2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第五章平面向量与复数5.1平面向量的概念及线性运算课件

§5.1平面向量的概念及线性运算第五章　平面向量与复数 1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有的量叫做向量，向量的大小称为向量的____.(2)零向量：长度为的向量，记作.(3)单位向量：长度等于长度的向量.(4)平行向量：方向相同或的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量.(5)相等向量：长度相等且方向的向量.(6)相反向量：长度相等且方向的向量.方向长度(或模)001个单位相反平行相同相反 2.向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a＋b＝；结合律：(a＋b)＋c＝_________b＋aa＋(b＋c) 减法a－b＝a＋(－b)数乘|λa|＝，当λ>0时，λa的方向与a的方向；当λ<0时，λa的方向与a的方向；当λ＝0时，λa＝____λ(μa)＝；(λ＋μ)a＝；λ(a＋b)＝_______|λ||a|相同相反0(λμ)aλa＋μaλa＋λb 3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使.b＝λa 4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.()(2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.()(3)若是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.()(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.()√××√ 1.(多选)下列命题正确的是A.零向量是唯一没有方向的向量B.零向量的长度等于0D.若a＝b，b＝c，则a＝c√√√ A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；B项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；D项，由向量相等的定义知D正确. √ 3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝____.由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]， 探究核心题型第二部分 例1(1)(多选)下列说法中正确的是A.单位向量都相等B.任一向量与它的相反向量不相等C.若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关D.若a与b是相反向量，则|a|＝|b|√题型一平面向量的基本概念√ 对于A，单位向量方向不同时并不相等，A错误；对于B，0的相反向量为0，B错误；对于C，|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关，C正确；对于D，相反向量是长度相等，方向相反的向量，D正确. √ 平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.思维升华 跟踪训练1(1)(多选)下列命题中正确的是A.向量的长度与向量的长度相等B.向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C.两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同D.两个终点相同的向量，一定是共线向量√√ 对于B，向量a与b平行，且a或b为零向量时，不满足条件，故B错误；对于C，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故C正确；对于D，两个终点相同的向量，不一定是共线向量，故D错误. √ 题型二平面向量的线性运算命题点1向量加、减法的几何意义√画出图形，如图所示， 例3如图，向量a－b等于A.－e1＋3e2B.－4e1－2e2C.e1－3e2D.－2e1－4e2命题点2向量的线性运算√a－b等于向量b的终点指向向量a的终点的向量，如图所示，分解后易知a－b＝－e1＋3e2. 命题点3根据向量线性运算求参数√ 如图所示，由题意知， 平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值. 跟踪训练2(1)如图，AB是圆O的一条直径，C，D是半圆弧的两个三等分点，则等于√ 因为C，D是半圆弧的两个三等分点，所以CD∥AB，且AB＝2CD， (2)(2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，A.3m－2nB.－2m＋3nC.3m＋2nD.2m＋3n√ 所以N为AC的中点，因为P是BN的中点， 例5已知O，A，B是不共线的三点，且(m，n∈R).(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；题型三共线定理及其应用 则A，P，B三点共线. (2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1. 利用共线向量定理解题的策略(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0. √ 因为M，N，Q三点共线，故存在实数λ，即a－2b＝λ[a－(k＋1)b]，整理得(1－λ)a＝[2－λ(k＋1)]b，解得λ＝1，k＝1. ∵P是线段BD上一点，√ 课时精练第三部分 12345678910111213141516基础保分练1.化简2(a－3b)－3(a＋b)的结果为A.a＋4bB.－a－9bC.2a＋bD.a－3b2(a－3b)－3(a＋b)＝2a－6b－3a－3b＝－a－9b.√ 2.(多选)下列命题中，正确的是A.若a∥b，b∥c，则a∥cB.在△ABC中，＝0C.若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反D.如果非零向量a，b的方向相同或相反，那么a＋b的方向与a，b之一的方向一定相同12345678910111213141516√√ 12345678910111213141516对于A选项，0平行于任何向量，若b＝0，满足a∥b，b∥c，但不一定满足a∥c，故A错误；对于B选项，首尾顺次相接，正确；对于C选项，两个单位向量互相平行，这两个单位向量相等或相反(大小相等，方向相反)，故C正确；对于D选项，当a＋b＝0时，零向量的方向是任意的，故D错误. 3.设a，b是平面内两个向量，“|a|＝|a＋b|”是“|b|＝0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12345678910111213141516√ 12345678910111213141516当|b|＝0时，b＝0，则|a＋b|＝|a＋0|＝|a|，故“|a|＝|a＋b|”是“|b|＝0”的必要不充分条件. A.A，B，C三点共线B.A，B，D三点共线C.A，C，D三点共线D.B，C，D三点共线12345678910111213141516√ 12345678910111213141516A.1B.2C.3D.4√ 12345678910111213141516因为四边形ABCD是边长为1的正方形， 12345678910111213141516A.1B.2C.3D.4∴λ＝μ＝2，∴λ＋μ＝4.√ 7.已知向量e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ等于12345678910111213141516因为a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，所以ka＝b，k≠0，所以k(2e1－e2)＝e1＋λe2.因为向量e1，e2是两个不共线的向量，√ 12345678910111213141516√ 12345678910111213141516则由共线定理知log0.5sinθ＋log2cosθ＝1，即log0.5sinθ－log0.5cosθ＝1， 12345678910111213141516∵向量ta＋b与a＋3b平行，∴存在实数k使得ta＋b＝k(a＋3b)，化为(t－k)a＋(1－3k)b＝0，∵向量a，b不平行，9.设向量a，b不平行，向量ta＋b与a＋3b平行，则实数t的值为____. 12345678910111213141516－2 12345678910111213141516综合提升练√ 12345678910111213141516 12.已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是12345678910111213141516√ 12345678910111213141516 12345678910111213141516√ 12345678910111213141516设线段AC，BC的中点分别为D，E，所以点O在△ABC的中位线DE上， 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516由点Q，B，D三点共线可得x＋3y＝1，x>0，y>0， 15.(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是12345678910111213141516拓展冲刺练√√√ 12345678910111213141516所以点M，B，C三点不共线，B错误； 12345678910111213141516如图，取BC中点H，连接AH，若点M是△ABC的重心，则点M在AH上，且MA＝2MH， 12345678910111213141516由于△MBC与△ABC同底，而高线之比等于MQ与AQ的比，即比值为2∶3， 16.如图，已知正六边形ABCDEF，M，N分别是对角线AC，CE上的点，12345678910111213141516 12345678910111213141516连接AD，交EC于G点，设正六边形边长为a， 12345678910111213141516