2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第五章平面向量与复数5.4平面向量的综合应用课件

§5.4平面向量的综合应用[培优课]第五章　平面向量与复数 例1(1)(2023·宿州模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝60°，a＝3，S△ABC＝，则AB边上的中线长为题型一平面向量在几何中的应用√ 即3b2＋a2＝4a·b， 思维升华 跟踪训练1(1)(2022·商丘模拟)若O为△ABC所在平面内一点，且满足，则△ABC的形状为A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形√ 即∠BAC＝90°，所以△ABC是直角三角形． √∴AC⊥BD， 题型二和向量有关的最值(范围)问题命题点1与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题√ 故2x＋y的最小值为3. 命题点2与数量积有关的最值(范围)问题例3(2023·郑州模拟)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，M是线段AC上任意一点，则的最小值是A.B.－1C.－2D.－4√ ＝－9λ(1－λ)＋λ×2×3×cos60°＝3λ(3λ－2)，由二次函数性质知， 命题点3与模有关的最值(范围)问题例4已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(，1)，则|2a－b|的最大值为___.4 方法一由题意得|a|＝1，|b|＝2，所以|2a－b|2的最大值为8－8×(－1)＝16， 方法三由题意得|2a－b|≤2|a|＋|b|＝2×1＋2＝4，当且仅当向量a，b方向相反时不等式取等号，故|2a－b|的最大值为4. 向量求最值(范围)的常用方法(1)利用三角函数求最值(范围).(2)利用基本不等式求最值(范围).(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围).(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值. √ 当且仅当λ＝μ＝1时等号成立.即λ＋μ的最大值为2. (2)(2022·北京)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则的取值范围是A.[－5,3]B.[－3,5]C.[－6,4]D.[－4,6]√ 以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(3,0)，B(0,4).设P(x，y)， (3)在平面直角坐标系中，已知直线x＋2y－4＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，若点P(cosθ，sinθ)，则的最大值为________. 由题意知，直线x＋2y－4＝0分别与x轴，y轴交于点A，B，则A(4,0)，B(0,2)，又P(cosθ，sinθ)， 课时精练 123456789101112A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形√故四边形ABCD为平行四边形，故AC⊥BD即四边形ABCD为菱形. 123456789101112A.与圆C的半径有关B.与圆C的半径无关C.与弦AB的长度有关D.与点A，B的位置有关√√ 123456789101112如图，连接AB，过C作CD⊥AB交AB于D，则D是AB的中点， A.8B.9C.12D.16123456789101112√ 123456789101112∵E为线段AD上的动点，∴A，D，E三点共线，∴x＋3y＝1且x>0，y>0， 123456789101112√ 123456789101112 123456789101112√ 123456789101112建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)， 123456789101112√ 123456789101112由题意，向量c与a＋b共线，故存在实数λ，使得c＝λ(a＋b)，∴|a＋c|＝|a＋λ(a＋b)|＝|(1＋λ)a＋λb| 7.(多选)(2022·珠海模拟)已知点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有123456789101112√√ 123456789101112同理可证O为AB，AC边上中线的三等分点，所以O为△ABC的重心，选项A正确； 123456789101112故O为△ABC的内心，选项B错误； 123456789101112所以OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的垂心，选项D错误. 8.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每逢新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图②中正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直径，则的取值范围是123456789101112√ 123456789101112如图所示，取AF的中点Q， 123456789101112 1234567891011129.(2022·晋中模拟)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则的最小值为____.7 123456789101112设C(0，a)，P(0，b)，B(1，a)，A(2,0)，0≤b≤a， 1234567891011125 123456789101112取BC的中点O，∵△ABC为等边三角形，∴AO⊥BC，则以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系， 123456789101112由二次函数性质知， 123456789101112 123456789101112又P，B，D三点共线，∴λ＋4μ＝1， 12.(2022·浙江)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则的取值范围是______________.123456789101112 123456789101112以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示， 123456789101112设P(x，y)，因为cos22.5°≤|OP|≤1，