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2024年高考数学一轮复习(新高考版) 第2章 必刷小题2 函数的概念与性质

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必刷小题2 函数的概念与性质一、单项选择题1.(2023·太原模拟)已知函数f(x)=的定义域为A,集合B={x|-1<x<5},则集合A∩B中整数的个数是(  )A.1B.2C.3D.4答案 C解析 由题设,x2-3x≥0,可得定义域A={x|x≤0或x≥3},所以A∩B={x|-1<x≤0或3≤x<5},故其中整数元素有0,3,4,共3个.2.(2023·深圳模拟)若定义在R上的函数f(x)不是偶函数,则下列命题正确的是(  )A.∀x∈R,f(x)+f(-x)=0B.∃x∈R,f(x)+f(-x)=0C.∃x∈R,f(x)≠f(-x)D.∀x∈R,f(x)≠f(-x)答案 C解析 因为定义在R上的函数f(x)不是偶函数,所以∀x∈R,f(x)=f(-x)为假命题,则∃x∈R,f(x)≠f(-x)为真命题.3.(2022·重庆质检)已知函数f(x)=ax5+bx3+2,若f(2)=7,则f(-2)等于(  )A.-7B.-3C.3D.7答案 B解析 设g(x)=f(x)-2=ax5+bx3,则g(-x)=-ax5-bx3=-g(x),即f(x)-2=-f(-x)+2,故f(-2)=-f(2)+4=-3.4.(2023·扬州模拟)下列函数中,在定义域内既是奇函数又是增函数的是(  )A.y=-B.y=x-sinxC.y=tanxD.y=x3-x答案 B解析 y=-是奇函数,但在整个定义域内不是增函数,故A错误;y=x-sinx,因为y′=1-cosx≥0,x∈R,所以在定义域上是增函数且是奇函数,故B正确;y=tanx在定义域上是奇函数但不是单调函数,故C错误;y=x3-x在R上是奇函数但不是单调函数,故D错误.6 5.(2022·镇江模拟)“函数f(x)=sinx+(a-1)cosx为奇函数”是“a=1”的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析 函数f(x)=sinx+(a-1)cosx为奇函数,则sin(-x)+(a-1)cos(-x)=-sinx-(a-1)cosx,化简得a-1=0,故a=1,当a=1时,f(x)=sinx是奇函数,因此“函数f(x)=sinx+(a-1)cosx为奇函数”是“a=1”的充要条件.6.(2023·郑州模拟)已知f(x)=x3+2x,若a,b,c∈R,且a+b<0,a+c<0,b+c<0,则f(a)+f(b)+f(c)的值(  )A.大于0B.等于0C.小于0D.不能确定答案 C解析 因为f(x)=x3+2x,x∈R,f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-f(x),所以f(x)是R上的奇函数,又因为f′(x)=3x2+2>0,所以f(x)在R上单调递增,又因为a+b<0,a+c<0,b+c<0,所以a<-b,c<-a,b<-c,所以f(a)<f(-b)=-f(b),f(c)<f(-a)=-f(a),f(b)<f(-c)=-f(c),所以f(a)+f(b)+f(c)<-[f(a)+f(b)+f(c)],即f(a)+f(b)+f(c)<0.7.函数y=f(x)在[0,2]上单调递增,且函数f(x+2)是偶函数,则下列结论成立的是(  )A.f(1)<f <f B.f <f(1)<f C.f <f <f(1)D.f <f(1)<f 6 答案 B解析 因为函数y=f(x)在[0,2]上单调递增,且函数f(x+2)是偶函数,所以函数y=f(x)在[2,4]上单调递减,且在[0,4]上满足f(2-x)=f(2+x),所以f(1)=f(3),因为2<<3<,所以f >f(3)>f ,则f >f(1)>f .8.已知函数f(x)=xsinx+cosx+x2,则不等式f(lnx)+f(-lnx)<2f(1)的解集为(  )A.(e,+∞)B.(0,e)C.∪(1,e)D.答案 D解析 函数f(x)=xsinx+cosx+x2的定义域为R,f(-x)=-xsin(-x)+cos(-x)+(-x)2=xsinx+cosx+x2=f(x),即函数f(x)为偶函数,f′(x)=xcosx+2x=x(2+cosx),当x>0时,2+cosx>0,则f′(x)>0,所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,由f(lnx)+f(-lnx)=2f(lnx)<2f(1),可得f(|lnx|)<f(1),得|lnx|<1,即-1<lnx<1,解得<x<e.二、多项选择题9.(2023·长春质检)下列函数中,图象关于原点对称的是(  )A.f(x)=ex-e-xB.f(x)=-1C.f(x)=lnD.f(x)=lnsinx答案 ABC解析 由f(x)=ex-e-x可得,f(-x)=e-x-ex=-f(x),x∈R,∴函数为奇函数,图象关于原点对称;由f(x)=-1=可得,f(-x)===-f(x),x∈R,∴函数为奇函数,图象关于原点对称;由f(x)=ln(x+)可得,f(-x)=ln(-x+)=ln =-f(x),x∈R,∴函数为奇函数,图象关于原点对称;6 由f(x)=lnsinx知,sinx>0,所以2kπ<x<2kπ+π,k∈Z,定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数,图象不关于原点对称,故选ABC.10.已知函数f(x)的定义域是[-1,5],且f(x)在区间[-1,2)上单调递增,在区间[2,5]上单调递减,则以下说法一定正确的是(  )A.f(2)>f(5)B.f(-1)=f(5)C.f(x)在定义域上有最大值,最大值是f(2)D.f(0)与f(3)的大小不确定答案 AD解析 由函数f(x)在区间[2,5]上单调递减,可得f(2)>f(5),故A正确;题中条件没有说明函数关于直线x=2对称,所以f(-1)和f(5)未必相等,故B不正确;根据题意不确定f(x)在[-1,5]上是否连续,所以不能确定最大值是f(2),故C不正确;x=0和x=3不在同一个单调区间,且函数没有提及对称性,所以f(0)与f(3)的大小不确定,故D正确.11.若定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),f(1+x)=-f(1-x),下列四个结论正确的是(  )A.f(x)是周期为4的周期函数B.f(x)的图象关于点(1,0)对称C.f(x)是偶函数D.f(x)的图象经过点(-2,0)答案 ABC解析 由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期为4,故A正确;又f(1+x)=-f(1-x),所以f(x)图象关于(1,0)对称,故B正确;又f(-x)=-f(-x+2)=-f(1-(x-1))=f(1+(x-1))=f(x),所以函数f(x)是偶函数,故C正确;又f(-2)=-f(-2+2)=-f(0),无法判断其值,故D错误.12.(2023·淮北模拟)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为奇函数,f(2x+1)为偶函数,则(  )6 A.f(-2)=0B.f(1)=0C.f(2)=0D.f(4)=0答案 ACD解析 因为f(x+2)为奇函数,所以f(x+2)的图象经过原点(0,0),即f(2)=0,故C正确;由f(x+2)的图象向右平移2个单位长度可得函数f(x)的图象知,f(x)的图象过点(4,0),即f(4)=0,因为f(2x+1)为偶函数,所以f(-2x+1)=f(2x+1),所以当x=时,f(-2)=f(4)=0,故A,D正确;令f(x)=sin x,则满足f(x+2)为奇函数,f(2x+1)为偶函数,显然B不满足.三、填空题13.(2023·重庆质检)已知函数f(x)=则f =________.答案 解析 由题意,可得f =sin =-sin =-,则f =f =2+1=.14.已知函数f(x)同时满足下列条件:①f(x)的定义域为(-∞,+∞);②f(x)是偶函数;③f(x)在(0,+∞)上单调递减,则f(x)的一个解析式是________.答案 f(x)=-x2或f(x)=-|x|(答案不唯一)解析 根据题意,可知函数f(x)同时满足三个条件,若f(x)=-x2,则f(x)为二次函数,定义域为(-∞,+∞),开口向下,对称轴为x=0,是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,故同时满足三个条件,所以f(x)的一个解析式是f(x)=-x2;若f(x)=-|x|=则此时函数的定义域为(-∞,+∞),根据一次函数和分段函数,可知f(x)=-|x|是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,故同时满足三个条件,所以f(x)的一个解析式是f(x)=-|x|.15.已知函数f(x)=|x3+2x+a|在[1,2]上的最大值是6,则实数a的值是________.答案 -9或-6解析 当a≥0时,f(x)=x3+2x+a(1≤x≤2),6 f(2)=23+22+a=12+a≥12,不符合题意;当a<0时,y=x3+2x+a在[1,2]上单调递增,3+a≤x3+2x+a≤12+a,而3+a<3,3+a<12+a,则或所以a=-9或a=-6.16.已知函数f(x)=-ln|x|,则使不等式f(2t+1)>f(t+3)成立的实数t的取值范围是________.答案 ∪解析 函数f(x)的定义域为{x|x≠0},f(-x)=-ln|-x|=-ln|x|=f(x),故函数f(x)为偶函数,且当x>0时,f(x)=-lnx,因为函数y=,y=-lnx均在(0,+∞)上单调递减,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,由f(2t+1)>f(t+3)得f(|2t+1|)>f(|t+3|),则即即解得-<t<2且t≠-,故不等式f(2t+1)>f(t+3)成立的实数t的取值范围是∪.6

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发布时间:2024-09-11 06:20:02 页数:6
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文章作者:180****8757

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