2024年新高考数学一轮复习：第15讲 函数与方程（解析版）

第15讲函数与方程1、函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使方程f(x)＝0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．(2)方程的根与函数零点的关系：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．所以函数y＝f(x)有零点等价于函数y＝f(x)的图像与x轴有交点，也等价于方程f(x)＝0有实根．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图像是一条连续的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时c就是方程f(x)＝0的根．但反之，不成立．2、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像交点(x1，0),_(x2，0)(x1，0)无交点零点个数2103、有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．【2018年新课标1卷理科】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）【答案】C【解析】首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉， 再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.1、.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)A.，0B.－2，0C.D.0【答案】D【解析】　当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解.综上，函数f(x)的零点只有0.2、函数f(x)＝lnx－的零点所在的区间是(　　)A.(1，2)B.(2，3)C.(3，4)D.(4，5)【答案】　B【解析】 　函数f(x)＝lnx－在(1，＋∞)上单调递增，且在(1，＋∞)上连续.因为f(2)＝ln2－2＜0，f(3)＝ln3－1＞0，所以f(2)·f(3)＜0，所以函数的零点所在的区间是(2，3).3、若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内存在一个零点，则a的取值范围是（）A.B.C.(－∞，－1)D.(－∞，－1)∪【答案】　D【解析】　当a＝0时，f(x)＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0；函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内是单调函数，所以f(－1)·f(1)＜0，即(5a－1)(a＋1)＞0，解得a＜－1或a＞．4、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知函数，，若存在实数使在上有2个零点，则的取值范围为________．【答案】．【解析】已知实数使在上有2个零点，等价于与的函数图象在上有2个交点，显然与x轴的交点为，的图象关于对称，当时，若要有2个交点，由数形结合知m一定小于e，即； 当时，若要有2个交点，须存在a使得在有两解，所以，因为，即，显然存在这样的a使上述不等式成立；由数形结合知m须大于在处的切线与x轴交点的横坐标，即综上所述，m的范围为．考向一　判断零点所在的区间例1、(多选)(1)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点(　　)A.(－2，－1)B.(－1，0)C.(0，1)D.(1，2)【答案】AD【解析】　f(－2)＝＞0，f(－1)＝－1<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－4>0，因为f(－2)·f(－1)＜0，f(1)·f(2)<0，所以f(x)在(－2，－1)和(1，2)内存在零点.（2）.函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　)A.(1，3)B.(1，2)C.(0，3)D.(0，2)【答案】C【解析】 因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，所以0<a<3.变式1、设函数f(x)＝x－lnx，则函数y＝f(x)(　　)A.在区间，(1，e)内均有零点B.在区间，(1，e)内均无零点C.在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D.在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点【答案】　D【解析】　令f(x)＝0得x＝lnx.作出函数y＝x和y＝lnx的图象，如图，显然y＝f(x)在内无零点，在(1，e)内有零点.变式2、若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内【答案】　A【解析】　函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．方法总结：确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点. (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.2.函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要综合函数性质进行分析判断.考向二判断零点的个数例2　(1)定义在R上的偶函数y＝f(x)，当x≥0时，f(x)＝lg(x2－3x＋3)，求f(x)在R上的零点个数；(2)试探讨函数f(x)＝ex＋x－2的零点个数．【解析】(1)当x＝0时，f(0)＝lg3≠0；当x>0时，令f(x)＝0，得x2－3x＋3＝1，即x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2.因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x).当x<0时，令f(x)＝0，得x＝－1或x＝－2，故函数f(x)在R上的零点个数为4.(2)由题意，得f′(x)＝ex＋(x∈R).因为ex＋>0恒成立，所以f(x)在R上单调递增．又f(0)＝－1，f(4)＝e4，所以f(0)·f(4)<0.由零点存在性定理，得连续函数f(x)在区间(0，4)上至少有一个零点．又因为f(x)在R上单调递增，所以函数f(x)的零点个数为1.变式1、变式2、函数f(x)＝2x|log2x|－1的零点个数为(　　)A．0B．1C．2D．4【答案】C【解析】　令f(x)＝0，得|log2x|＝x，分别作出y＝|log2x|与y＝x的图象(图略)，由图可知，y＝|log2x|与y＝x的图象有两个交点，即原函数有2个零点．变式2、（2022·山东省实验中学模拟预测）（多选题）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，那么函数在定义域内的零点个数可能是（       ） A．2B．4C．6D．8【答案】BC【解析】【分析】函数在定义域的零点个数可转化成的根的个数，根据偶函数的图像关于轴对称，只需考虑时的根的个数，从而可得结论.【详解】当时，当时，令，解得或2共有两个解；当时，令，即，当时，方程无解；当时，，符合题意，方程有1解；当时，，不符合题意，方程无解；所以当时，有2个或3个根，而函数是定义在R上的偶函数，所以函数在定义域内的零点个数可能是4或6.故选：BC方法总结：函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.考向三与零点有关的参数的范围例3、(1)设函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝若函数y＝f(x)－m有4个不同的零点，求实数m的取值范围；(2)已知函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2＋bf(x)＋4b＋1＝0有4个不同的实数根，求实数b的取值范围．【解析】(1)因为f(x)是偶函数，当x∈[0，3]时，f(x)∈；当x∈(3，＋∞)时，f(x)∈(0，1)，所以结合图象可知当函数y＝f(x)－m有4个不同的零点时，m的取值范围是. (2)当x>0时，|lnx|≥0，|lnx|＋3≥3，即f(x)≥3；当x≤0时，f(x)＝－(x＋1)2－1≤－1，所以f(x)的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)，所以结合函数f(x)的图象可知关于f(x)的方程[f(x)]2＋bf(x)＋4b＋1＝0，一根在区间[－2，－1)内，一根在区间(3，＋∞)内，所以解得－≤b<－，所以实数b的取值范围是.变式1、（1）已知函数f(x)＝若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围是________．（2）已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝．若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．【答案】（1）　(－5，0)（2）【解析】（1）．当x∈(0，1)时，f′(x)＝6x2＋6x>0，则f(x)＝2x3＋3x2＋m在[0，1]单调递增，又函数f(x)的图象与x轴有且仅有两个不同的交点，所以在区间[0，1]和(1，＋∞)上分别有一个交点，则f(1)＝m<0，且f(1)＝m＋5>0，解得－5<m<0．（2）．作出函数y＝f(x)与y＝a的图象，根据图象交点个数得出a的取值范围．作出函数y＝f(x)在[－3，4]上的图象，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝，观察图象可得0<a<．变式2、（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数，若关于的方程 有且只有三个不同的实数解，则正实数的取值范围为（       ）A．B．C．D．【答案】B【分析】化简函数解析式，分析可知关于的方程、共有个不同的实数解，利用代数法可知方程有两个根，分析可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】因为，由可得，所以，关于的方程、共有个不同的实数解.①先讨论方程的解的个数.当时，由，可得，当时，由，可得，当时，由，可得，所以，方程只有两解和；②下面讨论方程的解的个数.当时，由可得，可得或，当时，由，可得，此时方程有无数个解，不合乎题意，当时，由可得， 因为，由题意可得或或，解得或.因此，实数的取值范围是.故选：B.方法总结：函数零点求参数范围，其思路是把一个函数拆分为两个基本初等函数，将函数的零点问题转化为两函数图象问题，体现转化与化归思想及数形结合思想，从而体现核心素养中的直观想象1、函数的零点所在区间为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，，，由.故选：C2、（多选题）已知定义在R上的奇函数f(x)的图象连续不断，且满足f(x＋2)＝f(x)，则以下结论成立的是(　　)A.函数f(x)的周期T＝2B.f(2021)＝f(2022)＝0C.点(1，0)是函数y＝f(x)图象的一个对称中心D.f(x)在[－2，2]上有4个零点【答案】　ABC 【解析】　定义在R上的奇函数f(x)的图象连续不断，且满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期为2，所以A正确；f(－1＋2)＝f(－1)，即f(1)＝f(－1)＝－f(1)，所以f(1)＝f(－1)＝0，所以f(2021)＝f(1)＝0，f(2022)＝f(0)＝0，所以B正确；f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，C正确；f(x)在[－2，2]上有f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝0，有5个零点，所以D错误.3、（2022·湖南衡阳·二模）已知定义在上的奇函数恒有，当时，，已知，则函数在上的零点个数为（       ）A．4个B．5个C．3个或4个D．4个或5个【答案】D【解析】因为，所以的周期为2，又因为为奇函数，，令，得，又，所以，当时，，由单调递减得函数在上单调递增，所以，得，作出函数图象如图所示， 由图象可知当过点时，，此时在上只有3个零点.当经过点时，，此时有5个零点.当时，有4个零点.当经过点时，，此时有5个零点.当时，有4个零点.当经过点时，，此时在上只有3个零点.当时，有4个零点.所以当时，函数在上有4个或5个零点.故选：D4、（2022·江苏泰州·模拟预测）已知定义在R上的奇函数满足，已知当时，，若恰有六个不相等的零点，则实数m的取值范围为（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为是定义在R上的奇函数，所以.所以当时，.因为，则关于对称，因为关于对称，有6个不相同的根，∴在有三个不同的根，表示过定点的直线系，. 作出在上的图象,如图所示，时，，又,则；时，;时，显然不满足题意.∴m的取值范围.故选：D．5、（2022·广东广州·二模）函数的所有零点之和为__________．【答案】9【解析】由，令，，显然与的图象都关于直线对称，在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，观察图象知，函数，的图象有6个公共点，其横坐标依次为， 这6个点两两关于直线对称，有，则，所以函数的所有零点之和为9.故答案为：9