2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章　必刷小题4　函数与方程

必刷小题4　函数与方程一、单项选择题1．函数f(x)＝ex＋2x－5的零点所在的区间是(　　)A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)答案　B解析　函数f(x)＝ex＋2x－5在R上单调递增，而f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－1>0，由函数零点存在定理知，函数f(x)的唯一零点在区间(1,2)内．2.如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为AB→BO→OA)，则小明到O点的直线距离y与他从A点出发后运动的时间t之间的函数图象大致是(　　)答案　D解析　小明沿走时，与O点的直线距离保持不变，沿BO走时，随时间增加与O点的距离越来越小，沿OA走时，随时间增加与O点的距离越来越大，故结合选项可知D正确．3．函数y＝的图象大致是(　　)8 答案　D解析　因为y＝＝－，x≠0，故y＝为奇函数，图象关于原点成中心对称，将函数图象向右平移1个单位长度可得y＝的图象，所以y＝的图象关于点(1,0)成中心对称，排除A，B；又当y＝＝0时，x＝0或x＝2，故y＝的图象与x轴有2个交点，排除C.4．在使用二分法计算函数f(x)＝lgx＋x－2的零点的近似解时，现已知其所在区间为(1,2)，如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来需要计算________次区间中点的函数值(　　)A．2B．3C．4D．5答案　C解析　因为区间(1,2)的长度为1，每次二等分都使区间长度变为原来的，3次取中间值后，区间(1,2)的长度变为3＝>0.1，不满足题意，4次取中间值后，区间(1,2)的长度变为4＝<0.1，满足题意．5．信号在传输介质中传播时，将会有一部分能量转化为热能或被传输介质吸收，从而造成信号强度不断减弱，这种现象称为衰减．在试验环境下，超声波在某种介质的传播过程中，声压的衰减过程可以用指数模型：P(s)＝P0e－Ks描述声压P(s)(单位：帕斯卡)随传播距离s(单位：米)的变化规律，其中P0为声压的初始值，常数K为试验参数．若试验中声压初始值为900帕斯卡，传播5米声压降低为400帕斯卡，据此可得试验参数K的估计值约为(参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10)(　　)A．0.162B．0.164C．0.166D．0.168答案　B解析　由题意知，400＝900e－5K，两边取自然对数，则ln4＝ln9－5K，8 所以K＝＝≈＝0.164.6．已知f(x)＝则函数y＝3f2(x)－2f(x)的零点个数为(　　)A．1B．2C．3D．4答案　C解析　由题设，当x<0时，f(x)∈R且单调递减，当x≥0时，f(x)∈(0,1)且单调递减，令t＝f(x)，则y＝3t2－2t＝0，可得t＝0或t＝，作出函数f(x)的图象，如图所示，由图知，当t＝0时有一个零点，当t＝时有两个零点，故共有3个零点．7．已知函数f(x)＝2x＋log2x，且实数a>b>c>0，满足f(a)f(b)f(c)<0，若实数x0是函数y＝f(x)的一个零点，那么下列不等式中一定不成立的是(　　)A．x0<aB．x0>aC．x0<bD．x0<c答案　D解析　由函数的单调性可得，函数f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增，由f(a)f(b)f(c)<0,则f(a)，f(b)，f(c)为负数的个数为奇数，选项A，B，C可能成立；对于选项D，当x0<c时，由函数的单调性可得f(a)>0，f(b)>0，f(c)>0，即不满足f(a)f(b)f(c)<0，故选项D不可能成立．8．(2022·西安模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－loga(x＋1)恰有3个零点，则实数a的取值范围为(　　)A.B.C.D.答案　B解析　令g(x)＝f(x)－loga(x＋1)＝0，可得f(x)＝loga(x＋1)，8 所以曲线y＝f(x)与曲线y＝loga(x＋1)有三个交点，当a>1时，曲线y＝f(x)与曲线y＝loga(x＋1)只有一个交点，不符合题意；当0<a<1时，若使得曲线y＝f(x)与曲线y＝loga(x＋1)有三个交点，则解得<a<.二、多项选择题9．净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质．假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为50mg/L，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5mg/L，则PP棉滤芯层数不可能为(　　)(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)A．5B．6C．7D．8答案　ABC解析　由题意得，经n层棉滤芯过滤后水中大颗粒杂质含量为50n＝50×n，n∈N*，则50×n≤2.5得，20×n≤1，所以lg20＋lgn≤0，lg10＋lg2＋n(lg2－lg3)≤0，所以1＋0.3＋(0.3－0.48)n≤0,1.3≤0.18n，得n≥，因为n为正整数，所以n的最小值为8.10．设函数f(x)＝则g(x)＝f(x)－m的零点个数可能是(　　)A．1B．2C．3D．4答案　AB解析　由函数f(x)＝得f(－1)＝f(1)＝－1，8 则函数g(x)＝f(x)－m的零点个数就是函数y＝f(x)的图象与y＝m的交点个数，画出y＝f(x)和y＝m的图象，如图所示，由图可知，当m>0时，两个函数的图象有1个交点，当m≤0时，两个函数的图象有2个交点，所以函数g(x)＝f(x)－m的零点可能有1个或2个．11.某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则(　　)A．a＝3B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D．注射一次治疗该病的有效时间长度为5小时答案　AD解析　由函数图象可知y＝当t＝1时，y＝4，即1－a＝4，解得a＝3，∴y＝故A正确，药物刚好起效的时间，当4t＝0.125，即t＝，药物刚好失效的时间t－3＝0.125，解得t＝6，8 故药物有效时长为6－＝5(小时)，注射一次治疗该病的有效时间长度不到6个小时，故B错误，D正确；注射该药物小时后每毫升血液含药量为4×＝0.5(微克)，故C错误．12．已知定义域为R的偶函数f(x)有4个零点x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)，并且当x≥0时，f(x)＝x2－ax＋1，则下列说法中正确的是(　　)A．实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)B．当x<0时，f(x)＝x2＋ax＋1C．x1x2x3x4＝1D．x1＋2x2＋3x3＋4x4的取值范围是[2，＋∞)答案　BC解析　因为f(x)为偶函数且有4个零点，则当x>0时f(x)有2个零点，即解得a>2，A不正确；当x<0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝x2＋ax＋1，B正确；偶函数f(x)的4个零点满足：x1<x2<x3<x4，则x3，x4是方程x2－ax＋1＝0的两个根，则有x3>0，x3x4＝1且x1＝－x4，x2＝－x3，于是得x1x2x3x4＝(x3x4)2＝1，C正确；由C选项知，x1＋2x2＋3x3＋4x4＝x3＋3x4＝x3＋，且0<x3<1，而函数y＝x＋在(0,1)上单调递减，从而得x3＋∈(4，＋∞)，D不正确．三、填空题13．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统(PrivateKeyCryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文．现在加密密钥为y＝kx3，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接收方接到密文“”，则解密后得到的明文是________．答案　解析　由题可知，加密密钥为y＝kx3，8 由已知可得，当x＝4时，y＝2，所以2＝k×43，解得k＝＝，故y＝x3，显然令y＝，即＝x3，解得x3＝，即x＝.14．若函数f(x)＝e－x－ln(x＋a)在(0，＋∞)上存在零点，则实数a的取值范围是________．答案　(－∞，e)解析　由题意可得，函数y＝e－x与g(x)＝ln(x＋a)的图象在(0，＋∞)上有交点，当a>0时，g(x)＝ln(x＋a)的图象是由函数y＝lnx的图象向左平移得到的，由图象可得，若想两函数图象在(0，＋∞)上有交点只需要g(0)＝lna<1，即0<a<e；当a≤0时，g(x)＝ln(x＋a)的图象是由函数y＝lnx的图象向右平移得到的，此时两函数图象在(0，＋∞)上恒有交点，满足条件．综上可得a<e.15．已知函数y＝f(x)的表达式为f(x)＝则函数y＝f(f(x))的所有零点之和为________．答案　3解析　∵f(x)＝0⇒x＝0或x＝1，∴f(f(x))＝0⇒f(x)＝0或f(x)＝1，由f(x)＝0⇒x＝0或x＝1，由f(x)＝1⇒x＝2，∴0,1,2为函数y＝f(f(x))的零点，∴函数y＝f(f(x))的零点之和为3.16．渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上船后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼会很快失去新鲜度．已知某种鱼失去的新鲜度h与其出水后时间t(分钟)满足的函数关系式为h＝m·at.若出水后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出水后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在________分钟后开始失去全部新鲜度．(已知lg2≈0.3，结果取整数)答案　43解析　由题意可得解得所以h＝×，8 令h＝×＝1，可得＝20，所以t＝10log220＝＝＝≈≈43(分钟)．因此，打上来的这种鱼在43分钟后开始失去全部新鲜度．8