2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第9讲指数与指数函数（讲）（Word版附解析）

第9讲指数与指数函数思维导图知识梳理(1)根式的性质①()n＝a(a使有意义)．②当n是奇数时，＝a；当n是偶数时，＝|a|＝(2)分数指数幂的意义①a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．②a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3)有理数指数幂的运算性质①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；②＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．2．指数函数的概念函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．3．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质底数a>10<a<1图象性质定义域为R，值域为(0，＋∞)图象过定点(0，1)当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有0<y<1当x>0时，恒有0<y<1；当x<0时，恒有y>1在定义域R上为增函数在定义域R上为减函数注意指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质与a的取值有关，应分a>1与0<a<1来研究核心素养分析幂函数、指数函数与对数函数是最基本的、应用最广泛的函数，是进一步研究数学的基础。本讲的学习，可以帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究这些函数的性质；理解这些函数中所蕴含的运算规律；运用这些函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用。题型归纳题型1指数幂的化简与求值【例1-1】（2019秋•徐州期末）化简，得　　A．B．C．D．【分析】利用指数幂的运算性质即可得出．【解答】解：． 故选：．【例1-2】（2019秋•揭阳期末）　　．【分析】根据指数的运算性质，及根式与分数指数幂的互化及其化简运算法则，可得答案．【解答】解：，故答案为：【跟踪训练1-1】（2019·安庆期末）化简4a·b－÷的结果为(　　)A．－　　　　　　　B．－C．－D．－6ab【分析】根据指数的运算性质，及根式与分数指数幂的互化及其化简运算法则，可得答案．【解答】　原式＝－6ab－－＝－6ab－1＝－.【跟踪训练1-2】（2019·长沙质检）计算：＋0.002－－10(－2)－1＋π0＝________．　【分析】根据指数的运算性质，及根式与分数指数幂的互化及其化简运算法则，可得答案．【解答】原式＝＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－.【名师指导】指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．题型2指数函数的图象及应用 【例2-1】(1)函数f(x)＝21－x的大致图象为(　　)(2)若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．【解析】　(1)函数f(x)＝21－x＝2×，单调递减且过点(0，2)，选项A中的图象符合要求．(2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围为(－∞，0]．【跟踪训练2-1】函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)A．a>1，b<0　　　B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0【解答】由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.故选D.【跟踪训练2-2】若关于x的方程|ax－1|＝2a(a＞0，且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是________．【解答】方程|ax－1|＝2a(a＞0，且a≠1)有两个不等实根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．(1)当0＜a＜1时，如图①，所以0＜2a＜1，即0＜a＜；(2)当a＞1时，如图②，而y＝2a＞1不符合要求．所以0＜a＜. 【名师指导】有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．题型3指数函数的性质及应用【例3-1】（2019秋•沙坪坝区校级期末）已知函数，若，，，则实数，，的大小关系为　　A．B．C．D．【分析】利用函数，为偶函数，在上单调递增，即可得出结论．【解答】解：函数，为偶函数，在上单调递增．，（1），，．则实数，，的大小关系为．故选：．【例3-2】　(1)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．(2)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．[解析]　(1)当a<1时，41－a＝21，解得a＝；当a>1时，代入不成立．故a的值为.(2)若a<0，则f(a)<1⇔－7<1⇔<8，解得a>－3，故－3<a<0；若a≥0，则f(a)<1⇔<1，解得a<1，故0≤a<1.综合可得－3<a<1. [答案]　(1)　(2)(－3，1)【例3-3】（2020·无锡校级模拟）已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)．(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性．【解析】(1)f(x)的定义域是R，令y＝，得ax＝－，因为≠1在定义域内恒成立，所以y≠1.因为ax>0，所以－>0，解得－1<y<1，所以f(x)的值域为(－1，1)．(2)因为f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(3)f(x)＝＝1－.设x1，x2是R上任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.因为x1<x2，所以当a>1时，ax2>ax1>0，从而ax1＋1>0，ax2＋1>0，ax1－ax2<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，f(x)为R上的增函数；当0<a<1时，ax1>ax2>0，从而ax1＋1>0，ax2＋1>0，ax1－ax2>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，f(x)为R上的减函数．【跟踪训练3-1】（2019秋•启东市期中）已知函数，若，（2），，则　　A．B．C．D．【分析】根据题意，由指数函数的性质分析可得在上为增函数，又由，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，函数，则在上为增函数，又由，则；故选：．【跟踪训练3-2】（2020·广州月考）若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________．【解析】因为f(x)为偶函数，当x<0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝2－x－4.所以f(x)＝当f(x－2)>0时，有或解得x>4或x<0.所以不等式的解集为{x|x>4或x<0}．【跟踪训练3-3】（2019•山东模拟）若，则有　　A．B．C．D．【分析】利用函数单调性求由构造函数，利用函数单调性得答案．【解答】解法一：取特殊值排除；当，时，，成立，排除，．当，，成立，排除．法二：构造函数利用单调性：令，则是增函数，，（a），即．故选：．【名师指导】1.利用指数函数的性质比较幂值的大小，其方法是：先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；2.利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，其方法是：先利用幂的运算性质化为同底数幂， 再利用函数单调性转化为一般不等式求解；3.指数函数性质的综合应用，其方法是：首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解．