2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第5章　必刷小题10　平面向量与复数

必刷小题10　平面向量与复数一、单项选择题1．(2022·临沂模拟)设向量a＝(1，x)，b＝(x,9)，若a∥b，则x等于(　　)A．－3B．0C．3D．3或－3答案　D解析　由a∥b，得9－x2＝0，所以x＝±3.2．(2023·长沙模拟)设z(1－2i)＝|3＋4i|，则z的共轭复数在复平面内对应的点在(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案　D解析　因为z(1－2i)＝|3＋4i|＝＝5，所以z＝＝＝＝1＋2i，所以z的共轭复数为1－2i，它在复平面内对应的点(1，－2)在第四象限．3．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)等于(　　)A．4B．3C．2D．0答案　B解析　因为|a|＝1，a·b＝－1，所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2＋1＝3.4．(2022·聊城模拟)若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为(　　)A.B.C.D.答案　C解析　由题可知，|a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝0⇒a·b＝－1，∴cos〈a，b〉＝＝＝－.∵〈a，b〉∈[0，π]，∴向量a与b的夹角为.5.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n等于(　　)7 A．0B．1C．2D．3答案　C解析　如图，连接AO，由O为BC的中点可得，＝(＋)＝＋，∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，即m＋n＝2.6．定义：|a×b|＝|a|·|b|sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(　　)A．8B．－8C．8或－8D．6答案　A解析　由已知可得cosθ＝＝－，∵0≤θ≤π，∴sinθ＝＝，∴|a×b|＝|a|·|b|sinθ＝8.7．(2023·日照模拟)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，且＝3，则·的值为(　　)A．－B.C．1D．－8答案　B解析　如图所示，把△ABC放在直角坐标系中，由于△ABC的边长为1，故B(0,0)，C(1,0)，A，∵点D，E分别是边AB，BC的中点，∴D，E，设F(x，y)，＝，＝，∵＝3，∴⇒⇒F，＝，＝(1,0)，·＝.7 8．(2023·岳阳模拟)在一个边长为2的等边△ABC中，若点P是平面ABC内的任意一点，则·的最小值是(　　)A．－B．－C．－1D．－答案　C解析　如图，以AC为x轴，AC中点为原点建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，∴·＝x2－1＋y2＝x2＋y2－1≥－1，当且仅当P在原点时，取等号．故·的最小值是－1.二、多项选择题9．(2022·潍坊模拟)若复数z1＝2＋3i，z2＝－1＋i，其中i是虚数单位，则下列说法正确的是(　　)A.∈RB.＝·C．若z1＋m(m∈R)是纯虚数，那么m＝－2D．若，在复平面内对应的向量分别为，(O为坐标原点)，则||＝5答案　BC解析　对于A，＝＝＝＝－i，A错误；对于B，∵z1·z2＝(2＋3i)(－1＋i)＝－5－i，∴＝－5＋i；又·＝(2－3i)(－1－i)＝－5＋i，∴＝·，B正确；对于C，∵z1＋m＝2＋m＋3i为纯虚数，∴m＋2＝0，解得m＝－2，C正确；对于D，由题意得＝(2，－3)，＝(－1，－1)，∴＝－＝(－3,2)，∴||＝＝，D错误．10．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均为正数，且(a－b)∥c，则下列说法正确的是(　　)7 A．a与b的夹角为钝角B．向量a在b上的投影向量为bC．2m＋n＝4D．mn的最大值为2答案　CD解析　对于A，向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，则a·b＝2－1＝1>0，又a，b不共线，所以a，b的夹角为锐角，故A错误；对于B，向量a在b上的投影向量为·＝b，B错误；对于C，a－b＝(1,2)，若(a－b)∥c，则－n＝2(m－2)，变形可得2m＋n＝4，C正确；对于D，由2m＋n＝4，且m，n均为正数，得mn＝(2m·n)≤2＝2，当且仅当m＝1，n＝2时，等号成立，即mn的最大值为2，D正确．11．瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离的一半．这个定理就是著名的欧拉线定理．设△ABC中，点O，H，G分别是外心、垂心、重心．下列四个选项中结论正确的是(　　)A.＝2B.＋＋＝0C．设BC边的中点为D，则有＝3D.＝＝答案　AB解析　如图，7 对于A项，由题意得＝2，AH⊥BC，所以＝2，所以A选项正确；对于B项，设D为BC的中点，＋＝2＝－，所以＋＋＝0，所以B选项正确；对于C项，因为D为BC的中点，G为△ABC的重心，所以＝2，＝2，∠AGH＝∠DGO，所以△AGH∽△DGO，所以＝2，故C选项错误；对于D项，向量，，的模相等，方向不同，故D选项错误．12．(2023·潍坊模拟)已知向量＝(1,2)，将绕原点O旋转－30°，30°，60°到，，的位置，则下列说法正确的是(　　)A.·＝0B．||＝||C.·＝·D．点P1的坐标为答案　ABC解析　由题意作图如图所示，∵⊥，∴·＝0，故选项A正确；∵PP1与PP2所对的圆心角相等，∴||＝||，故选项B正确；7 ∵·＝||||cos60°＝.·＝||||cos60°＝，故选项C正确；若点P1坐标为，则||＝≠，故选项D错误．三、填空题13．设{e1，e2}为基底，已知向量＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是________．答案　2解析　因为＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，所以＝－＝e1－2e2，若A，B，D三点共线，则∥，所以存在实数λ使得＝λ，故e1－ke2＝λ(e1－2e2)，所以λ＝1，k＝2.14．已知i是虚数单位，则＝________.答案　解析　因为i2021＝i，2022＝2022＝2022＝i2022＝i2＝－1，所以＝|－1＋i|＝＝.15.(2022·泰安模拟)如图，在四边形ABCD中，＝3，E为边BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.答案　解析　连接AC，如图所示，7 ＝＋＝＋(＋)＝＋，所以＝＋，则λ＋μ＝＋＝.16．(2023·济宁模拟)等边△ABC的外接圆的半径为2，点P是该圆上的动点，则·＋·的最大值为________．答案　8解析　∵△ABC为等边三角形，其外接圆的半径为2，∴以三角形的外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，如图所示，则A(2,0)，B(－1，)，C(－1，－)，设P(2cosθ，2sinθ)，则＝(2－2cosθ，－2sinθ)，＝(－1－2cosθ，－2sinθ)，＝(－1－2cosθ，－－2sinθ)，则·＋·＝(2－2cosθ)(－1－2cosθ)＋2sinθ(2sinθ－)＋(2cosθ＋1)2＋(2sinθ－)(2sinθ＋)＝4＋2cosθ－2sinθ＝4＋4cos，∴0≤·＋·≤8，则·＋·的最大值为8.7