2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第五章平面向量与复数5.2平面向量基本定理及坐标表示课件

§5.2平面向量基本定理及坐标表示第五章　平面向量与复数 1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任一向量a，一对实数λ1，λ2，使a＝.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量作正交分解.不共线有且只有λ1e1＋λ2e2基底互相垂直 3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝，a－b＝，λa＝，|a|＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝，＝.(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)终点(x2－x1，y2－y1) 4.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔.x1y2－x2y1＝0 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底.()(2)设{a，b}是平面内的一个基底，若λ1a＋λ2b＝0，则λ1＝λ2＝0.()×(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.()√×√ 1.下列各组向量中，可以作为基底的是A.e1＝(0,0)，e2＝(1,2)C.e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D.e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)√由于选项A，B，C中的向量e1，e2都共线，故不能作为基底.而选项D中的向量e1，e2不共线，故可作为基底. 2.若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为A.(2,2)B.(3，－1)C.(2,2)或(3，－1)D.(2,2)或(3,1)√ 3.若a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，则下列结论成立的是A.a－c与b共线B.b＋c与a共线C.a与b－c共线D.a＋b与c共线a－c＝(4,2)，因为4×7－5×2＝18≠0，所以a－c与b不共线；b＋c＝(7,11)，因为7×6－6×11＝－24≠0，所以b＋c与a不共线；b－c＝(3,3)，因为3×6－6×3＝0，所以a与b－c共线；a＋b＝(11,13)，因为11×4－2×13＝18≠0，所以a＋b与c不共线.√ 探究核心题型第二部分 例1(1)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于题型一平面向量基本定理的应用√ √ (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.思维升华 跟踪训练1(1)(多选)下列命题中正确的是A.若p＝xa＋yb，则p与a，b共面B.若p与a，b共面，则存在实数x，y使得p＝xa＋yb√√ 对于B，若a，b共线，p与a，b不共线，则不存在实数x，y使得p＝xa＋yb，故B错误；由平面向量基本定理知AC正确. √ 例2(1)则点D的坐标为A.(－2,3)B.(2，－3)C.(－2,1)D.(2，－1)题型二平面向量的坐标运算√所以点D的坐标为(2，－1). √ 建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0,0).不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，∴C(2,0)，A(0,2)，B(1,2)，E(0,1)，∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)， (1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解.(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算. 跟踪训练2(1)已知M(－2,7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且，则P点的坐标为A.(2,4)B.(－14,16)C.(6,1)D.(22，－11)√ (2)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底{a，b}表示c，则A.c＝2a－3bB.c＝－2a－3bC.c＝－3a＋2bD.c＝3a－2b√ 如图，建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，则A(1,0)，B(2,1)，C(0,4)，D(7,1)，所以a＝(1,1)，b＝(－2,3)，c＝(7，－3)，设向量c＝ma＋nb，则c＝ma＋nb＝(m－2n，m＋3n)＝(7，－3)，所以c＝3a－2b. 例3(2023·临汾模拟)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若a∥c，则k等于A.－1B.0C.1D.2题型三向量共线的坐标表示因为c＝a＋kb＝(3,1)＋(k，k)＝(k＋3，k＋1)，而a∥c，所以3×(k＋1)－1×(k＋3)＝0，解得k＝0.命题点1利用向量共线求参数√ 例4已知平行四边形ABCD的三个顶点A(－2,1)，B(3,4)，C(－1,3)，则第四个顶点D的坐标为A.(2,2)B.(－6,0)C.(4,6)D.(－2,4)命题点2利用向量共线求向量或点的坐标√ 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R). 跟踪训练3(1)已知向量a＝(－3,2)，b＝(4，－2λ)，若(a＋2b)∥(a－b)，则实数λ的值为由已知得a＋2b＝(5,2－4λ)，a－b＝(－7,2＋2λ)，∵(a＋2b)∥(a－b)，√ √ 课时精练第三部分 12345678910111213141516基础保分练1.如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一个基底的是A.e1与e1＋e2B.e1－2e2与e1＋2e2C.e1＋e2与e1－e2D.e1－2e2与－e1＋2e2√ 12345678910111213141516故e1与e1＋e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；故e1－2e2与e1＋2e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底； 12345678910111213141516故e1＋e2与e1－e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；对D项，e1－2e2＝－(－e1＋2e2)，所以e1－2e2与－e1＋2e2为共线向量，不能作为平面内所有向量的一个基底. 2.(2022·全国乙卷)已知向量a＝(2,1)，b＝(－2,4)，则|a－b|等于A.2B.3C.4D.512345678910111213141516由题意知a－b＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)，√ 12345678910111213141516√ 12345678910111213141516 4.(2023·南京模拟)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于12345678910111213141516由于a∥b，所以1×y＝2×(－2)，解得y＝－4，√ 12345678910111213141516√ 12345678910111213141516画出图象如图所示，由于C，D是半圆弧上的两个三等分点，所以△AOC，△COD，△DOB是等边三角形，所以OA＝OB＝OC＝OD＝AC＝CD＝BD，所以四边形OACD和四边形OBDC是菱形， 123456789101112131415166.(多选)若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下列对a，b的判断不正确的是A.a与b一定共线B.a与b一定不共线C.a与b一定垂直D.a与b中至少有一个为0√√√ 12345678910111213141516由平面向量基本定理知，当a，b不共线时，若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，当a与b共线时，k1＝k2＝0只是其中一组解，此时解不唯一，所以A错误，B正确；而当a，b不共线时，不一定有a与b垂直，所以C错误；当a与b中至少有一个为0时，k1，k2中至少有一个可以不为零，所以D错误. 12345678910111213141516√ 12345678910111213141516分别以AB，AD为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，不妨设正方形ABCD边长为2，则A(0,0)，B(2,0)，P(2,1)，Q(1,2)，C(2,2)，则有2＝2x－y且1＝2x＋2y， 12345678910111213141516√ 12345678910111213141516各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形.假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点就可构成三角形. 12345678910111213141516所以b＝(－2，－1)， 0123456789101112131415162μ＝_____. 12345678910111213141516 12345678910111213141516综合提升练√ 12345678910111213141516如图所示， 12345678910111213141516√ 12345678910111213141516依题意作图，如图所示， 12345678910111213141516 12345678910111213141516 123456789101112131415161 12345678910111213141516所以1＝x2＋y2， 12345678910111213141516 15.(多选)(2023·潮汕模拟)已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意a，b∈E，t∈(0,1)，均有ta＋(1－t)b∈E，则称集合E是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有A.{(x，y)|y≥ex}B.{(x，y)|y≥lnx}C.{(x，y)|x＋2y－1≥0}D.{(x，y)|x2＋y2≤1}12345678910111213141516拓展冲刺练√√√ 因此一个集合E是“凸”的就是E表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内，四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示，观察选项A，B，C，D所对图形知，B不符合题意，A，C，D符合题意.12345678910111213141516 16.根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和.现在对Rt△CDE按上述操作作图后，得到如图所示12345678910111213141516 12345678910111213141516设正方形ABCD的边长为2a，正方形EFGC的边长为a， 12345678910111213141516