且0＜log23＜log25，所以c＜a＜b．（2）．D令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2．当a＞1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)．当0＜a＜1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，则ymax＝－2＝14，解得a＝(负值舍去)．综上知a＝3或a＝．（3）令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减，而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．变式1、过原点O的直线与函数y＝2x的图像交于A，B两点，过点B作y轴的垂线交函数y＝4x的图像于点C，若AC平行于y轴，则点A的坐标是________．【答案】(1,2)．【解析】设C(a,4a)，则A(a,2a)，B(2a,4a)．又O，A，B三点共线，所以＝，故4a＝2·2a，所以2a＝0(舍去)或2a＝2，即a＝1，所以点A的坐标是(1,2)．变式2、（2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟）已知过点的直线与函数的图象交于、两点，点在线段上，过作轴的平行线交函数的图象于点，当∥轴，点的横坐标是【答案】【解析】根据题意，可设点，则,由于∥轴，故，代入， 可得，即，由于在线段上，故，即，解得.变式3、已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3，0]上的值域；(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求实数a的取值范围．【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝2×4x－2x－1.令2x＝t.由x∈[－3，0]，得t∈，则g(t)＝2t2－t－1，图象的对称轴为直线t＝，所以g(t)在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以g(t)min＝g＝2×－－1＝－，g(t)max＝g(1)＝2×1－1－1＝0.综上，f(x)在区间[－3，0]上的值域为.(2)令2x＝m，m∈(0，＋∞).若f(x)＝0有解，则2a·m2－m－1＝0在区间(0，＋∞)上有解，即a＝＋在区间(0，＋∞)上有解．令＝b∈(0，＋∞)，所以y＝b2＋b＝－，所以y＝b2＋b在区间(0，＋∞)上单调递增，则y的值域为(0，＋∞)，故实数a的取值范围是(0，＋∞).考向三指数函数的综合运用例3、已知函数f(x)＝3x＋λ·3－x(λ∈R).(1)若f(x)为奇函数，求λ的值和此时不等式f(x)＞1的解集；(2)若不等式f(x)≤6对x∈[0，2]恒成立，求实数λ的取值范围． 【解析】(1)若f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0，即3x＋λ·3－x＋3－x＋λ·3x＝0，化简，得(1＋λ)(3x＋3－x)＝0.因为3x＋3－x>0，所以1＋λ＝0，解得λ＝－1，所以f(x)＝3x－3－x.令3x＝t>0，则f(x)>1，即t－>1，解得t<或t>.又因为t>0，所以t>，即3x>，所以x>log3，所以f(x)>1的解集为(log3，＋∞).(2)若f(x)≤6对x∈[0，2]恒成立，则λ≤6×3x－(3x)2在区间[0，2]上恒成立．令3x＝m∈[1，9]，则g(m)＝－m2＋6m，图象的对称轴为直线m＝3，所以g(m)在区间[1，3]上单调递增，在区间[3，9]上单调递减，所以g(m)min＝g(9)＝－81＋54＝－27，所以λ的取值范围是(－∞，－27].变式1、关于函数f(x)＝的性质，下列说法中正确的是(　　)A．函数f(x)的定义域为RB．函数f(x)的值域为(0，＋∞)C．方程f(x)＝x有且只有一个实根D．函数f(x)的图象是中心对称图形【答案】　ACD【解析】　函数f(x)＝的定义域为R，所以A正确；因为y＝4x在定义域内单调递增，所以函数f(x)＝在定义域内单调递减，所以函数的值域为，所以方程f(x)＝x只有一个实根，所以B不正确，C正确；因为f(x＋1)＋f(－x)＝＋ ＝＋＝，∴f(x)关于对称，所以D正确．变式2、(2022·江苏南通市区期中)设函数f(x)的定义域为R，f(x)为偶函数，f(x＋1)为奇函数，当x∈[1，2]时，，若f(0)＋f(1)＝－4，则．【答案】4－4【解析】由题意，因为f(x＋1)是奇函数，f(x)是偶函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，则f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数，则x＝0时，f(1)＝－f(1)，则f(1)＝0，由f(0)＋f(1)＝－4，可得f(0)＝－4，即f(2)＝－f(0)＝4，则，解得a＝2，b＝－4，所以(－)＝－f(－＋2)＝－f()＝－(2×2－4)＝4－．变式3、已知函数，则（）．A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．在上单调递增D．在上单调递减【答案】A【解析】的定义域为，A：因为，所以函数的图象关于对称，因此本选项正确；B：由A知，所以的图象不关于点对称，因此本选项不正确；C：函数在时，单调递增，在时，单调递减，因此函数在时单调递增，在时单调递减，故本选项不正确；D：由C的分析可知本选项不正确，故选：A 1、已知指数函数，将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则a的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得，再将的图象向右平移个单位长度，得到函数，又因为，所以，，整理可得，因为且，解得.故选：D.2、(2022·江苏省第一次大联考)航天之父、俄罗斯科学家齐奥科夫斯基(K．E．Tsiolkovsky)于1903年给出火箭最大速度的计算公式v＝V0ln(1＋)．其中，V0是燃料相对于火箭的喷射速度，M是燃料的质量，m0是火箭(除去燃料)的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度．已知V0＝2km/s，则当火箭的最大速度v可达到10km/s时，火箭的总质量(含燃料)至少是火箭(除去燃料)的质量的()倍A．e5B．e5－1C．e6D．e6－1【答案】A【解析】由题意可知，2ln(1＋)＝10，则1＋＝＝e5，即火箭的总质量(含燃料)至少是火箭(除去燃料)的质量的e5，故答案选A．3、(2022·江苏淮安市六校第一次联考)(多选题)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋3)＝f(x－1)，若当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－1，则下列结论正确的是()A．当x∈[－2，0]时，B．f(2019)＝1C．y＝f(x)的图像关于点(2，0)对称D．函数g(x)＝f(x)－log2x有3个零点【答案】ABD【解析】由题意，已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋3)＝f(x－1)，即该函数周期为4，又因为x∈[0，2]时，f(x)＝2x－1，当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，f(x)＝f(－x)＝，所以选项A正确；f(2019)＝f(4× 505－1)＝f(－1)＝f(1)＝1，所以选项B正确；y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称，则f(3)＋f(1)＝0，但是f(3)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(3)＋f(1)≠0与f(3)＋f(1)＝0矛盾，所以选项C错误；可作出函数的图象即可得到，函数有3个零点，所以选项D正确；综上，答案选ABD．4、（2022·广东汕头·二模）（多选题）设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是（       ）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】设，根据指数与对数的关系，利用换底公式及指数幂的运算法则，逐一验证四个选项得答案．【详解】解：设，则，，，所以，即，所以，所以，故D正确；由，所以，故A正确，B错误；因为，，又，所以，即，故C正确；故选：ACD