第五章　必刷小题10　平面向量与复数

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期必刷小题10　平面向量与复数一、单项选择题1．(2022·临沂模拟)设向量a＝(1，x)，b＝(x,9)，若a∥b，则x等于(　　)A．－3B．0C．3D．3或－3答案　D解析　由a∥b，得9－x2＝0，所以x＝±3.2．(2023·长沙模拟)设z(1－2i)＝|3＋4i|，则z的共轭复数在复平面内对应的点在(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案　D解析　因为z(1－2i)＝|3＋4i|＝＝5，所以z＝＝＝＝1＋2i，所以z的共轭复数为1－2i，它在复平面内对应的点(1，－2)在第四象限．3．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)等于(　　)A．4B．3C．2D．0答案　B解析　因为|a|＝1，a·b＝－1，所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2＋1＝3.4．(2022·聊城模拟)若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为(　　)A.B.C.D.答案　C解析　由题可知，|a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝0⇒a·b＝－1，∴cos〈a，b〉＝＝＝－.∵〈a，b〉∈[0，π]，∴向量a与b的夹角为.5.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n等于(　　)成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期A．0B．1C．2D．3答案　C解析　如图，连接AO，由O为BC的中点可得，＝(＋)＝＋，∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，即m＋n＝2.6．定义：|a×b|＝|a|·|b|sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(　　)A．8B．－8C．8或－8D．6答案　A解析　由已知可得cosθ＝＝－，∵0≤θ≤π，∴sinθ＝＝，∴|a×b|＝|a|·|b|sinθ＝8.7．(2023·日照模拟)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，且＝3，则·的值为(　　)A．－B.C．1D．－8答案　B解析　如图所示，把△ABC放在直角坐标系中，由于△ABC的边长为1，故B(0,0)，C(1,0)，A，∵点D，E分别是边AB，BC的中点，∴D，E，设F(x，y)，＝，＝，∵＝3，∴⇒⇒F，＝，＝(1,0)，·＝.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期8．(2023·岳阳模拟)在一个边长为2的等边△ABC中，若点P是平面ABC内的任意一点，则·的最小值是(　　)A．－B．－C．－1D．－答案　C解析　如图，以AC为x轴，AC中点为原点建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，∴·＝x2－1＋y2＝x2＋y2－1≥－1，当且仅当P在原点时，取等号．故·的最小值是－1.二、多项选择题9．(2022·潍坊模拟)若复数z1＝2＋3i，z2＝－1＋i，其中i是虚数单位，则下列说法正确的是(　　)A.∈RB.＝·C．若z1＋m(m∈R)是纯虚数，那么m＝－2D．若，在复平面内对应的向量分别为，(O为坐标原点)，则||＝5答案　BC解析　对于A，＝＝＝＝－i，A错误；对于B，∵z1·z2＝(2＋3i)(－1＋i)＝－5－i，∴＝－5＋i；又·＝(2－3i)(－1－i)＝－5＋i，∴＝·，B正确；对于C，∵z1＋m＝2＋m＋3i为纯虚数，∴m＋2＝0，解得m＝－2，C正确；对于D，由题意得＝(2，－3)，＝(－1，－1)，∴＝－＝(－3,2)，∴||＝＝，D错误．10．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均为正数，且(a－b)∥c，则下列说法正确的是(　　)成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期A．a与b的夹角为钝角B．向量a在b上的投影向量为bC．2m＋n＝4D．mn的最大值为2答案　CD解析　对于A，向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，则a·b＝2－1＝1>0，又a，b不共线，所以a，b的夹角为锐角，故A错误；对于B，向量a在b上的投影向量为·＝b，B错误；对于C，a－b＝(1,2)，若(a－b)∥c，则－n＝2(m－2)，变形可得2m＋n＝4，C正确；对于D，由2m＋n＝4，且m，n均为正数，得mn＝(2m·n)≤2＝2，当且仅当m＝1，n＝2时，等号成立，即mn的最大值为2，D正确．11．瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离的一半．这个定理就是著名的欧拉线定理．设△ABC中，点O，H，G分别是外心、垂心、重心．下列四个选项中结论正确的是(　　)A.＝2B.＋＋＝0C．设BC边的中点为D，则有＝3D.＝＝答案　AB解析　如图，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期对于A项，由题意得＝2，AH⊥BC，所以＝2，所以A选项正确；对于B项，设D为BC的中点，＋＝2＝－，所以＋＋＝0，所以B选项正确；对于C项，因为D为BC的中点，G为△ABC的重心，所以＝2，＝2，∠AGH＝∠DGO，所以△AGH∽△DGO，所以＝2，故C选项错误；对于D项，向量，，的模相等，方向不同，故D选项错误．12．(2023·潍坊模拟)已知向量＝(1,2)，将绕原点O旋转－30°，30°，60°到，，的位置，则下列说法正确的是(　　)A.·＝0B．||＝||C.·＝·D．点P1的坐标为答案　ABC解析　由题意作图如图所示，∵⊥，∴·＝0，故选项A正确；∵PP1与PP2所对的圆心角相等，∴||＝||，故选项B正确；成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期∵·＝||||cos60°＝.·＝||||cos60°＝，故选项C正确；若点P1坐标为，则||＝≠，故选项D错误．三、填空题13．设{e1，e2}为基底，已知向量＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是________．答案　2解析　因为＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，所以＝－＝e1－2e2，若A，B，D三点共线，则∥，所以存在实数λ使得＝λ，故e1－ke2＝λ(e1－2e2)，所以λ＝1，k＝2.14．已知i是虚数单位，则＝________.答案　解析　因为i2021＝i，2022＝2022＝2022＝i2022＝i2＝－1，所以＝|－1＋i|＝＝.15.(2022·泰安模拟)如图，在四边形ABCD中，＝3，E为边BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.答案　解析　连接AC，如图所示，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期＝＋＝＋(＋)＝＋，所以＝＋，则λ＋μ＝＋＝.16．(2023·济宁模拟)等边△ABC的外接圆的半径为2，点P是该圆上的动点，则·＋·的最大值为________．答案　8解析　∵△ABC为等边三角形，其外接圆的半径为2，∴以三角形的外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，如图所示，则A(2,0)，B(－1，)，C(－1，－)，设P(2cosθ，2sinθ)，则＝(2－2cosθ，－2sinθ)，＝(－1－2cosθ，－2sinθ)，＝(－1－2cosθ，－－2sinθ)，则·＋·＝(2－2cosθ)(－1－2cosθ)＋2sinθ(2sinθ－)＋(2cosθ＋1)2＋(2sinθ－)(2sinθ＋)＝4＋2cosθ－2sinθ＝4＋4cos，∴0≤·＋·≤8，则·＋·的最大值为8.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期